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2015-2016學年江西省撫州市臨川一中七年級（下）期中數學試卷 一、選擇題：（本大題8個小題，每小題3分，共24分） 1．（﹣x2）3的結果應為（　?。? A．﹣x5 B．x5 C．﹣x6 D．x6 2．計算（π﹣3）0的結果是（　　） A．0 B．1 C．3﹣π D．π﹣3 3．如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在（　?。? A．A點 B．B點 C．C點 D．D點 4．如果每盒鋼筆有10支，售價25元，那么購買鋼筆的總錢數y（元）與支數x之間的關系式為（　　） A．y=10x B．y=25x C．y=x D．y=x 5．若（x+k）（x﹣4）的積中不含有x的一次項，則k的值為（　?。? A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣4或4 6．如果關于x的二次三項式x2﹣2（m﹣1）x+16是一個完全平方式，那么m的值是（　　） A．﹣3或5 B．4或﹣4 C．﹣8 D．無法確定 7．如圖，在五邊形ABCDE中，∠CDE=80，為了保證AE∥BC，則∠BCD+∠AED應等于（　?。? A．100 B．260 C．280 D．275 8．如圖，在平面內，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱（p，q）為點M的“距離坐標”．根據上述規(guī)定，“距離坐標”是（2，1）的點共有（　?。﹤€． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二、填空題： 9．計算：（2a+b）（2a﹣b）=　　　　　?。? 10．若am=2，an=3，則am+2n=　　　　　　． 11．已知a+b=4，ab=1，則a2+b2的值是　　　　　　． 12．如圖，將三角板與直尺貼在一起，使三角板的直角頂點C（∠ACB=90）在直尺的一邊上，若∠1=25，則∠2的度數等于　　　　　?。? 13．如圖，下列能判定AB∥CD的條件有　　　　　　（填序號） ①∠B+∠BCD=180；②∠2=∠3；③∠1=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5． 14．如圖1，一張四邊形紙片ABCD，∠A=50，∠C=150．若將其按照圖2所示方式折疊后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，則∠D的度數為　　　　　?。? 15．如圖，在46的正方形網格，點A、B、C、D、E、F都在格點上，連接C、D、E、F中任意兩點得到的所有線段中，與線段AB平行的線段是　　　　　　，與線段AB垂直的線段是　　　　　　． 16．為了增強抗旱能力，保證今年夏糧豐收，某村新建了一個蓄水池，這個蓄水池安裝了兩個進水管和一個出水管（兩個進水管的進水速度相同）一個進水管和一個出水管的進出水速度如圖1所示，某天0點到6點（至少打開一個水管），該蓄水池的蓄水量如圖2所示，并給出以下三個論斷：①0點到1點不進水，只出水；②1點到4點不進水，不出水；③4點到6點只進水，不出水．則一定正確的論斷是　　　　　　． 　 三、解答題（共72分）： 17．計算． （1）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （3）（﹣2）2+3（﹣2）﹣（）﹣1； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 18．先化簡，再求值，（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x=﹣． 19．由于被墨水污染，一道幾何題僅能見到如圖所示的圖形和文字： “如圖，已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=67，…” （1）根據以上信息，你可以求出∠A、∠B、∠C中的哪個角？寫出求解的過程； （2）若要求出其它的角，請你添上一個適當的條件：　　　　　　，并寫出解題過程． 20．如圖反映的是小剛從家里跑步去體育館，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，然后走回家，其中x表示時間，y表示小剛離家的距離．根據圖象回答下列問題： （1）體育場離小剛家　　　　　　 千米，小剛在體育場鍛煉了　　　　　　 分鐘． （2）體育場離文具店　　　　　　 千米，小剛在文具店停留了　　　　　　 分鐘． （3）小剛從家跑步到體育場、從體育場走到文具店、從文具店散步回家的速度分別是多少？ 21．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F． （1）求證：CF∥AB； （2）求∠DFC的度數． 22．看圖填空，并在括號內注明說理依據． 如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35，∠2=35，AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？ 