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碟形彈簧的力 由 Minoru HAMADA 和 Yasuyuki SEGUCHI編寫 本文的研究內(nèi)容是關(guān)于碟形彈簧的行為的微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，研究利用勢(shì)能駐值原理的近似解的精度。由H. B.凱勒和E. L.提出的通過修改迭代程序的解決方案獲得的。賴斯的迭代過程獲得的近似解本質(zhì)上是和Wempner的近似解一樣的，但通過減少一個(gè)幾何參數(shù)，發(fā)現(xiàn)在設(shè)計(jì)公式的基礎(chǔ)上給出的更緊湊的近似解實(shí)在踐中是有效的，并且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并與理論結(jié)果進(jìn)行了比較。 1、 介紹 本文討論的問題是碟形彈簧的軸向載荷下的強(qiáng)度，如圖1所示。根據(jù)碟形彈簧的幾何因素在許多方面，負(fù)載偏轉(zhuǎn)特性的分析有所不同；例如，我們發(fā)現(xiàn)的一些有趣案例，恒載撓度情況下，負(fù)彈簧常數(shù)。這些特征的分析，然而需要類似的不穩(wěn)定對(duì)扁球殼基于有限變形理論，展現(xiàn)“oilcanning”現(xiàn)象的問題復(fù)雜的解決。因此，我們可以找到一些近似解（1）（2）;由J.O. A1men 和Alaszlo in 1936（1）聯(lián)辦得到的近似的解決方案，通常用于盤簧的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在它是檢查這些近似解的精度非常重要的方法。 圖1 碟形彈簧軸向圖 在這份報(bào)告中，我們將介紹用于解決應(yīng)用E.Reissner的一般旋轉(zhuǎn)殼理論（3）以淺錐殼獲得的非線性常微分方程的數(shù)值方法。這個(gè)數(shù)值的過程是由H.?B.凱勒沙丘和E. L.賴斯（?4 ）在迭代過程的改進(jìn)的，因?yàn)樵谶@一過程中，是由勢(shì)能駐值原理的近似解作為迭代增加其有效性的初步估計(jì)。這里所用的基本方程，并通過應(yīng)變能量法的近似解僅包括兩個(gè)幾何參數(shù)κ和ρ使計(jì)算的結(jié)果可以被安排在較簡單的形式，因此，盤簧的設(shè)計(jì)，可以更容易地進(jìn)行，而在以前的結(jié)果，包括Wempner的解決方案}2}三緣度量參數(shù)，也就是彈簧的高度，半徑比和彈簧厚度已被使用。 通過迭代多項(xiàng)式，引誘數(shù)值計(jì)算被執(zhí)行為各種幾何配置碟形彈簧并將其結(jié)果與該解決方案由應(yīng)變能量的方法相比。由此，可以確認(rèn)的近似解是根據(jù)本解決方案的設(shè)計(jì)公式給出的有足夠精確的實(shí)際用途。 從實(shí)驗(yàn)的角度來看，雖然由J. O. Almen和A.拉斯洛}1?}的詳細(xì)結(jié)果是有效的，那么在這個(gè)調(diào)查的數(shù)值解相比，其他類型的碟形彈簧的生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)fllirm效度的數(shù)值程序和應(yīng)變能量法得到的結(jié)果。 2、 基本方程 革命由E. Reissner變分，即假設(shè)小應(yīng)變，無剪切變形而得殼撓度理論，都寫在以下幾種形式： 其中 而且 Ε和ν是年輕的rnodulus和泊松比。其它符號(hào)β的定義按照?qǐng)D2是由以下關(guān)系式定義的元素的旋轉(zhuǎn)角度： 圓錐殼方程由上述關(guān)系得到的（見圖1）。通過設(shè)置Dξ= ds，其等效于α= 1和 和此外通過使用以下近似 和限制非線性項(xiàng)的二階的旋轉(zhuǎn)角度β，微分方程（1）和（2）降低到以下形式： 碟形彈簧的載荷是軸向力P，沒有統(tǒng)一的正常壓力的存在條件， 因此，從方程（4）; 代方程。（9）和（10）代入式（7）和（8），我們有下面的關(guān)系式： 使用的無量綱變量f，g和x，這是定義的關(guān)系 方程（11）和（12）則成為 其中λ和Q是由以下表達(dá)式和參數(shù)定義： 差分方程（14）和（15）是適用于根據(jù)軸對(duì)稱軸向力P的任何圓錐殼，但是當(dāng)錐殼薄，淺，盤簧，這些方程可以簡化得多，而忽略了與λtanφ從假設(shè)H和φ分別為小，并使用表達(dá)式 方程（14）和（15）最終成為如下所示： 符號(hào)κ在方程（17）是幾何參數(shù)，這是關(guān)系到初始子午線角φ和厚度h，并且方便簡化計(jì)算和其結(jié)果的表現(xiàn)形式的程序，而符號(hào)Q 為負(fù)載參數(shù)。 