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專題八 系列4選講 第一講 坐標系與參數(shù)方程適考素能特訓 文 1．[2016合肥質(zhì)檢]在直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數(shù))，在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρsinθ＋ρcosθ＝m. (1)若m＝0時，判斷直線l與曲線C的位置關系； (2)若曲線C上存在點P到直線l的距離為，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)曲線C的普通方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一個圓；當m＝0時，直線l的直角坐標方程為：x＋y＝0， 圓心C到直線l的距離為d＝＝＝r，r為圓C的半徑，所以直線l與圓C相切． (2)由已知可得，圓心C到直線l的距離為d＝≤，解得－1≤m≤5. 2．[2016湖南四校聯(lián)考]已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sin. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin的公共點，求x＋y的取值范圍． 解　(1)因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sin， 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圓C的普通方程為x2＋y2＋2x－2y＝0. (2)設z＝x＋y， 由圓C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0?(x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以圓C的圓心是(－1，)，半徑是2， 將代入z＝x＋y得z＝－t. 又直線l過C(－1，)，圓C的半徑是2，所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2， 即x＋y的取值范圍是[－2,2]． 3．[2016山西質(zhì)檢]已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離． 解　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1. 4．[2016長春質(zhì)量監(jiān)測]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8cos. (1)求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線； (2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值． 解　(1)對于曲線C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一個圓． (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：t2－2sinαt－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因此|AB|的最小值為2，最大值為8. 5．[2016河南六市一聯(lián)]在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積． 解　(1)由曲線C的極坐標方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲線C的直角坐標方程是y2＝2x. 由直線l的參數(shù)方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0， 所以直線l的普通方程為x－y－4＝0. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝8，t1t2＝7， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝6， 因為原點到直線x－y－4＝0的距離d＝＝2， 所以△AOB的面積是|AB|d＝62＝12. 6．[2016貴陽監(jiān)測]極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)，射線θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－與曲線C1分別交于(不包括極點O)點A、B、C. (1)求證：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)當φ＝時，B、C兩點在曲線C2上，求m與α的值． 解　(1)證明：依題意|OA|＝4cosφ， |OB|＝4cos，|OC|＝4cos， 則|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos ＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ) ＝4cosφ＝|OA|. (2)當φ＝時，B、C兩點的極坐標分別為、，化為直角坐標為B(1，)、C(3，－)，所以經(jīng)過點B、C的直線方程為y－＝－(x－1)，而C2是經(jīng)過點(m,0)且傾斜角為α的直線，故m＝2，α＝. 7．[2016重慶測試]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝2. (1)求曲線C和直線l在該直角坐標系下的普通方程； (2)動點A在曲線C上，動點B在直線l上，定點P的坐標為(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值． 解　(1)由曲線C的參數(shù)方程可得， (x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1， 所以曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1. 由直線l的極坐標方程：ρsin＝2，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y＝4. (2)設點P關于直線l的對稱點為Q(a，b)，則解得 由(1)知，曲線C為圓，圓心坐標為C(1,0)， 故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝－1. 當Q，B，A，C四點共線，且A在B，C之間時，等號成立，所以|PB|＋|AB|的最小值為－1. 8．[2016全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上． 所以a＝1.