解：因為∠1=35，∠2=35（已知）， 所以∠1=∠2． 所以　　　　　　∥　　　　　?。ā　　　　　。? 又因為AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC=90．（　　　　　　） 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125． 同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=　　　　　　． 所以∠EAB=∠FBG（　　　　　?。? 所以　　　　　　∥　　　　　　（同位角相等，兩直線平行）． 23．閱讀理解題： 定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2=﹣1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為a+bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似． 例如計算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i． （1）填空：i3=　　　　　　，i4=　　　　　?。? （2）計算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2； （3）若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y為實數），求x，y的值． （4）試一試：請利用以前學習的有關知識將化簡成a+bi的形式． 24．已知：∠MON=80，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O 重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC=x． （1）如圖1，若AB∥ON，則： ①∠ABO的度數是　　　　　　； ②如圖2，當∠BAD=∠ABD時，試求x的值（要說明理由）； （2）如圖3，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，直接寫出x的值；若不存在，說明理由．（自己畫圖） 　  2015-2016學年江西省撫州市臨川一中七年級（下）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題8個小題，每小題3分，共24分） 1．（﹣x2）3的結果應為（　?。? A．﹣x5 B．x5 C．﹣x6 D．x6 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據冪的乘方，底數不變指數相乘，計算后直接選取答案． 【解答】解：（﹣x2）3=﹣x6．故選C． 【點評】本題考查冪的乘方的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵． 　 2．計算（π﹣3）0的結果是（　?。? A．0 B．1 C．3﹣π D．π﹣3 【考點】零指數冪． 【專題】計算題． 【分析】根據非0數的零指數冪的定義a0=1（a≠0）可得結果． 【解答】解：原式=1． 故選B． 【點評】解答此題要熟知，任何非0數的零次冪等于1． 　 3．如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在（　?。? A．A點 B．B點 C．C點 D．D點 【考點】垂線段最短． 【專題】應用題． 【分析】根據垂線段最短可得答案． 【解答】解：根據垂線段最短可得：應建在A處， 故選：A． 【點評】此題主要考查了垂線段的性質，關鍵是掌握從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短． 　 4．如果每盒鋼筆有10支，售價25元，那么購買鋼筆的總錢數y（元）與支數x之間的關系式為（　?。? A．y=10x B．y=25x C．y=x D．y=x 【考點】函數關系式． 【分析】首先根據單價=總價數量，用每盒鋼筆的售價除以每盒鋼筆的數量，求出每支鋼筆的價格是多少；然后根據購買鋼筆的總錢數=每支鋼筆的價格購買鋼筆的支數，求出購買鋼筆的總錢數y（元）與支數x之間的關系式即可． 【解答】解：2510= 所以購買鋼筆的總錢數y（元）與支數x之間的關系式為： y=x． 故選：D． 【點評】此題主要考查了函數關系式的求法，以及單價、數量、總價的關系，要熟練掌握；解答此題的關鍵是根據單價=總價數量，求出每支鋼筆的價格是多少． 　 5．若（x+k）（x﹣4）的積中不含有x的一次項，則k的值為（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣4或4 【考點】多項式乘多項式． 【分析】根據多項式乘多項式的運算法則，展開后令x的一次項的系數為0，列式求解即可． 