同濟大學線性代數(shù)課件ch5全.ppt
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第一節(jié)向量的內(nèi)積,一內(nèi)積的定義和性質(zhì),三正交向量組,二向量的長度與夾角,四正交矩陣與正交變換,第六章相似矩陣和二次型,一、內(nèi)積的定義與性質(zhì),1、定義,設(shè)n維實向量,稱實數(shù),為向量α與β的內(nèi)積,記作,注:內(nèi)積是向量的一種運算,用矩陣形式表示,有,2、性質(zhì),(1)對稱性:,(2)線性性:,(3)正定性:,1、長度的概念,當,時,二、向量的長度與夾角,令,為n維向量α,的長度(?;蚍稊?shù)).,特別,長度為1的向量稱為單位向量.,(1)正定性:,(2)齊次性:,(3)三角不等式:,2、性質(zhì),(4)柯西-施瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式:,當且僅當α與β的線性相關(guān)時,等號成立.,由非零向量α得到單位向量,稱為把α單位化或標準化.,的過程,3、夾角,設(shè)α與β為n維空間的兩個非零向量,α與β的夾,角的余弦為,因此α與β的夾角為,例,解,三、正交向量組,1、正交,2、正交組,若向量組中的向量兩兩正交,且均為非零向量,則,這個向量組稱為正交向量組,簡稱正交組.,3、標準正交組,由單位向量組成的正交組稱為標準正交組.,夾角900,4、正交基,5、標準正交基,由正交向量組構(gòu)成的空間V的基,由標準正交向量組構(gòu)成的空間V的基,定理,4、性質(zhì),正交向量組必為線性無關(guān)組.,證明見P112,例題:證明:r個n維向量構(gòu)成的向量組,若r>n則該向量組一定不是正交組,思路:r個n維向量組當r>n時,必然線性相關(guān),已知三維向量空間中,,例2,正交,,解,設(shè),則,即,四、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果n階方陣滿足:,則稱A為正交矩陣.,則,可表示為,若A按列分塊表示為A=,亦即,結(jié)論:正交陣判定條件是列向量是標準正交組,即兩兩正交的單位向量。,2、正交矩陣判定條件,A為方陣,且列向量組是標準正交組,三大條件:1)方陣2)單位向量3)正交(行列均可)E=ATA=AAT,例題:證明下述性質(zhì)(定義法)1)若A為正交陣,則A-1和AT也是正交陣,且det(aij)=1或-12)若A,B為正交陣,則AB也為正交陣,3.定義的應用,3、正交變換,若P為正交矩陣,則y=Px線性變換稱為正交變換.,設(shè)y=Px為正交變換,則有,經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變,內(nèi)積保持不變,,注,從而夾角保持不變.,請證明旋轉(zhuǎn)變換是正交變換P32問:投影變換是正交變換嗎?,4、施密特(Schmidt)正交化法(P114,自學),設(shè),是向量空間V的一個基,要求向量空,間V的一個標準正交基,就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,,使,與,等價,,此問題稱為把,這組基標準正交化.,1)正交化,令,就得到V的一個標準正交向量組.,V的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特(Schmidt)正交化法.,2)標準化,令,是V的一組基,則,就是,與,都是等價的.,可以證明:,第二節(jié)方陣的特征值與特征向量,一特征值與特征向量,三應用舉例,二特征值和特征向量的性質(zhì),四小結(jié),一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則λ稱為A的特征值,,稱為A的特征向量.,(1),注,②并不一定唯一;,③n階方陣A的特征值,就是使齊次線性方程組,①特征值問題只針對與方陣,且特征向量不能為零,有非零解的λ值,即滿足,的λ都是方陣A的特征值.,,例:求距陣的特征值和特征向量(P118例6,7),,,定義,這是一個λ為變量的一元n次多項式,為A的特征多項式.,定義,為A的特征方程(幾元幾次方程?),定理,設(shè)n階方陣的特征值為,則,證明①,當是A的特征值時,A的特征多項,式可分解為,令,得,即,必須牢記,(2)略,定義,方陣A的主對角線上的元素之和稱為方陣A的跡.,記為,二、特征值的性質(zhì),推論1,n階方陣A可逆?A的n個特征值全不為零.,若數(shù)λ為可逆陣的A的特征值,,性質(zhì)5,設(shè)n階方陣的特征值為,則,根據(jù)這兩條性質(zhì),可以驗證所求得的結(jié)果是否正確.,三、應用舉例(定義+性質(zhì)),1、若λ=2為可逆陣A的特征值,則,的一個特征值為(),2、證n階方陣A的滿足,則A的特征值為,0或1.,3、三階方陣A的三個特征值為1、2、0,則,(),(冪等陣Am=A),2解:設(shè)x是A的一個特征向量,則A2x-Ax=03解:思路令B=2E+3A2,求出B的全部特征值即可。