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第十一章　三角形 1.理解三角形及三角形的有關(guān)線段(邊、高、中線、角平分線)的概念,證明三角形兩邊的和大于第三邊,了解三角形的重心的概念,了解三角形的穩(wěn)定性. 2.理解三角形的內(nèi)角、外角的概念,探索并證明三角形內(nèi)角和定理,探索并掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余,掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 3.了解多邊形的相關(guān)概念(邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線、正多邊形),探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式. 1.在學(xué)習(xí)三角形的有關(guān)線段時(shí),要掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,最主要的是它們的性質(zhì)以及利用它們解決實(shí)際問(wèn)題. 2.三角形的內(nèi)角和是學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí),可以借助復(fù)習(xí)舊知識(shí),達(dá)到學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的目的,不僅起到復(fù)習(xí)的作用,也可以靈活地掌握好新知識(shí). 3.掌握多邊形內(nèi)角和的公式,并能利用它解決有關(guān)多邊形的問(wèn)題. 4.指導(dǎo)學(xué)生掌握好多邊形內(nèi)角和與外角和之間的聯(lián)系,并能利用它們解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題. 1.三角形的這部分知識(shí)在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí),通過(guò)復(fù)習(xí),可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也可增加學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心. 2.在教學(xué)中,通過(guò)同學(xué)之間的互相提問(wèn),小組的交流、研討,提高同學(xué)們的合作精神. 3.在學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)外角和中,通過(guò)一些實(shí)物的圖片,感知到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際,也應(yīng)用于實(shí)際. 三角形是一種基本的幾何圖形,是構(gòu)建多邊形知識(shí)體系的基礎(chǔ),也是學(xué)習(xí)各種特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形與平行四邊形等圖形知識(shí)的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本章在線段與角、相交線與平行線的基礎(chǔ)上介紹三角形的概念與性質(zhì),進(jìn)而研究多邊形的概念與性質(zhì).在本章中,學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過(guò)推理得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法,提高推理能力. 本章首先介紹三角形的有關(guān)概念和性質(zhì),分為三節(jié): 11.1節(jié)研究與三角形有關(guān)的線段.首先結(jié)合引言中的實(shí)際例子給出三角形的概念,進(jìn)而研究三角形的分類.對(duì)于三角形的邊,證明了三角形兩邊的和大于第三邊,然后給出三角形的高、中線與角平分線的概念,同時(shí)結(jié)合三角形的中線介紹了三角形的重心概念,最后結(jié)合實(shí)際例子介紹三角形的穩(wěn)定性. 11.2節(jié)研究與三角形有關(guān)的角.對(duì)于三角形的內(nèi)角,證明了三角形內(nèi)角和定理;然后由這個(gè)定理推出直角三角形的性質(zhì)“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”;最后給出三角形的外角的概念,并由三角形內(nèi)角和定理推出“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”. 11.3節(jié)接著介紹多邊形的有關(guān)概念與多邊形的內(nèi)角和、外角和公式.三角形是多邊形的一種,本章借助三角形介紹多邊形的有關(guān)概念,如多邊形的邊、內(nèi)角、外角、內(nèi)角和都由三角形的有關(guān)概念推廣而來(lái). 【重點(diǎn)】 1.掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,并能畫出這三種線段. 2.知道三角形具有穩(wěn)定性,并能利用這種性質(zhì)解釋生活中的一些現(xiàn)象. 3.知道三角形及多邊形的內(nèi)角和計(jì)算方法與外角和度數(shù),并能利用它們求解出有關(guān)三角形度數(shù)的問(wèn)題. 【難點(diǎn)】 1.對(duì)于鈍角三角形的三條高線,能準(zhǔn)確畫出. 2.能利用多邊形的內(nèi)角和公式或外角和,求解出有關(guān)多邊形的問(wèn)題,如求邊數(shù)、角度等問(wèn)題. 3.能解決有關(guān)三角形及多邊形的綜合性問(wèn)題. 