【解答】解：（x+k）（x﹣4）， =x2﹣4x+kx﹣4k， =x2+（k﹣4）x﹣4k， ∵不含有x的一次項， ∴k﹣4=0， 解得k=4． 故選B． 【點評】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數為0． 　 6．如果關于x的二次三項式x2﹣2（m﹣1）x+16是一個完全平方式，那么m的值是（　　） A．﹣3或5 B．4或﹣4 C．﹣8 D．無法確定 【考點】完全平方式． 【分析】先根據兩平方項項確定出這兩個數是x和4，再根據完全平方公式求解即可． 【解答】解：∵關于x的二次三項式x2﹣2（m﹣1）x+16是一個完全平方式， ∴﹣2（m﹣1）x=24x ∴m﹣1=4， ∴m=﹣3或5． 故選：A． 【點評】本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．此題解題的關鍵是利用平方項來確定這兩個數． 　 7．如圖，在五邊形ABCDE中，∠CDE=80，為了保證AE∥BC，則∠BCD+∠AED應等于（　　） A．100 B．260 C．280 D．275 【考點】平行線的判定；多邊形內角與外角． 【分析】過點D作DF∥AE∥BC，利用平行線的判定解答即可． 【解答】解：過點D作DF∥AE∥BC，如圖： ∵DF∥AE∥BC， ∴∠AED+∠EDF=∠FDC+∠BCD=180， ∵∠CDE=80， ∴∠BCD+∠AED=360﹣80=280， 故選C． 【點評】本題主要考查平行線的判定，關鍵是過點D作DF∥AE∥BC，利用平行線的性質解答． 　 8．如圖，在平面內，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱（p，q）為點M的“距離坐標”．根據上述規(guī)定，“距離坐標”是（2，1）的點共有（　?。﹤€． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】點到直線的距離． 【專題】壓軸題；新定義． 【分析】到l1距離為2的直線有2條，到l2距離為1的直線有2條，這4條直線有4個交點，這4個交點就是“距離坐標”是（2，1）的點． 【解答】解：因為兩條直線相交有四個角，因此每一個角內就有一個到直線l1，l2的距離分別是2，1的點，即距離坐標是（2，1）的點，因而共有4個． 故選D． 【點評】本題用到的知識點為：到一條已知直線距離為定值的直線有兩條． 　 二、填空題： 9．計算：（2a+b）（2a﹣b）=　4a2﹣b2　． 【考點】平方差公式． 【分析】根據平方差公式，即可解答． 【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2， 故答案為：4a2﹣b2． 【點評】本題考查了平方差公式，解決本題的關鍵是熟記平方差公式． 　 10．若am=2，an=3，則am+2n=　18　． 【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法． 【分析】指數相加可以化為同底數冪的乘法，故am+2n=am?a2n，指數相乘化為冪的乘方a2n=（an）2，再根據已知條件可得到答案． 【解答】解：am+2n=am?a2n=am?（an）2=29=18． 故答案為：18． 【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的逆運算，關鍵是熟練掌握相關運算法則． 　 11．已知a+b=4，ab=1，則a2+b2的值是　14　． 【考點】完全平方式． 【分析】利用完全平方和公式（a+b）2=a2+b2+2ab解答． 【解答】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣2=14；即a2+b2=14． 故答案是：14． 【點評】此題考查了完全平方公式的應用；兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解． 　 12．如圖，將三角板與直尺貼在一起，使三角板的直角頂點C（∠ACB=90）在直尺的一邊上，若∠1=25，則∠2的度數等于　65?。? 【考點】平行線的性質． 【分析】先求出∠3，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠2=∠3． 【解答】解：∵∠ACB=90，∠1=25， ∴∠3=90﹣25=65， ∵直尺的兩邊互相平行， ∴∠2=∠3=65． 故答案為：65． 【點評】本題考查了平行線的性質，余角的定義，熟記性質是解題的關鍵． 　 13．如圖，下列能判定AB∥CD的條件有　①③④?。ㄌ钚蛱枺? ①∠B+∠BCD=180；②∠2=∠3；③∠1=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5． 【考點】平行線的判定． 【分析】根據平行線的判定方法直接判定． 