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. 選修4--5 不等式選講 一、課程目標解讀 ??選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、數(shù)學歸納法與不等式。 通過本專題的教學，使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學關(guān)系，它們在數(shù)學研究和數(shù)學應(yīng)用中起著重要的作用；使學生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。 二、教材內(nèi)容分析 作為一個選修專題，雖然學生已經(jīng)學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．整個專題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示： 第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法。回顧了二元基本不等式，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。 對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。 第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實際例子，使學生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學設(shè)計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。 第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學的重點。事實上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如課本P41頁，習題3.2?第四題。 排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學生閱讀自學，了解教材中展示的“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關(guān)知識。 第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”．數(shù)學歸納法在選修2-2中也學過，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學估算方面的初步運用。 三、教學目標要求 1．不等式的基本性質(zhì) 掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形。 2．含有絕對值的不等式 理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。 3．不等式的證明 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法 4．幾個著名的不等式 (1)認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。 (2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式并應(yīng)用。 (3)了解n個正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式 5．利用不等式求最大（小）值 會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。 6．數(shù)學歸納法與不等式 了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式。 會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式。 四、教學重點難點 1、本專題的教學重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式； 2、本專題的教學難點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。 五、教學總體建議 1、回顧并重視學生已學知識 學習本專題，學生已掌握的知識有： 第一、初中課標要求的不等式與不等式組 (1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。 (3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題 第二、高中必修5不等式內(nèi)容： (1)不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。 (2)一元二次不等式。 (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。 (4)基本不等式及其應(yīng)用（求最值）。 第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內(nèi)容。 回顧并重視學生在學習本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當指導(dǎo)學生閱讀自學，設(shè)置梯度恰當?shù)牧曨}，采用題組教學的形式，達到復(fù)習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習，構(gòu)建知識體系。 2、控制難度不拓展 在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式； 不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。 代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學生來說，往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。 3、重視不等式的應(yīng)用 不等式應(yīng)用的教學，主要是引導(dǎo)學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。 4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景 幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當引導(dǎo)學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學生閱讀了解相關(guān)背景知識。 第一講 不等式和絕對值不等式 課 題：　第01課時 不等式的基本性質(zhì) 教學目標： 1． 理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎(chǔ)。 2． 掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。 教學重點：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。 教學難點：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。 教學過程： 一、引入： 不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學關(guān)系。《列子?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學研究中也起著相當重要的作用。 本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數(shù)學歸納法和它的簡單應(yīng)用等。 人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。 生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢? 二、不等式的基本性質(zhì)： 1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系： 數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知： 得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。 2、不等式的基本性質(zhì)： ①、如果a>b，那么bb。(對稱性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。 ③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb >0，那么 (nN，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。 三、典型例題： 例1、比較和的大小。 分析：通過考察它們的差與0的大小關(guān)系，得出這兩個多項式的大小關(guān)系。 例2、已知，求證：． 例3、已知a>b>0，c>d>0，求證：。 四、課堂練習： 1：已知，比較與的大小。 2：已知a>b>0，c，對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。 四、課堂練習：解下列不等式： 1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 . 7、 8、 9、 10、 五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。 六、教學后記： 第二講 證明不等式的基本方法 課 題：　第01課時 不等式的證明方法之一：比較法 教學目標：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。 教學重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。 教學過程： 一、新課學習： 要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)： 二、典型例題： 例1、設(shè)都是正數(shù)，且，求證：。 例2、若實數(shù)，求證： 證明：采用差值比較法： = = = = ∴ ∴ 討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？ 例3、已知求證 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè) ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。 例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。 分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題，只要比較的大小就可以了。 解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據(jù)題意有，，可得，， 從而， 其中都是正數(shù)，且。于是，即。 從而知甲比乙首先到達指定地點。 討論：如果，甲、乙兩人誰先到達指定地點？ 三、課堂練習： 1．比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。? （1）與；（2）與. 2．已知 求證：（1） （2） 3．若，求證 四、課時小結(jié)： 比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。 