記住盤彈簧的支撐力條件下使用時(shí)，我們考慮以下邊界條件： 案例A：隨意移動(dòng)這兩個(gè)邊緣。 案例B：內(nèi)邊自由移動(dòng)和外緣不動(dòng)產(chǎn)。 （無徑向位移） 方案C：外緣不動(dòng)產(chǎn)和內(nèi)緣自由移動(dòng)。 除了上述邊界條件，被認(rèn)為是邊緣不動(dòng)的情況下，但在這種情況下，碟形彈簧太硬。在上述方程，我們使用的符號(hào)ρ=?b／a。 如果方程的解由（18）和（19）得到，垂直偏轉(zhuǎn)和盤簧的應(yīng)力可以通過下面的關(guān)系來計(jì)算： 垂直撓度w： 徑向應(yīng)力的合力Nr： 周向應(yīng)力的合力No: 徑向彎矩的每單位長度Mr: 周圍的每單位長度的彎曲力矩Mθ: 基本方程（18）和（19）預(yù)計(jì)是一樣準(zhǔn)確，von Karman方程為板的大撓度的問題，并考慮到von Karman方程是足夠精確的在實(shí)踐中，使用公式得到的結(jié)果。 方程（18）和（19）預(yù)計(jì)也是準(zhǔn)確的。 3、近似解的應(yīng)變能法 獲得解決方案滿足上述關(guān)系，我們首先要解決的問題的碟形彈簧近似用應(yīng)變能的方法，用它作為迭代的初始估計(jì)由于更好的近似作為初始估計(jì)，更快的迭代收斂到解。該數(shù)值的過程也被稱為Keller-Reiss方法的改進(jìn)，因?yàn)樵谖覀兊姆椒ㄖ械呢?fù)載參數(shù)的任意值的解決方案可以直接獲得，而在Keller-Reiss方法不能做。 假設(shè)該碟形彈簧仍圓錐形的外力施加后，我們?cè)O(shè)置 替代這個(gè)假設(shè)相容方程（19）和整合；g的近似解，得到如下： 而 和C1?C2是積分常數(shù)。 現(xiàn)在使用以下符號(hào)： V：總的潛在能量 U：應(yīng)變能 Q：由外力勢(shì)能 而忽略了剪切應(yīng)力的影響，獲得以下關(guān)系： 其中 內(nèi)力和彎矩；Nr，No，Mr和Mo可考慮方程未知的fa表示。（24）至（29）。代入式（30），我們終于到達(dá)總勢(shì)能的表達(dá)式，即， 積分常數(shù)C1，C2是由邊界條件如下： 方案A 方案B 方案C 未知，fa是由勢(shì)能駐值原理dV / dfa = 0。然后由應(yīng)變能法最后的結(jié)果是 其中，M是從下列關(guān)系計(jì)算出的常數(shù)： 方案A 方案B 方案C 這應(yīng)該由邊界條件決定。方程（29）和（35）的應(yīng)變能量法的碟形彈簧近似解。應(yīng)當(dāng)指出的是，G. A. wempner的解決方案也由應(yīng)變能量法得到但它包括三個(gè)幾何參數(shù)，而本文的近似的解決方案包括兩個(gè)幾何參數(shù)的簡化表達(dá)式結(jié)果有用。然而，是容易看到的是，無論是哪個(gè)都是基本相同的。 4、數(shù)值解的迭代過程 如果未知。方程（35）確定的半徑比ρ為一定值，幾何參數(shù)k和負(fù)載參數(shù)Q，與以下幾步迭代過程進(jìn)行，fa作為初步估計(jì)： （1）m?=?1，m是正整數(shù)作為迭代次數(shù)。 （2）解 （3）解 （4）計(jì)算fm （5）使m+1→m然后跳到（2）。 在上面的過程，λ就是所謂的松弛參數(shù) 此過程中，如前所述，是Keller-Reiss的方法，其中所述迭代，必須從一個(gè)小的負(fù)載參數(shù)（對(duì)于該解決方案由線性理論和由非線性理論并不那么不同）進(jìn)行，以一個(gè)大的負(fù)荷參數(shù)，而上述迭代過程可以給負(fù)載參數(shù)的任意值的解決方案中。 松弛參數(shù)。λ是用來加速收斂的解決方案或防止發(fā)散。在一般情況下，提高了算法的收斂性能降低的參數(shù)值，收斂觀察不能被很好的參數(shù)的值的改善。 表1比較的撓度和應(yīng)力為n =50，100和200（V=0.3） 方程（39）和（40）與給定的邊界條件，可以很容易地用有限差分法求解，為他們的右手邊是在迭代法是一種線性化和每一步的認(rèn)識(shí)，應(yīng)用有限差分近似，他們成為線性代數(shù)方程組或三對(duì)角方程系統(tǒng)的解決方案，可以容易被消除的方法只有兩次是必需的。用于此目的的有限差分近似如下： 除了邊界內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)， 對(duì)于這兩種界限 其中 N：網(wǎng)格數(shù) （a） 撓度和應(yīng)力分布曲線 （b） 撓度和應(yīng)力分布曲線 （C）周向彎曲大負(fù)載參數(shù)應(yīng)力分布的例子 圖3 5、數(shù)值計(jì)算 進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，對(duì)于n=100和的情況下，因?yàn)樗亲钪匾?。