書上例題9自己看看。P122,四、特征向量的性質(zhì),定理,互異特征值對應的特征向量線性無關(guān)。,證明:見書P120另證:,特征向量的性質(zhì)的證明,證,設(shè)存在使,是方陣的特征值,,依次是與之對應的特征向量,即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式,得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式,,當互不相等時,該行列式不等于0,從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質(zhì)的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關(guān).,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,一、定義,定義,設(shè)A、B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,,使得,則稱B是A的相似矩陣,或者說矩陣,A與B相似.,稱為對A進行相似變換,,對A進行運算,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,記作:,A∽B.,第三節(jié)矩陣相似對角化,請回憶距陣等價的概念,符號描述P59思考等價和相似的區(qū)別,練習:1。證明,若A相似B,則det(A)=det(B)2。若A相似B,則A3+5A2+A相似于B3+5B2+B3。結(jié)論:若A相似B,則A的多項式相似于B的同一多項式,4。若n階矩陣A與B相似,則A與B有相同的特征多項式,從而A與B有相同的特征值.,推論,若n階矩陣A與對角矩陣,相似,,定理,若n階矩陣A與B相似,則A與B有相同的特征多項式,從而A與B有相同的特征值.,若能尋得相似變換矩陣P使,對n階方陣A,,稱之為把方陣A對角化.,三、方陣對角化,定理的推論說明,如果n階矩陣A與對角矩陣Λ相,似,,則Λ的主對角線上的元素就是A的全部特征值.,設(shè)存在P可逆,,使得,有,于是有,因為P可逆,R(P)=n,關(guān)的特征向量。,實現(xiàn),即A與對角矩陣Λ相似.,對角化的目標:尋找n個線性無關(guān)的特征向量,構(gòu)成P,定理,如果n階矩陣A有n個互異特征值,則其對應的特征向量線性無關(guān),此時的A必可對角化,注意:這是充分條件而非必要條件,要想判斷A能否對角化只能先求特征值,再求特征向量,然后看特征向量是否線性相關(guān),結(jié)論,并非所有矩陣都可以對角化(相似對角化)即:對稱矩陣一定可以對角化(有定理)可以對角化的充要條件是:存在n個線性無關(guān)的特征向量p1,……,pn,且P=(p1,p2,….,pn)可以對角化的一個必要條件是:n階矩陣A有n個互異特征值練習:請問P120的例5,6,7中矩陣哪些可以對角化?例題:P125,例11,定理對稱矩陣的特征值為實數(shù).,說明:矩陣可以對角化的理論比較復雜,本節(jié)要求掌握對稱陣對角化步驟即可.,一、對稱矩陣的性質(zhì),定理對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.,定理若n階對稱陣A的任重特征值對應的線性,無關(guān)的特征向量恰有個.,定理若A為n階對稱陣,則必有正交矩陣P,使得,第四節(jié)對稱矩陣的對角化,需要記?。簩ΨQ矩陣必可相似對角化,且P為正交陣,根據(jù)上述結(jié)論,利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣,其具體步驟為:,將非重根對應的特征向量單位化;,3.,將重特征值對應的特征向量單位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法(掌握),,將所有單位化后的特征向量組成P,注意與特征值的對應關(guān)系。,5.,,三、實例分析,解,例12,,,,例:設(shè)對稱矩陣A,已知A有二重特征值,λ1=λ2=2,求:1)x和另一個特征值λ3;(回憶特征值的兩條性質(zhì))2)A的所有特征向量;3)求正交矩陣P,使得A正交化,,,解:1),2),,3)正交化矩陣P,,,建議驗證,作業(yè):P138,14,16(1),17,第六節(jié)二次型,一n元二次型的概念,二二次型的表示方法,三二次型的矩陣及秩,四化二次型為標準形,五小結(jié),矩陣對角化的簡單應用,作業(yè)9:P1342(1),6(1),20,一、n元二次型,1、定義,的二次齊次多項式,含有n個變量,①,稱為二次型.,或記為,注,①當常數(shù)項為實數(shù)時,稱為實二次型;,②當常數(shù)項為復數(shù)時,稱為復二次型.,二、二次型的矩陣表示,定義,只含有平方項的二次型,稱為二次型的標準形.,定義,特別地,若系數(shù)只在1,-1,0取值