五、課后作業(yè)： 課本23頁第1、2、3、4題。 六、教學后記： 課 題：第02課時 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 教學目標： 1、 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。 2、 了解分析法和綜合法的思考過程。 教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。 教學難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法。 教學過程： 一、引入： 綜合法和分析法是數(shù)學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由 于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比研究兩種思路方法的特點。 所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證 的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。 二、典型例題： 例1、已知，且不全相等。求證： 分析：用綜合法。 例2、設(shè)，求證 證法一 分析法 要證成立. 只需證成立，又因， 只需證成立，又需證成立， 即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。 證法二 綜合法 注意到，即， 由上式即得，從而成立。 議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？ 例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證： （1） 證法一 要證（1），只需證 （2） 要證（2），只需證 （3） 要證（3），只需證 （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。 證法二 因為 是正數(shù)，所以 兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得（1）。 例4、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。 分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。 證明：設(shè)截面的周長為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。 為了證明上式成立，只需證明。 兩邊同乘以正數(shù)，得：。因此，只需證明。 上式顯然成立，所以 。 這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。 例5、證明：。 證法一： 因為 （2） （3） （4） 所以三式相加得 （5） 兩邊同時除以2即得（1）。 證法二： 所以（1）成立。 例6、證明： （1） 證明 （1） （2） （3） （4） （5） （5）顯然成立。因此（1）成立。 例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號在什么時候成立？ 分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。 證明： = = 由于都是正數(shù)，所以而， 可知 即（等號在時成立） 探究：如果將不等式中的分別用來代替，并在兩邊同除以3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： ，其中是互不相等的正數(shù)，且. 三、課堂小結(jié)： 解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上（或減去）一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。 四、課堂練習： 1、已知求證： 2、已知求證 3、已知求證 4、已知求證： （1）（2） 5、已知都是正數(shù)。求證： （1） （2） 6、已知都是互不相等的正數(shù)，求證 五、課后作業(yè)： 課本25頁第1、2、3、4題。 六、教學后記： 課 題：　第03課時 不等式的證明方法之三：反證法 教學目標： 通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。 教學重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。 教學難點：會用反證法證明簡單的命題。 教學過程: 一、引入： 前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。 反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。 利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟： 第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步 作出與所證不等式相反的假定； 第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。 二、典型例題： 例1、已知，求證：（且） 例1、設(shè)，求證 證明：假設(shè)，則有，從而 因為，所以，這與題設(shè)條件矛盾，所以，原不等式成立。 例2、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于. 證明：假設(shè)都小于，則 （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。 注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。 議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？ 例3、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘：ab < (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾∴原式成立 例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設(shè)a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0 三、課堂練習： 1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且，則 2、設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同時大于1 3、若x, y > 0，且x + y >2，則和中至少有一個小于2。 提示：反設(shè)≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾。 四、課時小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟： 第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步 作出與所證不等式相反的假定； 第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。 五、課后作業(yè)： 課本29頁第1、4題。 六、教學后記： 課 題： 第04課時 不等式的證明方法之四：放縮法 教學目標： 1．感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。 2．探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。 教學重、難點： 1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。 2．體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。 教學過程： 一、引入： 所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學習高等數(shù)學時用處更為廣泛。 下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。 二、典型例題： 例1、若是自然數(shù)，求證 證明： = = 注意：實際上，我們在證明的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。 例2、求證： 證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 例3、若a, b, c, d?R+，求證： 證：記m = ∵a, b, c, d?R+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立。 例4、當 n > 2 時，求證： 證：∵n > 2 ∴ ∴ ∴n > 2時, 三、課堂練習： 1、設(shè)為大于1的自然數(shù)，求證 2、設(shè)為自然數(shù)，求證 四、課時小結(jié)： 常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式， （Ⅰ）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜?shù)），則分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。 五、課后作業(yè)：課本29頁第2、3題。 第三講 柯西不等式與排序不等式 課 題： 第01課時 二維形式的柯西不等式（一） 教學目標：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式. 教學難點：理解幾何意義. 教學過程： 一、復(fù)習準備： 1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？ 答案：及幾種變式. 2. 練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證 證法：（比較法）=….= 二、講授新課： 1. 柯西不等式： ① 提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時候取等號？ ② 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點：展開→配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量，，則，. ∵ ，且，則. ∴ ….. 證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則 ≥0恒成立. ∴ ≤0，即….. ③ 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. ④ 提出定理2：設(shè)是兩個向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 討論：上面時候等號成立？（是零向量，或者共線） ⑤ 練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 → 應(yīng)用柯西不等式 → 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形） 2. 教學三角不等式： ① 出示定理3：設(shè)，則. 分析其幾何意義 → 如何利用柯西不等式證明 → 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 三、應(yīng)用舉例： 例1：已知a,b為實數(shù)，求證 說明：在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學研究的有力工具。 