一般來說，用有限差分法求解的精度取決于其網(wǎng)格數(shù)N。表1給出了兩個(gè)例子，他經(jīng)常計(jì)算n=50，100，200顯示，對(duì)于n=100是足夠精確的實(shí)際用途的計(jì)算。 式中λ的松弛參數(shù)的最佳值（41）所應(yīng)選擇的試驗(yàn)。當(dāng)它是計(jì)算的收斂是不好的條件下觀察到，λ值立刻進(jìn)行修改。改善這種不良狀況和減少計(jì)算時(shí)間，注意到一個(gè)較小的λ值一般應(yīng)足以不收斂條件。因此，計(jì)算程序是這樣寫的能夠改變的λ值手動(dòng)操作時(shí)非常方便。 在迭代過程收斂的數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)，我們把 該解決方案解的精度，可以任意選擇η的值來確定。在這里，我們把 η =0.00005 數(shù)值計(jì)算是大阪大學(xué)NEAC-2206數(shù)字化計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的。 6、數(shù)值結(jié)果 6.1偏轉(zhuǎn)和應(yīng)力分布曲線 圖3顯示了幾個(gè)與無量綱形式的w/hCOSθ和應(yīng)力分布與后綴r和θ形式的平均徑向和環(huán)向薄膜應(yīng)力變形分布的例子，分別表示br和bθ平均徑向及周向彎曲應(yīng)力-ES。如圖所示，徑向應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，因此只有周向應(yīng)力的周向應(yīng)力引起的討論。和彎曲應(yīng)力，沒有例外，內(nèi)邊緣處最大，且抗壓的上表面和下表面上的拉伸。另一方面，膜應(yīng)力的內(nèi)部邊緣的壓縮和拉伸的外邊緣處的撓度較小的地區(qū)除了的情況下，K為零。對(duì)變形較大的區(qū)域，它們的拉伸的內(nèi)緣和壓縮的外邊緣和一個(gè)瞬變點(diǎn)發(fā)生變形的中間值，膜應(yīng)力分布呈現(xiàn)奇異性[圖3（a）]。同時(shí)對(duì)負(fù)荷參數(shù)的彎曲應(yīng)力分布略有奇異[圖大值（C）]。不管怎樣，總應(yīng)力是薄膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力和最大的上表面或下表面的內(nèi)側(cè)邊。因此，圖5顯示了在6.3內(nèi)邊緣僅占總應(yīng)力。圖3中，由應(yīng)變能量法的近似的解決方案相比得到數(shù)值解。 圖4 6.2荷載-撓度曲線 碟形彈簧的載荷-撓度曲線的參數(shù)值和P=0.25，0.5和0.75，如圖4所示在負(fù)載是無量綱形式表達(dá)，在形式最大撓度。 在每一種情況下，比較了由應(yīng)變能量法的近似解。一般來說，如圖4所示，近似解與P的較小的值的數(shù)值解，但不為不穩(wěn)定區(qū)域是如此的精確。無論如何，能源解決方案的可能幾乎被稱為碟形彈簧近似。 6.3應(yīng)力-撓度曲線 無量綱總應(yīng)力在上、下表面與偏轉(zhuǎn)內(nèi)緣是顯示在圖5。圖5中，在上表面的曲線相交的下表面，這意味著最大應(yīng)力出現(xiàn)在上表面為較小的偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)增加曲線，它跳到下表面。圖5中的虛線（B）是誰的錯(cuò)誤被發(fā)現(xiàn)在瞬態(tài)點(diǎn)增加能源解決方案。但是，碟形彈簧，通常用于在最大應(yīng)力出現(xiàn)在上表面區(qū)域，因此能源解決方案的應(yīng)力-撓度曲線可能是良好的近似實(shí)際的目的。相反，記住，由應(yīng)變能法的應(yīng)力分布，結(jié)果并不總是好的合適的值。 6.4比較一Almen一Laszlo的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 通過J.O.Almen和A.Laszlo的實(shí)驗(yàn)結(jié)果被認(rèn)為雖然是出色的。詳細(xì)的設(shè)備和方法在他們的論文中未示出。因此，我們嘗試一些比較這些結(jié)果與我們的計(jì)算結(jié)果如圖6。從這些數(shù)字，數(shù)值結(jié)果被發(fā)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而能源解決方案：也有很好的近似，除了不穩(wěn)定的區(qū)域，此外，應(yīng)該指出的是，他們是Almen-Laszlo解決方案的改進(jìn)。 