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課時(shí)21圖形的相似,第四單元三角形,中考對接,1.[2016湘潭]如圖21-1,直線a∥b∥c,點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn).若DE=2,則EF=.圖21-1,2.[2018永州]如圖21-2,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn),∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為()A.2B.4C.6D.8圖21-2,3.[2017湘潭]如圖21-3,在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積比S△ADE:S△ABC=.圖21-3,4.[2018邵陽]如圖21-4,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F,連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形:.圖21-4,△ADF∽△ECF(答案不唯一),5.[2018邵陽]如圖21-5,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,4),過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的,得到△COD,則CD的長度是()圖21-5A.2B.1C.4D.2,【答案】A【解析】∵點(diǎn)A(2,4),過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的,得到△COD,∴C(1,2),∴CD的長度是2.故選A.,6.[2017長沙]如圖21-6,△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(6,0),O(0,0).以原點(diǎn)O為位似中心,把這個(gè)三角形縮小為原來的,可以得到△ABO.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.圖21-6,【答案】(1,2)【解析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)及位似比可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).,7.[2018岳陽]如圖21-7,《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問:該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是步.圖21-7,考點(diǎn)自查,bc,黃金分割點(diǎn),黃金分割比,0.618,1.定理:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例.2.推論:(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段成比例;(2)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的三角形與原三角形相似.,三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:,1.相似三角形的性質(zhì):(1)相似三角形的對應(yīng)邊①;(2)相似三角形的對應(yīng)角②;(3)相似三角形的周長之比等于③;(4)相似三角形的面積之比等于④;(5)相似三角形對應(yīng)邊上的高之比、對應(yīng)邊上的中線之比、對應(yīng)角的平分線之比等于⑤.2.相似多邊形的性質(zhì):(1)相似多邊形的對應(yīng)邊⑥;(2)相似多邊形的對應(yīng)角⑦;(3)相似多邊形的周長之比等于⑧;(4)相似多邊形的面積之比等于⑨.,成比例,相等,相似比,相似比的平方,相似比,成比例,相等,相似比,相似比的平方,1.位似圖形的性質(zhì):(1)位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于①;(2)位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線或延長線相交于②點(diǎn);(3)位似圖形的對應(yīng)邊③(或在一條直線上);(4)位似圖形的對應(yīng)角相等.2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的位似變換:在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于④.3.位似作圖:(1)確定位似中心O;(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心O并延長;(3)按照相似比取點(diǎn);(4)順次連接各點(diǎn),所得圖形就是所求作的圖形.,相似比,一,平行,k或-k,易錯(cuò)警示,【失分點(diǎn)】1.在相似三角形中,對應(yīng)邊成比例,在解題中所列的比例式錯(cuò)誤,而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.2.在位似中,要準(zhǔn)確理解位似比(位似比就是新圖形的邊與原圖形的對應(yīng)邊的長度之比)的含義,作圖時(shí)要分清在位似中心的同側(cè)還是異側(cè)作圖.,例1[2018南充]如圖21-9,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長線于點(diǎn)F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=.圖21-9,[方法模型]在成比例的線段中,要注意:(1)平行線分線段成比例中各線段的對應(yīng)關(guān)系;(2)分清平行線分線段成比例與相似三角形中對應(yīng)邊成比例的關(guān)系.,拓展1[2017婁底]湖南地圖出版社首發(fā)的豎版《中華人民共和國地圖》,將南海諸島與中國大陸按同一比例尺1∶6700000表示出來,使讀者能夠全面、直觀地認(rèn)識我國版圖,若在這種地圖上量得我國南北的圖上距離是82.09厘米,則我國南北的實(shí)際距離大約是千米(結(jié)果精確到1千米).,【答案】5500【解析】我國南北的實(shí)際距離大約是82.096700000=550003000(cm)≈5500(km).,拓展2[2018舟山]如圖21-10,直線l1∥l2∥l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F,已知=,則=.