例題2：求函數(shù)的最大值。 分析：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（） 解：函數(shù)的定義域為【1，5】，且y>0 當且僅當時，等號成立，即時，函數(shù)取最大值 課堂練習：1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2 2.求函數(shù)的最大值. 例3.設(shè)a,b是正實數(shù)，a+b=1，求證 分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。 四、鞏固練習： 1. 練習：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、課堂小結(jié)： 二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、三點） 六、布置作業(yè)：P37頁，4，5， 7，8，9 七、教學后記： 課 題： 第02課時 二維形式的柯西不等式（二） 教學目標：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系. 教學重點：利用二維柯西不等式解決問題. 教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式. 教學過程： 一、復(fù)習引入： 1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？ 幾何意義？ 答案：； 2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？ 3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點：利用變式. 二、講授新課： 1. 最大（?。┲担? ① 出示例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ → 構(gòu)造柯西不等式的形式 → 板演 → 變式： → 推廣： ② 練習：已知，求的最小值. 解答要點：（湊配法）. 討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法） 2. 不等式的證明： ① 出示例2：若，，求證：. 分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對比 → 構(gòu)造） 要點：… 討論：其它證法（利用基本不等式） ② 練習：已知、，求證：. 三、應(yīng)用舉例： 例1已知a1,a2,…,an都是實數(shù)，求證： 分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。 例2已知a，b，c，d是不全相等的實數(shù)，證明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進行證明。 分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造（12+22+32）作為一個因式而解決問題。 四、鞏固練習： 1. 練習：教材P37 8、9題 練習：1．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。 2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。 選做：4．已知a，b，c為正實數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08廣一模） 5．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。（08東莞二模） 6．已知x+y+z=，則m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州調(diào)研) 五、布置作業(yè)：教材P37 1、6、7題 ① 已知，且，則的最小值. 要點：…. → 其它證法 ② 若，且，求的最小值. （要點：利用三維柯西不等式） 變式：若，且，求的最大值. 六、課堂小結(jié)： 比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧. 七、教學后記： 課 題： 第03課時 一般形式的柯西不等式 教學目標： 1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義； 2.通過運用這種不等式分析解決一些問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法 教學重點：一般形式柯西不等式的證明思路，運用這個不等式證明不等式。 教學難點：應(yīng)用一般形式柯西不等式證明不等式。 教學過程： 一、復(fù)習引入： 定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實數(shù)，則 ，其中等號當且僅當時成立。 定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個向量，則，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。 定理3：（三角形不等式）設(shè)為任意實數(shù)，則： 二、講授新課： 類似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|α.β|≤|α|| β| .將空間向量的坐標代入，可得到這就是三維形式的柯西不等式. 對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？ 定理4：（一般形式的柯西不等式）：設(shè)為大于1的自然數(shù)，（1，2，…，）為任意實數(shù)，則： 即 ，其中等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，…，）。 證明：構(gòu)造二次函數(shù)： 即構(gòu)造了一個二次函數(shù)： 由于對任意實數(shù)，恒成立，則其， 即：， 即：， 等號當且僅當， 即等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，…，）。 如果（）全為0，結(jié)論顯然成立。 三、應(yīng)用舉例： 例3 已知a1,a2,…,an都是實數(shù)，求證： 分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。 例4已知a，b，c，d是不全相等的實數(shù)，證明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進行證明。 分析：由形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造（12+22+32）作為一個因式而解決問題。 四、鞏固練習： 練習：1．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。 2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。 五、課堂小結(jié)：重點掌握三維柯西不等式的運用。 六、布置作業(yè)：P41習題3.2 2，3，4，5 七、教學后記： 課 題： 第04課時 排序不等式 教學目標： 1. 了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題; 2. 體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法 教學重點：應(yīng)用排序不等式證明不等式 教學難點：排序不等式的證明思路 教學過程 一、復(fù)習準備： 1. 提問： 前面所學習的一些經(jīng)典不等式？ （柯西不等式、三角不等式） 2. 舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例. 二、講授新課： 1. 教學排序不等式： ① 看書：P41~P44. 如 如圖， 設(shè)，自點沿邊依次取個點， 邊依次取取個點，在邊取某個點與邊 某個點連接，得到，這樣一一搭配，一共可得到 個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的 不同，問：邊上的點與邊上的點如何搭配，才能使個三角形的 面積和最大（或最小）？ 設(shè)，由已知條件，得 因為的面積是 ，而 是常數(shù)，于是，上面的幾何問題就可以歸結(jié)為 代數(shù)問題： 則 何時取最大（或最?。┲?？ 我們把叫做數(shù)組與的亂序和. 其中, 稱為 序和. 稱為 序和.這樣的三個和大小關(guān)系如何? 設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組:···;···，···是，···的任一排列,則有 ···+ (同序和)+···+ (亂序和)+···+ (反序和) 當且僅當···=或···=時，反序和等于同序和. （要點：理解其思想，記住其形式） 三、應(yīng)用舉例： 例1：設(shè)是n個互不相同的正整數(shù)，求證： . 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運用套用排序不等式？ 證明過程： 設(shè)是的一個排列，且，則. 又，由排序不等式，得 … 小結(jié)：分析目標，構(gòu)造有序排列. 四、鞏固練習： 1. 練習：教材P45 1題 2.已知為正數(shù)，求證：. 解答要點：由對稱性，假設(shè)，則， 于是 ，， 兩式相加即得. 五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式. 六、布置作業(yè)：教材P45 3、4題 七、教學后記： 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 課 題： 第01課時 數(shù)學歸納法（一） 教學目標： 1.了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題； 2. 進一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學思想。 教學重點：數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學歸納法的證題步驟的掌握。 教學難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解。 教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題 （1）不完全歸納法： 今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因為清晨我在學校門口看到第一個進校園的是男同學，第二個進校園的也是男同學，第三個進校園的還是男同學。于是得出結(jié)論：學校里全部都是男同學，同學們說我的結(jié)論對嗎？ （這顯然是一個錯誤的結(jié)論，說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進而引出第二個問題） （2）完全歸納法： 一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢？ （將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進行驗證。） 注：對于以上二例的結(jié)果是非常明顯的，教學中主要用以上二題引出數(shù)學歸納法。 結(jié)論：不完全歸納法→結(jié)論不可靠；完全歸納法→結(jié)論可靠。 問題：以上問題都是與正整數(shù)有關(guān)的問題