高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第二部分 技巧規(guī)范篇 第一篇 快速解答選擇填空題 第1講 六招求解選擇題 文
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第1講 六招求解選擇題 [題型分析高考展望] 選擇題是高考試題的三大題型之一,其特點是:難度中低,小巧靈活,知識覆蓋面廣,解題只要結果不看過程.解選擇題的基本策略是:充分利用題干和選項信息,先定性后定量,先特殊再一般,先排除后求解,避免“小題大做”. 解答選擇題主要有直接法和間接法兩大類.直接法是最基本、最常用的方法,但為了提高解題的速度,我們還要研究解答選擇題的間接法和解題技巧. 高考必會題型 方法一 直接法 直接從題設條件出發(fā),運用有關概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識,通過嚴密地推理和準確地運算,從而得出正確的結論,然后對照題目所給出的選項“對號入座”,作出相應的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法. 例1 設雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,線段BF與雙曲線的一條漸近線交于點A,若=2,則雙曲線的離心率為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析 設點F(c,0),B(0,b), 由=2,得-=2(-), 即=(+2),所以點A(,), 因為點A在漸近線y=x上, 則=,即e=2. 點評 直接法是解答選擇題最常用的基本方法,直接法適用的范圍很廣,一般來說,涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算比較簡單的題多采用直接法,只要運算正確必能得出正確的答案.提高用直接法解選擇題的能力,準確地把握題目的特點.用簡便的方法巧解選擇題,是建立在扎實掌握“三基”的基礎上的,在穩(wěn)的前提下求快,一味求快則會快中出錯. 變式訓練1 函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是( ) A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 答案 A 解析 由圖可知,=-, 即T=π,所以由T=可得,ω=2, 所以函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ), 又因為函數(shù)圖象過點(,2), 所以2=2sin(2+φ), 即2+φ=+2kπ,k∈Z, 又因為-<φ<,所以φ=-. 方法二 特例法 特例法是從題干(或選項)出發(fā),通過選取特殊情況代入,將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數(shù)或圖形位置,進行判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略,適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題,特殊情況可能是:特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數(shù)列等. 例2 (1)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心,∠A=60,+=2m,則m的值為( ) A. B. C.1 D. (2)已知函數(shù)f(x)=若a,b,c均不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)如圖,當△ABC為正三角形時,A=B=C=60,取D為BC的中點,=, 則有+=2m, ∴(+)=2m, ∴2=m, ∴m=,故選A. (2)不妨設00,n=1,2,3,…,且a5a2n-5=22n(n≥3),當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 (2)如圖,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P=BQ,過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分,則其體積之比為( ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.∶1 答案 (1)C (2)B 解析 (1)因為a5a2n-5=22n(n≥3), 所以令n=3,代入得a5a1=26, 再令數(shù)列為常數(shù)列,得每一項為8, 則log2a1+log2a3+log2a5=9=32. 結合選項可知只有C符合要求. (2)將P、Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此時仍滿足條件A1P=BQ(=0),則有故過P,Q,C三點的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為2∶1. 方法三 排除法 排除法也叫篩選法或淘汰法,使用排除法的前提條件是答案唯一,具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”,將其中與題干相矛盾的干擾項逐一排除,從而獲得正確答案. 例3 (1)函數(shù)f(x)=2|x|-x2的圖象為( ) (2)函數(shù)f(x)= (0≤x≤2π)的值域是( ) A. B.[-1,0] C.[-,-1] D. 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由f(-x)=f(x)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù), 其圖象關于y軸對稱,排除選項A、C; 當x=0時,f(x)=1,排除選項B,故選D. (2)令sin x=0,cos x=1, 則f(x)==-1,排除A,D; 令sin x=1,cos x=0,則f(x)==0,排除C,故選B. 點評 排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時,先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定,再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內(nèi)找出矛盾,這樣逐步篩選,直到得出正確的答案. 變式訓練3 (1)設f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,則a的取值范圍為( ) A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2] (2)(2015浙江)函數(shù)f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為( ) 答案 (1)D (2)D 解析 (1)若a=-1,則f(x)= 易知f(-1)是f(x)的最小值,排除A,B; 若a=0,則f(x)=易知f(0)是f(x)的最小值,故排除C.故D正確. (2)∵f(x)=(x-)cos x,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù),排除A,B;當x=π時,f(x)<0,排除C.故選D. 方法四 數(shù)形結合法 根據(jù)題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形,借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷,習慣上也叫數(shù)形結合法,有些選擇題可通過命題條件中的函數(shù)關系或幾何意義,作出函數(shù)的圖象或幾何圖形,借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)等,綜合圖象的特征,得出結論. 例4 (1)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為( ) A.60 B.90 C.120 D.150 (2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)和定義在{x|x≠0}上的偶函數(shù)g(x)分別滿足f(x)=g(x)=log2x(x>0),若存在實數(shù)a,使得f(a)=g(b)成立,則實數(shù)b的取值范圍是( ) A.[-2,2] B.[-,0)∪(0,] C.[-2,-]∪[,2] D.(-∞,-2]∪[-2,+∞) 答案 (1)B (2)C 解析 (1)如圖, 因為〈a,b〉=120,|b|=2|a|,a+b+c=0,所以在△OBC中,BC與CO的夾角為90,即a與c的夾角為90. (2)分別畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象, 存在實數(shù)a,使得f(a)=g(b)成立, 則實數(shù)b一定在函數(shù)g(x)使得兩個函數(shù)的函數(shù)值重合的區(qū)間內(nèi), 故實數(shù)b的取值范圍是[-2,-]∪[,2]. 點評 圖解法是依靠圖形的直觀性進行分析的,用這種方法解題比直接計算求解更能抓住問題的實質(zhì),并能迅速地得到結果.不過運用圖解法解題一定要對有關的函數(shù)圖象、幾何圖形較熟悉,否則錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇. 變式訓練4 (1)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C2,C1上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( ) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. (2)已知函數(shù)f(x)=與g(x)=x3+t,若f(x)與g(x)的交點在直線y=x的兩側(cè),則實數(shù)t的取值范圍是( ) A.(-6,0] B.(-6,6) C.(4,+∞) D.(-4,4) 答案 (1)A (2)B 解析 (1)作圓C1關于x軸的對稱圓C1′:(x-2)2+(y+3)2=1, 則|PM|+|PN|=|PM|+|PN′|, 由圖可知當點C2、M、P、N′、C1′在同一直線上時, |PM|+|PN|=|PM|+|PN′|取得最小值, 即為|C1′C2|-1-3=5-4. (2)根據(jù)題意可得函數(shù)圖象,g(x)在點A(2,2)處的取值大于2,在點B(-2,-2)處的取值小于-2,可得g(2)=23+t=8+t>2,g(-2)=(-2)3+t=-8+t<-2,解得t∈(-6,6),故選B. 方法五 正難則反法 在解選擇題時,有時從正面求解比較困難,可以轉(zhuǎn)化為其反面的問題來解決,即將問題轉(zhuǎn)化為其對立事件來解決,實際上就是補集思想的應用. 例5 (1)設集合A={x|a-1- 配套講稿:
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