在認(rèn)識(shí)三角形的過(guò)程中,要注意讓學(xué)生理解三角形的基本元素和各類三角形的特征,要鼓勵(lì)學(xué)生自主探索,大膽猜想,讓學(xué)生通過(guò)剪一剪、拼一拼、做一做等活動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)論.與三角形有關(guān)的一些概念在本章中只要求達(dá)到理解的程度,進(jìn)一步要求可通過(guò)后續(xù)學(xué)習(xí)達(dá)到.如對(duì)于三角形的角平分線,在本章中只要知道它的定義,能夠從定義得出角相等就可以了.學(xué)生畫角平分線時(shí)發(fā)現(xiàn)三條角平分線交于一點(diǎn),可直接肯定這個(gè)結(jié)論,同樣,三角形的三條中線交于一點(diǎn)的結(jié)論也可直接點(diǎn)明. 要讓學(xué)生在操作的過(guò)程中探索三角形的內(nèi)角和與外角和.對(duì)于三角形的穩(wěn)定性,要讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐去感受;待以后學(xué)過(guò)“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”,可進(jìn)一步明白其中的道理.對(duì)于多邊形的內(nèi)角和與外角和,要讓學(xué)生在觀察和類比中總結(jié)結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力,做到合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合. 鑲嵌作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容安排在本章的最后,學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容要用到多邊形的內(nèi)角和公式,通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)生可以經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程,從而加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解,提高思維能力. 11.1 　與三角形有關(guān)的線段 11.1.1　三角形的邊(1課時(shí)) 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線(1課時(shí)) 11.1.3　三角形的穩(wěn)定性(1課時(shí)) 3課時(shí) 11.2　與三角形有關(guān)的角 11.2.1　三角形的內(nèi)角(2課時(shí)) 11.2.2　三角形的外角(1課時(shí)) 3課時(shí) 11.3　多邊形及其內(nèi)角和 11.3.1　多邊形(1課時(shí)) 11.3.2　多邊形的內(nèi)角和(1課時(shí)) 2課時(shí) 單元復(fù)習(xí) 1課時(shí) 11.1　與三角形有關(guān)的線段 1.能正確地利用三角形的三邊關(guān)系,判斷所給的三條線段能否組成三角形. 2.掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,能畫出這三條線段,并能靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用這三條線段的性質(zhì)解決問(wèn)題. 3.掌握好三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的運(yùn)用. 1.經(jīng)歷擺三角形,畫三角形、測(cè)量三角形的三邊長(zhǎng)度的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生自主、合作、探索的學(xué)習(xí)方式,并鍛煉其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 2.在學(xué)習(xí)三角形的穩(wěn)定性時(shí),可結(jié)合實(shí)際情況,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系. 3.三角形的重心在教學(xué)中可結(jié)合實(shí)際物體,讓 學(xué)生通過(guò)觀察與實(shí)踐找到物體重心. 聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境,創(chuàng)設(shè)情景,使學(xué)生通過(guò)觀察、操作、交流、歸納,獲得必需的數(shù)學(xué)知識(shí),讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的意義,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點(diǎn)】 1.三角形三邊關(guān)系和高、中線、角平分線的運(yùn)用. 2.三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用. 【難點(diǎn)】 1.在具體的圖形中不重復(fù)且不遺漏地識(shí)別所有三角形. 2.用三角形三邊不等關(guān)系判定三條線段可否組成三角形. 3.鈍角三角形高的畫法. 11.1.1　三角形的邊 1.掌握三角形的定義,并能正確地表示出三角形,以及三角形的邊、角、頂點(diǎn)等表示方法. 2.能正確地進(jìn)行三角形的分類. 3.掌握三角形的三邊關(guān)系,并能利用此關(guān)系判定已知三條線段能否構(gòu)成三角形. 1.通過(guò)復(fù)習(xí)以前的知識(shí),讓學(xué)生更加容易接受新知識(shí),并能提高學(xué)習(xí)的積極性,增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 2.在講解三角形的分類時(shí),可結(jié)合圖形,讓同學(xué)們更直觀地接受新知識(shí). 