【解答】解：選項①中∵∠B+∠BCD=180，∴AB∥CD （同旁內角互補，兩直線平行），所以正確； 選項②中，∵∠2=∠3，∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行），所以錯誤； 選項③中，∵∠1=∠4，∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），所以正確； 選項④中，∵∠B=∠5，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），所以正確； 選項⑤中，∠D=∠5，∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行），所以錯誤； 故答案為：①③④． 【點評】本題主要考查了平行線的判定方法，正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題的關鍵，不能遇到相等或互補關系的角就誤認為具有平行關系，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出兩被截直線平行． 　 14．如圖1，一張四邊形紙片ABCD，∠A=50，∠C=150．若將其按照圖2所示方式折疊后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，則∠D的度數為　80　． 【考點】平行線的性質；翻折變換（折疊問題）． 【分析】先根據翻折變換的性質得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行線的性質求出∠1+∠=∠D′MN及∠2+∠D′NM的度數，進而可得出結論． 【解答】解：∵△MND′由△MND翻折而成， ∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM， ∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50，∠C=150 ∴∠1+∠D′MN=∠A=50，∠2+∠D′NM=∠C=150， ∴∠1=∠D′MN=∠A==25，∠2=∠D′NM=∠C==75， ∴∠D=180﹣∠1﹣∠2=180﹣25﹣75=80． 故答案是：80． 【點評】本題考查的是翻折變換的性質及平行線的性質，解答此類題目時往往隱含了三角形的內角和是180這一知識點． 　 15．如圖，在46的正方形網格，點A、B、C、D、E、F都在格點上，連接C、D、E、F中任意兩點得到的所有線段中，與線段AB平行的線段是　FD　，與線段AB垂直的線段是　DE?。? 【考點】平行線的判定；垂線． 【分析】分別畫出C、D、E、F中每兩點所在直線，再根據平行與垂直的定義結合圖形即可求解． 【解答】解：分別畫出C、D、E、F中每兩點所在直線，如圖所示： 與線段AB平行的線段是FD，與線段AB垂直的線段是DE． 故答案為FD，DE． 【點評】此題考查了平行線的判定方法：同一平面內不相交的兩條直線互相平行．同時考查了垂直的定義． 　 16．為了增強抗旱能力，保證今年夏糧豐收，某村新建了一個蓄水池，這個蓄水池安裝了兩個進水管和一個出水管（兩個進水管的進水速度相同）一個進水管和一個出水管的進出水速度如圖1所示，某天0點到6點（至少打開一個水管），該蓄水池的蓄水量如圖2所示，并給出以下三個論斷：①0點到1點不進水，只出水；②1點到4點不進水，不出水；③4點到6點只進水，不出水．則一定正確的論斷是?、邸。? 【考點】函數的圖象． 【分析】根據圖象1可知進水速度小于出水速度，結合圖2中特殊點的實際意義即可作出判斷． 【解答】解：①0點到1點既進水，也出水； ②1點到4點同時打開兩個管進水，和一只管出水； ③4點到6點只進水，不出水． 正確的只有③． 故答案為：③． 【點評】主要考查了函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論． 　 三、解答題（共72分）： 17．計算． （1）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （3）（﹣2）2+3（﹣2）﹣（）﹣1； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 【考點】平方差公式；負整數指數冪． 【分析】（1）根據平方差公式，即可解答； （2）根據平方差公式，即可解答； （3）根據有理數的乘方和倒數，即可解答； （4）根據平方差公式，即可解答． 【解答】解：（1）原式=（﹣y）2﹣（2x）2=y2﹣4x2． （2）原式=x2﹣y2+4x2﹣y2 =5x2﹣2y2． （3）原式=4﹣6﹣4 =﹣6． （4）原式=（a2﹣9）（a2+9） =a4﹣81． 【點評】本題考查了有理數的乘方和倒數，解決本題的關鍵是熟記有理數的乘方和倒數． 　 18．先化簡，再求值，（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x=﹣． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】首先根據整式相乘的法則和平方差公式、完全平方公式去掉括號，然后合并同類項，最后代入數據計算即可求解． 【解答】解：原式=9x2﹣4﹣（5x2﹣5x）﹣（4x2﹣4x+1） =9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1 =9x﹣5， 當時， 原式==﹣3﹣5=﹣8． 