,即,為二次型的規(guī)范形.,則二次型.,特別注意:A為對稱矩陣.,令,任一二次型f,三、二次型和矩陣A的關(guān)系,對稱矩陣A,任一對稱矩陣A,二次型f,一一對應,f稱為對稱矩陣A的二次型;,A稱為二次型f的矩陣;,對稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩.,練習寫出下列二次型的對稱矩陣.,3)復數(shù)域C上的4元二次型,例11)實數(shù)域R上的2元二次型,2)實數(shù)域上R的3元二次型,設(shè),四、化二次型為標準形,對于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換,將二次型化為標準形.,記,記作,將其代入,有,若|C|≠0,則④稱為非退化線性變換.,④,?f如何才能變成標準二次型,對CTAC有何要求?,目的:尋找C使得CTAC變成對角陣,定義,設(shè)A,B為n階方陣,若存在n階可逆陣C,使得,則稱A合同于B,與相似、等價比較一下,用正交變換化二次型為標準形的具體步驟,例1已知二次型,用正交變換把二次型化為標準形,并寫出相應的正交矩陣.,解析:此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標準形的“標準程序”.,⑴寫出二次型對應的矩陣,二次型對應的矩陣為,⑵求的特征值,由,求得的特征值為,例1解答,⑶求的兩兩正交的單位特征向量,例1解答,對應,解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,對應,解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,對應,解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,⑷寫出正交矩陣和二次型的標準形,令矩陣,則為正交陣,于是,經(jīng)正交變換,原二次型化為標準形,例2已知二次型,的秩為2.,⑴求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值;,⑵指出表示何種曲面.,解,⑴二次型的矩陣,,因為的秩為2,,所以的秩也為2,因而,例2解答,當時,的特征多項式為,于是,的特征值為,⑵特征值互異,必存在正交變換,其中為正交矩陣(不必具體求出),使二次型,于是,曲面,這表示準線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.,在新變量下稱為標準形,,,,附錄:前面的部分證明,特征值的性質(zhì)的證明,⑴證,因為是的個特征向量,則有,即,令,即得,另一方面,根據(jù)行列式的定義知,上述行列式的展開式中,只有對角元之積含有,這些項中不含,比較兩端的的系數(shù),可得,即,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,特征值的性質(zhì)的證明,因為是的特征值,,⑵證,所以存在非零向量使,又由知,,可逆,且,所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑶證,因為是的特征值,,所以存在非零向量使,用左乘上式兩端得,這表明是矩陣的特征向量.,類似地,可以證是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑷證,因為是的特征值,,所以存在非零向量使,又因為,所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑸證,因為,所以而,有非零解,因此存在非零向量,使,這表明0是的特征值.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑹證,根據(jù)特征值滿足的條件:是特征方程的根,所以要證與的特征值相同,,只需證它們的特征方程相同,也即只需證它們的特征多項式相同.,因為,所以與的特征多項式相同,從而與的特征值相同.,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,證,設(shè)存在使,是方陣的特征值,,依次是與之對應的特征向量,即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式,得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式,,當互不相等時,該行列式不等于0,從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質(zhì)的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關(guān).,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,- 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