3.在利用三角形的三邊關(guān)系解答問(wèn)題時(shí),要注意讓學(xué)生有分類討論的思想,這也是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)很重要的思想. 1.通過(guò)三角形三邊關(guān)系的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的探索精神及分類討論的思想. 2.通過(guò)本課的教學(xué),能夠讓學(xué)生們知道數(shù)學(xué)知 識(shí)體系的連貫性及繼承性. 3.在教學(xué)的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于質(zhì)疑的精神. 【重點(diǎn)】　掌握三角形的分類及三角形的三邊關(guān)系. 【難點(diǎn)】　利用三角形的三邊關(guān)系解答綜合性問(wèn)題. 【教師準(zhǔn)備】　三根有刻度的小棒. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　有刻度的直尺. 導(dǎo)入一: 同學(xué)們,你們看這個(gè)圖案美麗嗎?這個(gè)圖案主要是由什么圖形構(gòu)成的?(學(xué)生議論后)我們本節(jié)課要繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的相關(guān)知識(shí).　　　　 導(dǎo)入二: (老師拿出三根不能拼成三角形的小棒)同學(xué)們請(qǐng)看,老師手中的三根小棒能首尾相搭組成一個(gè)三角形嗎? [設(shè)計(jì)意圖]　學(xué)生此時(shí)對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)還是粗淺的,容易誤認(rèn)為任意長(zhǎng)度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同時(shí)老師強(qiáng)調(diào)首尾相搭,也暗示了對(duì)三角形定義的啟發(fā),這就為學(xué)生認(rèn)識(shí)和探索三角形三邊關(guān)系做了鋪墊. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　在小學(xué)的時(shí)候,我們僅僅是從形狀和角的方面去認(rèn)識(shí)了三角形.如果有人問(wèn),什么是三角形?三角形又怎么表示呢?你能做出回答嗎?希望大家在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中能夠解決這些問(wèn)題. 一、三角形的相關(guān)概念 1.三角形的概念. 【學(xué)生活動(dòng)一】　(1)在一張紙上任意畫三條線段;(2)在同一條直線上任意畫三條線段. 【問(wèn)題思考】　任意畫的三條線段都能組成三角形嗎?怎樣才能組成一個(gè)三角形? [設(shè)計(jì)意圖]　幫助學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)構(gòu)成三角形的基本條件之一,即不在同一條直線上的三條線段才能組成三角形. 【學(xué)生活動(dòng)二】　判斷下列由三條線段組成的圖形是不是三角形. [設(shè)計(jì)意圖]　三角形概念的獲得,要讓學(xué)生經(jīng)歷其描述的過(guò)程,借此培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表述能力,加深學(xué)生對(duì)三角形概念的理解. 三角形定義:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. [知識(shí)拓展]　 三角形的特征:三條線段;不在同一條直線上;首尾順次相接.這三點(diǎn)表明三角形是一個(gè)封閉的圖形. 2.三角形的表示方法. “三角形”可用符號(hào)“Δ”表示,如圖所示,頂點(diǎn)(相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn))是A,B,C的三角形,記作ΔABC,讀作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是ΔABC的三個(gè)角(相鄰兩邊組成的、位于三角形內(nèi)部的角叫做三角形的內(nèi)角,簡(jiǎn)稱三角形的角);ΔABC的三邊(組成三角形的線段叫做三角形的邊)分別是AB,BC,CA,有時(shí)也可用小寫字母來(lái)表示,頂點(diǎn)A,B,C所對(duì)的邊分別可用a,b, c來(lái)表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示. 二、三角形的分類 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　三角形的形狀多種多樣,對(duì)多種多樣的三角形,怎樣進(jìn)行分類呢? 思路一 【生】　銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形. 【師】　剛才大家的分類是按照三角形角的特點(diǎn)劃分的,大家還有什么別的分類方法嗎? 【生】　可以按照三角形的邊長(zhǎng)進(jìn)行分類. 【師】　是根據(jù)不同的三角形邊的長(zhǎng)度進(jìn)行分類,還是同一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)特點(diǎn)進(jìn)行分類? 【生】　在同一個(gè)三角形之內(nèi). 【師】　按照邊長(zhǎng)進(jìn)行分類,你想的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么呢? 【生】　根據(jù)是否有相等的邊. 【師】　按照這種分類方法,可以把三角形分為哪兩大類? 【生】　三邊都不相等的三角形和等腰三角形. 【師】　在等腰三角形中,什么樣的邊是腰呢?等腰三角形的邊和角有什么特殊的稱呼嗎? 