【點評】此題主要考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是利用整式的乘法法則及平方差公式、完全平方公式化簡代數式． 　 19．由于被墨水污染，一道幾何題僅能見到如圖所示的圖形和文字： “如圖，已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=67，…” （1）根據以上信息，你可以求出∠A、∠B、∠C中的哪個角？寫出求解的過程； （2）若要求出其它的角，請你添上一個適當的條件：　AB∥CD　，并寫出解題過程． 【考點】平行線的性質． 【分析】（1）根據平形線的性質解答； （2）添加條件AB∥CD，然后根據平行線的性質解答． 【解答】解：（1）可以求出∠C， 證明：∵AD∥BC， ∴∠C=180﹣∠D=180﹣67=113； （2）∵AB∥CD， ∴∠B=180﹣∠C=180﹣113=67； ∴∠A=180﹣67=113． 故答案為AB∥CD． 【點評】本題考查了平行線的性質，條件是開放的，要準確找到位角、內錯角、同旁內角． 　 20．如圖反映的是小剛從家里跑步去體育館，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，然后走回家，其中x表示時間，y表示小剛離家的距離．根據圖象回答下列問題： （1）體育場離小剛家　2.5　 千米，小剛在體育場鍛煉了　15　 分鐘． （2）體育場離文具店　1　 千米，小剛在文具店停留了　20　 分鐘． （3）小剛從家跑步到體育場、從體育場走到文具店、從文具店散步回家的速度分別是多少？ 【考點】函數的圖象． 【分析】（1）根據觀察函數圖象的縱坐標，可得距離，觀察函數圖象的橫坐標，可得時間； （2）根據觀察函數圖象的橫坐標，可得體育場與文具店的距離，觀察函數圖象的橫坐標，可得在文具店停留的時間； （3）根據觀察函數圖象的縱坐標，可得路程，根據觀察函數圖象的橫坐標，可得回家的時間，根據路程與時間的關系，可得答案． 【解答】解：（1）由縱坐標看出體育場離陳歡家2.5千米，由橫坐標看出小剛在體育場鍛煉了15分鐘； （2）由縱坐標看出體育場離文具店2.5﹣1.5=1（千米）， 由橫坐標看出 小剛在文具店停留了65﹣45=20（分）． 故答案為：2.5，15，1，20； （3）由縱坐標看出文具店距張強家1.5千米，由橫坐標看出從文具店回家用了100﹣65=35（分鐘）， 張強從文具店回家的平均速度是1.535=（千米/分）． 答：張強從文具店回家的平均速度是千米/分鐘． 【點評】本題考查了函數圖象，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數問題的相應解決．需注意計算單位的統(tǒng)一． 　 21．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F． （1）求證：CF∥AB； （2）求∠DFC的度數． 【考點】平行線的判定；角平分線的定義；三角形內角和定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）首先根據角平分線的性質可得∠1=45，再有∠3=45，再根據內錯角相等兩直線平行可判定出AB∥CF； （2）利用三角形內角和定理進行計算即可． 【解答】（1）證明：∵CF平分∠DCE， ∴∠1=∠2=∠DCE， ∵∠DCE=90， ∴∠1=45， ∵∠3=45， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CF（內錯角相等，兩直線平行）； （2）∵∠D=30，∠1=45， ∴∠DFC=180﹣30﹣45=105． 【點評】此題主要考查了平行線的判定，以及三角形內角和定理，關鍵是掌握內錯角相等，兩直線平行． 　 22．看圖填空，并在括號內注明說理依據． 如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35，∠2=35，AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？ 解：因為∠1=35，∠2=35（已知）， 所以∠1=∠2． 所以　AC　∥　BD?。ā⊥唤窍嗟?，兩直線平行?。? 又因為AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC=90．（　垂直的定義?。? 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125． 同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=　125　． 所以∠EAB=∠FBG（　等量代換?。? 所以　AE　∥　BF　（同位角相等，兩直線平行）． 【考點】平行線的判定． 【分析】根據同位角相等，兩直線平行得到AC∥BD，根據垂直的定義得到∠EAB=∠FBG，根據同位角相等，兩直線平行證明結論． 【解答】解：因為∠1=35，∠2=35（已知）， 所以∠1=∠2． 