圖21-10,2,拓展3[2018綿陽]如圖21-11,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC邊上的中線BE,AD垂直相交于點(diǎn)O,則AB=.,例2[2017常德]如圖21-12,在Rt△ABC中,∠BAC=90,點(diǎn)D在BC上,連接AD,過點(diǎn)B作BF⊥AD分別交AD于點(diǎn)E,AC于點(diǎn)F.(1)如圖①,若BD=BA,求證:△ABE≌△DBE.(2)如圖②,若BD=4DC,取AB的中點(diǎn)G,連接CG交AD于點(diǎn)M,求證:①GM=2MC;②AG2=AFAC.,拓展1[2018江西]如圖21-17,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點(diǎn)E.求AE的長.,拓展2[2015湘潭]如圖21-18,在Rt△ABC中,∠C=90,將△ACD沿AD折疊,使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.(1)求證:△BDE∽△BAC.(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.,拓展1[2018銅仁]已知△ABC∽△DEF,相似比為2,且△ABC的面積為16,則△DEF的面積為()A.32B.8C.4D.16拓展2[2018重慶A卷]要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長分別為5cm,6cm和9cm,另一個(gè)三角形的最短邊長為2.5cm,則它的最長邊長為()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm,C,C,拓展3[2018玉林]如圖21-20,∠AOB=60,OA=OB,動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OB方向移動(dòng),以AC為邊在右側(cè)作等邊三角形ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是()圖21-20A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直,拓展4[2018荊州]如圖21-21,將鋼球放置到一個(gè)倒立的空心透明圓錐中,測得相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示(圖中數(shù)據(jù)單位:cm),則鋼球的半徑為cm(圓錐的壁厚忽略不計(jì)).圖21-21,例4[2017涼山州]如圖21-22,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長2米,且與燈柱AB成120角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最好,此時(shí),路燈的燈柱AB的高應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米(結(jié)果保留根號)?,[方法模型]相似三角形主要應(yīng)用于求線段的長,在解題中一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形,結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例或?qū)?yīng)角相等,列出比例式或構(gòu)造出直角三角形,利用方程的思想,解出其結(jié)果即可.,拓展1[2018紹興]學(xué)校門口的欄桿如圖21-23,欄桿從水平位置BD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到AC的位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為()A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m,拓展2[2018泰安]《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步而見木?”用今天的話說,大意是:如圖21-24,四邊形DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點(diǎn),南門K位于ED的中點(diǎn),出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點(diǎn)D在直線AC上)?請你計(jì)算KC的長為步.,拓展3[2015邵陽]如圖21-25,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度.他們通過調(diào)整測量位置,使斜邊DF與地面保持平行,并使邊DE與旗桿頂端A在同一直線上.已知DE=0.5m,EF=0.25m,目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5m,到旗桿的水平距離DC=20m,求旗桿的高度.圖21-25,例5如圖21-26,在1010的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C,D均在格點(diǎn)上,以點(diǎn)A為位似中心畫四邊形ABCD,使它與四邊形ABCD位似,且相似比為2.(1)在圖中畫出四邊形ABCD;(2)△ACD是三角形.,[方法模型]位似圖形中的相似比是指“變換后的圖形中對應(yīng)點(diǎn)到相似中心的距離”與“原圖形中的對應(yīng)點(diǎn)到相似中心的距離”之比.當(dāng)相似比k>1時(shí),變換后所得到的圖形是放大的圖形;當(dāng)相似比k<1時(shí),變換后所得到的圖形是縮小的圖形;當(dāng)相似比k=1時(shí),變換后所得到的圖形與原圖形全等.,拓展1[2018濱州]在平面直角坐標(biāo)系中,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2).若以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5),拓展2如圖21-27,以原點(diǎn)O為位似中心,把△OAB放大后得到△OCD,求△OAB與△OCD的相似比.圖21-27,拓展3[2017涼山州]如圖21-28,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,2),B(2,1),C(4,5).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;(2)以原點(diǎn)O為位似中心,在x軸的上方畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且相似比為2,并求出△A2B2C2的面積.,