【生】　在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角. 【師】　按照有沒有相等的邊對(duì)三角形進(jìn)行分類,等邊三角形應(yīng)該劃到哪一類當(dāng)中? 【生】　等腰三角形. 【師】　根據(jù)剛才的討論,大家整理下三角形的分類吧! [設(shè)計(jì)意圖]　三角形的分類,在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò),只不過(guò)是比較淺顯的內(nèi)容,所以這里在復(fù)習(xí)以前知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入,特別要強(qiáng)調(diào)的是等邊三角形是特殊的等腰三角形. 思路二 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們知道,按照三個(gè)內(nèi)角的大小,可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,如果要按照邊的大小關(guān)系對(duì)三角形進(jìn)行分類,又應(yīng)該如何分呢?小組之間進(jìn)行交流,并說(shuō)說(shuō)你們的想法. 【師生活動(dòng)】　通過(guò)討論,學(xué)生類比按角的分類方法按邊對(duì)三角形進(jìn)行分類,接著引出等腰三角形及等邊三角形的概念,引導(dǎo)學(xué)生了解等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角形按邊分類的理解. 在等腰三角形中,相等的兩邊都叫腰,另一邊叫底,兩腰的夾角叫頂角,腰與底邊的夾角叫底角. 三角形按邊分類: 三 [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)這一活動(dòng)的設(shè)計(jì),提高學(xué)生分類討論和歸納概括的能力,加深學(xué)生對(duì)三角形按邊分類的理解. 三、三角形三邊之間的關(guān)系 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們?cè)谇懊姘讶切伟凑者呥M(jìn)行分類,其實(shí)也是在研究三角形的三邊關(guān)系.現(xiàn)在我們換個(gè)角度,研究三角形兩條邊的和與第三條邊的關(guān)系. 探究一:三角形兩邊之和與第三邊之間的關(guān)系. 【情境引入】　如右圖三角形中,假設(shè)你要從點(diǎn)B出發(fā)沿著三角形的邊到點(diǎn)C,有幾條路線可選擇?各條路線的長(zhǎng)一樣嗎? 【師生活動(dòng)】　引導(dǎo)學(xué)生討論分析,得到兩條路線: (1)B直接到C,即BC. (2)先由B到A再到C,即BA+AC. 顯然,路線(1)中的BC要短一些,即BCAB-AC, BC>AC-AB,這就是說(shuō),三角形兩邊的差小于第三邊. [設(shè)計(jì)意圖]　引導(dǎo)學(xué)生用推導(dǎo)的方法驗(yàn)證相關(guān)的結(jié)論,事實(shí)上探究二是對(duì)探究一的進(jìn)一步深化,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密思維的習(xí)慣. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　學(xué)習(xí)了三角形三邊之間的關(guān)系問(wèn)題,我們就可以利用它解決一些生活實(shí)際問(wèn)題. 　(教材例題)用一條長(zhǎng)為18 cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形. (1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍,那么各邊的長(zhǎng)是多少? (2)能圍成有一邊的長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形嗎?為什么? 〔解析〕　(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為x cm,則腰長(zhǎng)為2x cm,根據(jù)周長(zhǎng)列出一元一次方程,解方程即可求得各邊的長(zhǎng);(2)題中沒有指明4 cm是底邊長(zhǎng)還是腰長(zhǎng),故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析,同時(shí)注意利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn). 解:(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為x cm, 則腰長(zhǎng)為2x cm. 2x+2x+x=18,解得x=3.6. 所以三邊長(zhǎng)分別為3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm. (2)①當(dāng)4 cm為底邊長(zhǎng)時(shí),腰長(zhǎng)為7 cm,任意兩邊之和都大于第三邊,故可以構(gòu)成三角形. ②當(dāng)4 cm為腰長(zhǎng)時(shí),底邊長(zhǎng)為18-4-4=10(cm), ∵4+4<10,∴不能構(gòu)成三角形,故舍去. ∴能構(gòu)成底邊長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形,不能構(gòu)成腰長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形. [知識(shí)拓展]　三角形兩邊之和是指任意兩邊之和.理論依據(jù):兩點(diǎn)之間線段最短. 推論:由a+b>c,根據(jù)不等式的基本性質(zhì),得c-b4,而三條線段d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm就不能組成三角形,因?yàn)?