所以AC∥BD（同位角相等，兩直線平行）． 又因為AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC=90．（垂直的定義） 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125． 同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=125． 所以∠EAB=∠FBG（等量代換）． 所以AE∥BF（同位角相等，兩直線平行）． 故答案為：AC；BD；同位角相等，兩直線平行；垂直的定義；125；等量代換；AE；BF． 【點評】本題考查的是平行線的判定，掌握同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行是解題的關鍵． 　 23．閱讀理解題： 定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2=﹣1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為a+bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似． 例如計算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i． （1）填空：i3=　﹣i　，i4=　1?。? （2）計算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2； （3）若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y為實數），求x，y的值． （4）試一試：請利用以前學習的有關知識將化簡成a+bi的形式． 【考點】整式的混合運算． 【專題】壓軸題；閱讀型；新定義． 【分析】（1）根據i2=﹣1，則i3=i2?i，i4=i2?i2，然后計算； （2）根據平方差公式和完全平方公式計算，出現(xiàn)i2，化簡為﹣1計算； （3）把原式化簡后，根據實部對應實部，虛部對應虛部列出方程，求得x，y的值； （4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化為不含i的數后計算． 【解答】解：（1）∵i2=﹣1， ∴i3=i2?i=﹣1?i=﹣i， i4=i2?i2=﹣1?（﹣1）=1， （2）①（2+i）（2﹣i）=﹣i2+4=1+4=5； ②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i； （3）∵（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi， ∴x+y=1﹣x，3=﹣y， ∴x=2，y=﹣3； （4）=． 【點評】本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運用規(guī)律，聯(lián)想遷移；（4）類比推理，解答問題． 　 24．已知：∠MON=80，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O 重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC=x． （1）如圖1，若AB∥ON，則： ①∠ABO的度數是　40??； ②如圖2，當∠BAD=∠ABD時，試求x的值（要說明理由）； （2）如圖3，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，直接寫出x的值；若不存在，說明理由．（自己畫圖） 【考點】平行線的性質；垂線． 【分析】（1）①利用角平分線的性質求出∠ABO的度數； ②利用角平分線的性質和平行線的性質求得∠OAC=60； （2）需要分類討論：當點D在線段OB上和點D在射線BE上兩種情況． 【解答】解：（1）①∵∠MON=80，OE平分∠MON， ∴∠AOB=∠BON=40， ∵AB∥ON， ∴∠ABO=40 故答案是：40； ②如答圖1，∵∠MON=80，且OE平分∠MON， ∴∠1=∠2=40， 又∵AB∥ON， ∴∠3=∠1=40， ∵∠BAD=∠ABD， ∴∠BAD=40 ∴∠4=80， ∴∠OAC=60，即x=60． （2）存在這樣的x， ①如答圖2，當點D在線段OB上時， 若∠BAD=∠ABD，則x=40； 若∠BAD=∠BDA，則x=25； 若∠ADB=∠ABD，則x=10． ②如答圖3，當點D在射線BE上時，因為∠ABE=130，且三角形的內角和為180， 所以只有∠BAD=∠BDA，此時x=130，C不在ON上，舍去； 綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角， 且x=10、25、40． 【點評】本題考查的是平行線的性質，三角形的內角和定理和三角形的外角性質的應用，注意：三角形的內角和等于180，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．