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第六章,利用元素法解決:,定積分在幾何上的應用,定積分在物理上的應用,定積分的應用,,第一節(jié),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,定積分的元素法,一、什么問題可以用定積分解決?,二、如何應用定積分解決問題?,,第六章,表示為,一、什么問題可以用定積分解決?,1)所求量U是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)有關(guān)的,2)U對區(qū)間[a,b]具有可加性,,即可通過,“大化小,常代變,近似和,取極限”,定積分定義,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一個整體量;,,二、如何應用定積分解決問題?,第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的,,微分表達式,第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的,,積分表達式,這種分析方法成為元素法(或微元分析法),元素的幾何形狀常取為:,條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等,近似值,精確值,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補充),,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,,第二節(jié),一、平面圖形的面積,二、平面曲線的弧長,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,,定積分在幾何學上的應用,第六章,一、平面圖形的面積,1.直角坐標情形,設(shè)曲線,與直線,及x軸所圍曲,則,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,邊梯形面積為A,,右下圖所示圖形面積為,例1.計算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積.,,,,解:由,,得交點,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.計算拋物線,與直線,的面積.,解:由,,得交點,所圍圖形,為簡便計算,選取y作積分變量,,則有,,,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,,,例3.求橢圓,解:利用對稱性,,所圍圖形的面積.,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應用定積分換元法得,當a=b時得圓面積公式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時,,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,例4.求由擺線,的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.,解:,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,2.極坐標情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積.,,,,,,,,,,,,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,對應?從0變,例5.計算阿基米德螺線,解:,,,,,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,到2?所圍圖形面積.,例6.計算心形線,所圍圖形的,面積.,解:,,,,,,,(利用對稱性),,心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,例7.計算心形線,與圓,所圍圖形的面積.,解:利用對稱性,,所求面積,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,例8.求雙紐線,所圍圖形面積.,解:利用對稱性,,則所求面積為,思考:用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,,,答案:,二、平面曲線的弧長,,當折線段的最大,邊長?→0時,,折線的長度趨向于一個確定的極限,,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則稱,(1)曲線弧由直角坐標方程給出:,,弧長元素(弧微分):,,,因此所求弧長,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分):,因此所求弧長,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(3)曲線弧由極坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分):,(自己驗證),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,,成懸鏈線.,求這一段弧長.,解:,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,下垂,懸鏈線方程為,例10.求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例11.計算擺線,一拱,的弧長.,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例12.求阿基米德螺線,相應于0≤?≤2?,一段的弧長.,解:,(P364公式39),小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),,則對應于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,上連續(xù),,特別,當考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,,有,當考慮連續(xù)曲線段,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,,有,,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例13.計算由橢圓,所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解:方法1利用直角坐標方程,則,(利用對稱性),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,方法2利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當b=a時,就得半徑為a的球體的體積,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例14.計算擺線,的一拱與y＝0,所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.,解:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,利用對稱性,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,,注意上下限!,注,注目錄上頁下頁返回結(jié)束,,分部積分,注,,,,,(利用“偶倍奇零”),,,柱殼體積,說明:,,柱面面積,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,偶函數(shù),,,奇函數(shù),,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,,,,例15.設(shè),在x≥0時為連續(xù)的非負函數(shù),且,形繞直線x＝t旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,,證明:,證:,,,,利用柱殼法,則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,故,,,,例16.一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,,并,與底面交成?角,,,解:如圖所示取坐標系,,則圓的方程為,垂直于x軸的截面是直角三角形,,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,思考:可否選擇y作積分變量?,此時截面面積函數(shù)是什么?,如何用定積分表示體積?,,提示:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,垂直x軸的截面是橢圓,例17.計算由曲面,所圍立體(橢球體),解:,它的面積為,因此橢球體體積為,特別當a=b=c時就是球體體積.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,的體積.,例18.求曲線,與x軸圍成的封閉圖形,繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.,(94考研),解:利用對稱性,,故旋轉(zhuǎn)體體積為,,在第一象限,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補充),設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.,取側(cè)面積元素:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,側(cè)面積元素,,的線性主部.,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,,則它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積△S的,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,注意:,側(cè)面積為,例19.計算圓,x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.,解:對曲線弧,應用公式得,當球臺高h＝2R時,得球的表面積公式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,例20.求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.,解:利用對稱性,繞x軸旋轉(zhuǎn),星形線目錄上頁下頁返回結(jié)束,星形線,星形線是內(nèi)擺線的一種.,,點擊圖片任意處播放開始或暫停,大圓半徑R＝a,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,(當小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動,,時,小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線),內(nèi)容小結(jié),1.平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標方程,2.平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標方程,弧微分:,直角坐標方程,,上下限按順時針方向確定,,直角坐標方程,,注意:求弧長時積分上下限必須上大下小,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞x軸:,4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積元素為,(注意在不同坐標系下ds的表達式),繞y軸:,(柱殼法),,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習,1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.,提示:交點為,,,,,弧線段部分,直線段部分,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,以x為積分變量,則要分,兩段積分,,故以y為積分變量.,,2.試用定積分求圓,繞x軸,上,半圓為,下,求體積:,提示:,方法1利用對稱性,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積V及表面積S.,方法2用柱殼法,,說明:上式可變形為,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).,,求側(cè)面積:,,利用對稱性,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,上式也可寫成,它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.,備用題,解：,1.求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,,,,,,面積為,同理其它.,,,,,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,又,故在區(qū)域,分析曲線特點,,2.,,,,解:,與x軸所圍面積,,,,由圖形的對稱性,,,也合于所求.,?為何值才能使,與x軸圍成的面積等,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,故,3.,求曲線,圖形的公共部分的面積.,解：,與,所圍成,,得,所圍區(qū)域的面積為,,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,,設(shè)平面圖形A由,與,所確定,求,圖形A繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,提示：,選x為積分變量.,旋轉(zhuǎn)體的體積為,,,,4.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,若選y為積分變量,則,,,,