圖5 7、實(shí)驗(yàn) 重申了數(shù)值解的有效性和能源解決方案，實(shí)驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行Almen和Laszlo。 圖6 具體內(nèi)容如下： 1）標(biāo)本 標(biāo)本制成的SK鋼在日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。因此，Young's rnodulus E 和泊松比ν，可以采取如下： E = 21000公斤/平方毫米，V = 0.3 它們的幾何配置表2。 試樣尺寸表2（毫米） 2）加載appratures測(cè)量系統(tǒng) 標(biāo)本，如圖7所示，是舉行了兩次加載附件和由奧爾森型測(cè)試儀加載之間。最大撓度測(cè)量的差動(dòng)變壓器式位移計(jì)量，和負(fù)載細(xì)胞和X-Y記錄儀是用于在同一時(shí)間獲得連續(xù)的載荷-撓度曲線。固定邊界條件，二硫化鉬潤滑脂涂抹的試樣的接觸部分和加載附件被認(rèn)為是有效的。 圖7 （3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果 圖8 圖9 圖10 圖8圖顯示的各種試件的荷載-撓度曲線。在這些數(shù)據(jù)中觀察到，加載與卸載曲線不重合的曲線。這是由于試樣和加載附件，可以通過在接觸部分采用MoSz-grease有防止之間的摩擦力。但應(yīng)該指出的是，這是必然的-一些試樣的表的初始幾何缺陷。除了摩擦效應(yīng)，荷載撓度曲線也是這個(gè)初始缺陷十分敏感，尤其是彈簧高度的初始缺陷。實(shí)際上，大多數(shù)的荷載-撓度曲線實(shí)驗(yàn)表明對(duì)于小負(fù)載值的參數(shù)如圖所示的奇異性，圖11。在這種情況下，測(cè)量高度C應(yīng)糾正δ圖11如下： 圖11 這種修正的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的比較是非常重要的。所有的圖8圖10是以這樣的方式糾正。 在數(shù)字；實(shí)驗(yàn)結(jié)果與能源解決方案相比，它是觀察到的結(jié)果顯示出良好的協(xié)議。因此，它被發(fā)現(xiàn)的能源解決方案可用于碟形彈簧的設(shè)計(jì)為更好的近似比阿爾-拉斯洛公式。 8、對(duì)碟形彈簧的設(shè)計(jì)計(jì)算公式 由應(yīng)變能量法的近似解減少到以下考慮實(shí)用方便的形式： 對(duì)于負(fù)載一偏轉(zhuǎn)特性， 這些應(yīng)力， 其中 W: 最大撓度 P：軸向力 σu：在內(nèi)部邊緣的上表面的總應(yīng)力 σL：在內(nèi)部邊緣的下表面的總應(yīng)力 E：楊氏模量 ν：泊松比 α，N, β, γ:常數(shù) 而且 圖12顯示的值的常數(shù)，α，N,β,γ取決于半徑比ρ，這圖也顯示方程（36）M的值。 9、摘要 碟形彈簧的微分方程的數(shù)值方法，基于Reissner理論彈簧的迭代過程，使檢測(cè)精度的近似解和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證這些結(jié)果的有效性。 近似解，本質(zhì)上是不gawempner方案得到的應(yīng)變能方法，但更加有用，因?yàn)橛袃蓚€(gè)幾何參數(shù)來代替wempner方案為碟形彈簧的一個(gè)很好的近似解。本報(bào)告中的數(shù)值方法是由Keller和Reiss的迭代程序的改進(jìn)，可以應(yīng)用于其他的非線性問題的近似解可以容易得到。 圖12 應(yīng)當(dāng)指出的是，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中觀察到的實(shí)際的載荷 - 撓度曲線是通過摩擦力在邊緣和初始幾何缺陷的影響。 最后，作者想表達(dá)自己的感謝為自己便利進(jìn)行計(jì)算K.JO教授和助理教授S.Makinouch提供的設(shè)施 參考文獻(xiàn) (1)J.O. Almen and A. Laszlo: Trans. ASME, Vo1.58（1936), p. 305. (2)G.A. Wempner: Proc. Third U.S. Nat. Congr.Appl.Mech., (1958), p. 473. (3)E. Reissner: Progr. Appl. Mech. The Prager Anni-versary Volume, (1963), p. 171. (4)H.B. Keller and E.L. Aeiss: Proc. Third U.S. Nat.Congr. Appl. Mech:, (1958), p. 375.