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3.2.1立體幾何中的向量方法——方向向量與法向量,,A,P,,,１．直線的方向向量,直線ｌ的向量式方程,換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量,一、方向向量與法向量,,2、平面的法向量,,,l,,,平面α的向量式方程,換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為___________平面OABC的一個法向量坐標為___________平面AB1C的一個法向量坐標為___________,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量.,解：如圖所示建立空間直角坐標系.,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,設(shè)平面EDB的法向量為,因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.,用向量方法解決立體問題,二、立體幾何中的向量方法——證明平行與垂直,m,l,（一）.平行關(guān)系：,α,,α,β,（二）、垂直關(guān)系：,,l,,,m,,,,,l,,,A,B,C,,,,,,,,,α,β,例1:四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),,F(2,2,0),,E(3,3,3),,G(0,4,2),,AE//FG,證:如圖所示,建立空間直角坐標系.,//,AE與FG不共線,幾何法呢？,例2:四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，(1)求證：PA//平面EDB.,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,解1:立體幾何法,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,解2：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1,(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EG,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,解3:如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1,(1)證明：,設(shè)平面EDB的法向量為,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,解4：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1,(1)證明：,解得x＝－２,ｙ＝１,證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，,所以,,E是AA1中點，,例4正方體,平面C1BD.,證明：,E,求證：平面EBD,設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標系,平面C1BD的一個法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),設(shè)平面EBD的一個法向量是,平面C1BD.,平面EBD,證明2：,E,,E是AA1中點，,例4正方體,平面C1BD.,求證：平面EBD,