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第六節(jié)二次函數(shù)的實際應用,考點一利潤問題例1(2018蘭山一模)某電子廠商設計了一款制造成本為18元的新型電子產(chǎn)品，投放市場進行試銷．經(jīng)過調查，得到每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的部分數(shù)據(jù)如下：,(1)求出每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式．(2)求出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式．(3)根據(jù)相關部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售利潤率不能高于50%，而且該電子廠制造出這種產(chǎn)品每月的制造成本不能超過900萬元．那么當銷售單價定為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？(利潤＝售價－制造成本),【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結論；(2)根據(jù)利潤＝銷售量(銷售單價－成本)，代入代數(shù)式求出函數(shù)關系式；(3)根據(jù)廠商每月的制造成本不超過900萬元，以及成本價18元，得出銷售單價的取值范圍，進而得出最大利潤．,【自主解答】(1)設銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式為y＝kx＋b，把(20，60)，(30，40)代入y＝kx＋b得∴每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式為y＝－2x＋100.,(2)由題意得z＝y(tǒng)(x－18)＝(－2x＋100)(x－18)＝－2x2＋136x－1800.(3)∵廠商每月的制造成本不超過900萬元，每件制造成本為18元，y＝－2x＋100≤，解得x≥25，∵銷售利潤率不能高于50%，∴x≤18(1＋50%)，即x≤27，∴25≤x≤27.,∵z＝－2x2＋136x－1800＝－2(x－34)2＋512，∴圖象開口向下，對稱軸左側z隨x的增大而增大，∴x＝27時，z最大為414萬元．∴當銷售單價定為27元時，廠商每月獲得的利潤最大，最大利潤為414萬元．,利用二次函數(shù)求最大利潤的方法利用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，應認清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使用，同時考慮問題要全面．此類問題一般是先運用“總利潤＝總售價－總成本”或“總利潤＝每件商品所獲利潤銷售數(shù)量”，建立利潤與價格之間的函數(shù)關系式，求出這個函數(shù)關系式的最大值，即求得的最大利潤．,1．(2018達州中考)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行．某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價．已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同．,(1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？(2)若該型號自行車的進價不變，按(1)中的標價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？,解：(1)設進價為x元，則標價是1.5x元．由題意得1.5x0.98－8x＝(1.5x－100)7－7x，解得x＝1000，1．51000＝1500(元)．答：該型號自行車的進價為1000元，標價為1500元．,(2)設該型號自行車降價a元，利潤為w元．由題意得w＝(51＋3)(1500－1000－a)＝－(a－80)2＋26460.∵－＜0，∴當a＝80時，w最大＝26460.答：該型號自行車降價80元出售每月獲利最大，最大利潤是26460元．,2.(2018眉山中考)傳統(tǒng)的端午節(jié)即將來臨，某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務，約定這批粽子的出廠價為每只4元，按要求在20天內完成．為了按時完成任務，該企業(yè)招收了新工人，設新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關系：y＝,(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為280只？(2)如圖，設第x天生產(chǎn)的每只粽子的成本是p元，p與x之間的關系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫．若李明第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天的利潤最大？最大利潤是多少元？(利潤＝出廠價－成本),解：(1)∵634＝204，∴前六天生產(chǎn)的粽子最多達到204只．將280代入20 x＋80得20 x＋80＝280，∴x＝10.答：第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為280只．(2)當0≤x＜10時，p＝2，當10≤x≤20時，設p＝kx＋b.將(10，2)和(20，3)代入得∴p＝x＋1.,當0≤x≤6時，w＝(4－2)34x＝68x，w隨x的增大而增大，∴當x＝6時，w最大值為408元；當6＜x≤10時，w＝(4－2)(20 x＋80)＝40 x＋160，w隨x的增大而增大，∴當x＝10時，w最大值為560元；當10＜x≤20時，w＝(4－x－1)(20 x＋80)＝－2x2＋52x＋240，對稱軸為x＝13.,在10＜x≤20內，將x＝13代入得w＝578(元)．綜上所述，w與x的函數(shù)解析式為w＝答：第13天的時候利潤最大，最大利潤為578元．,考點二拋物線形實際問題例2(2018濱州中考)如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間x(單位：s)之間具有函數(shù)關系y＝－5x2＋20 x，請根據(jù)要求解答下列問題：,(1)在飛行過程中，當小球的飛行高度為15m時，飛行時間是多少？(2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？(3)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？,【分析】(1)小球飛行高度為15m，即y＝－5x2＋20 x中y的值為15，解方程求出x的值，即為飛行時間；(2)小球飛出時和落地時的高度為0，據(jù)此可求出x的值，再求差即可；(3)求小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？即求x為何值時，二次函數(shù)有最大值，最大值是多少？,【自主解答】(1)當y＝15時，有－5x2＋20 x＝15，化簡得x2－4x＋3＝0，解得x＝1或3.答：飛行時間是1s或者3s.(2)飛出和落地的瞬間，高度都為0，故y＝0，∴有0＝－5x2＋20 x，解得x＝0或4，∴小球從飛出到落地所用時間是4－0＝4(s)．,(3)當x＝－＝－＝2(s)時，小球的飛行高度最大，最大高度為20m.,解拋物線形實際問題的注意事項(1)解題的關鍵：進行二次函數(shù)建模，依據(jù)題意，建立合適的平面直角坐標系，并利用拋物線的性質解決問題．(2)解題技巧：所建立的坐標系能使所設的解析式形式最簡．(3)注意問題：①題意分析不透，不能建立符合題意的函數(shù)模型或所建立的函數(shù)模型不正確，導致解題錯誤；②忽視了自變量的取值范圍，造成錯解．,3．(2017臨沂中考)足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線．不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過的時間t(單位：s)之間的關系如下表：,下列結論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線t＝；③足球被踢出9s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是11m.其中正確結論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4,B,4．(2017德州中考)隨著新農(nóng)村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗．小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離1米處達到最高，水柱落地處離池中心3米．(1)請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？,解：(1)如圖，以噴水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．設拋物線的函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．拋物線過點(0，2)和(3，0)，代入拋物線解析式可得,∴拋物線解析式為y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，化為一般式為y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．(2)由(1)拋物線解析式為y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，當x＝1時，y＝.答：水柱的最大高度為m.,