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計數(shù)應用題 教學目標 （1）掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題； （2）提高合理選用知識解決問題的能力． 教學重點，難點 排列、組合綜合問題． 教學過程 一．數(shù)學運用 1．例題： 例1．2名女生，4名男生排成一排． （1）2名女生相鄰的不同排法共有多少種？ （2）2名女生不相鄰的不同排法共有多少種？ （3）女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？ 解：（1）“捆綁法”：將2名女生看成一個元素，與4名男生共5個元素排成一排，共有種排法，又因為2名相鄰女生有種排法，因此不同的排法種數(shù)是． （2）方法一：（插空法） 分兩步完成： 第一步，將4名男生排成一排，有種排法； 第二步，排2名女生．由于2名女生不相鄰，故可在4名男生之間及兩端的5個位置中選出2個排2名女生，有種排法． 根據分步計數(shù)原理，不同的排法種數(shù)是種． 方法二：（間接法） 因為2名女生的排法只有相鄰與不相鄰兩種情況，所以由（1）的結果可知，2名女生不相鄰的不同排法共有種． （3）方法一：（特殊元素優(yōu)先考慮） 分2步完成： 第一步，排2名女生．由于女生順序已定，故可從6個位置中選出2個位置，即； 第二步，排4名男生．將4名男生排在剩下的4個位置上，有種方法． 根據分步計數(shù)原理，不同的排法種數(shù)是． 方法二：（除法） 如果將6名學生全排列，共有種排法．其中，在男生位置確定之后，女生的排法數(shù)有種，因為女生的順序已定，所以在這中排法中，只有一種符合要求， 故符合要求的排法數(shù)為種． 例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，從50名學生中 3名男生，2名女生分別擔任班長、副班長、學習委員、文娛委員、體育委員，共有多少種不同的選法？ 解：完成這件事分三步進行： 第一步，從30名男生中選3名男生，有種方法； 第二步，從20名男生中選2名男生，有種方法； 第一步，將選出的5名學生進行分工，即全排列，有種方法． 根據分步計數(shù)原理，共有種選法． 答：共有92568000種不同的選法． 思考：如果上述問題解答分兩步：先從30名男生中選3名擔任3種不同職務，再從20名女生中選2名女生擔任不同職務，則結果為，這樣做對嗎？為什么？（從30名男生中選3名擔任3種不同職務的方法數(shù)應為） 說明：排列、組合綜合問題通常遵循“先組合后排列”的原則． 例3．某考生打算從所重點大學中選所填在第一檔次的個志愿欄內，其中校定為第一志愿；再從所一般大學中選所填在第二檔次的三個志愿欄內，其中、兩校必選，且在前．問：此考生共有多少種不同的填表方法？ 解：先填第一檔次的三個志愿欄：因校定為第一檔次的第一志愿，故第一檔次的二、三志愿有種填法；再填第二檔次的三個志愿欄：、兩校有種填法，剩余的一個志愿欄有種填法．由分步計數(shù)原理知，此考生不同的填表方法共有（種）． 例4．有只不同的試驗產品，其中有只次品，只正品，現(xiàn)每次取一只測試，直到只次品全測出為止，求最后一只次品正好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？ 解：本題的實質是，前五次測試中有只正品，只次品，且第五次測試的是次品． 思路一：設想有五個位置，先從只正品中任選只，放在前四個位置的任一個上，有種方法；再把只次品在剩下的四個位置上任意排列，有種排法．故不同的情形共有種． 五．回顧小結： （1）解決有關計數(shù)的應用題時，要仔細分析事件的發(fā)生、發(fā)展過程，弄清問題究竟是排列問題還是組合問題，還是應直接利用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理解決．一個較復雜的問題往往是分類與分步交織在一起，要準確分清，容易產生的錯誤是遺漏和重復計數(shù)； （2）解決計數(shù)問題的常用策略有：（1）特殊元素優(yōu)先安排；（2）排列組合混合題要先選（組合）后排；（3）相鄰問題捆綁處理（先整體后局部）；（4）不相鄰問題插空處理；（5）順序一定問題除法處理；（6）正難則反，合理轉化． 六．課外作業(yè)：