+3=5. [解題策略]　一般地,判斷三條線段能否組成一個(gè)三角形時(shí),只需判斷兩條短的線段之和是否大于最長(zhǎng)的線段即可,無(wú)需再?gòu)娜我鈨蛇呏痛笥诘谌叺慕嵌冗M(jìn)行判斷. 1.由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2.三角形的分類:三邊都不相等的三角形和等腰三角形. 3.在一個(gè)三角形中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊. 注意:三角形任意兩邊和與第三邊的關(guān)系不包括等于這種關(guān)系.等邊三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范圍要大于等邊三角形,且包含等邊三角形. 1.下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是(　　) 　　A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 解析:以最長(zhǎng)邊為第三邊,看其他兩邊之和是否大于最長(zhǎng)邊,若大于則能構(gòu)成三角形;若小于或等于則不能構(gòu)成三角形.∵1+2<4,∴1,2,4不可能是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng);∵4+5=9,∴4,5,9不可能是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng);∵4+6>8,∴4,6,8能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng);∵5+5<11,∴5,5,11不可能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故選C. 2.如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4,則第三邊長(zhǎng)可能是 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:本題考查了三角形的三邊關(guān)系.選項(xiàng)A中2+2=4,不能構(gòu)成三角形;選項(xiàng)C中2+4=6,不能構(gòu)成三角形;選項(xiàng)D中2+4<8,不能構(gòu)成三角形;只有選項(xiàng)B能構(gòu)成三角形.本題也可以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系先確定第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是24,能構(gòu)成三角形.故選D.) 2.D(解析:∵已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是1和2,∴第三邊長(zhǎng)x的范圍是14,∴2 cm,3 cm,4 cm長(zhǎng)的線段能組成三角形,選項(xiàng)A正確;∵2+3=5,∴2 cm,3 cm,5 cm長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成三角形,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;∵2+5<10,∴2 cm,5 cm,10 cm長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成三角形,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;∵4+4=8,∴8 cm,4 cm,4 cm長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成三角形,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.) 4.C(解析:因?yàn)槿切蔚膬蛇呏痛笥诘谌?兩邊之差小于第三邊,所以第三邊長(zhǎng)的取值范圍在2與8之間,注意不能等于2和8,根據(jù)選項(xiàng)在此之間的偶數(shù)只能是4,所以選擇C.) 5.解:①若2.5為腰長(zhǎng),則2.5+2.5=5,兩邊之和等于第三邊,所以不能構(gòu)成三角形.②若5為腰長(zhǎng),則2.5+5=7.5>5,兩邊之和大于第三邊,所以能構(gòu)成三角形.所以三角形的周長(zhǎng)為2.5+5+5=12.5. 6.解:根據(jù)構(gòu)成三角形的條件得:第三邊長(zhǎng)的范圍為 3 cm<第三邊長(zhǎng)<11 cm,則此三角形的周長(zhǎng)范圍是14 cm<周長(zhǎng)<22 cm. 7.解:由三角形三邊的大小關(guān)系可得3x+4x>21,且4x-3x<21,可解得3c,則a+b-c>0;ba,則c-a+b>0.根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于它的本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù),得原式=a+b-c-[-(b-a-c)]-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c. 本課是由日常生活情景引入的,這樣有利于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也能讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際,又反作用于實(shí)際. 本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)均是三角形的三邊關(guān)系,要求學(xué)生能利用此定理判定所給的三條線段能否組成三角形,如果老師直接給出定理,學(xué)生的理解會(huì)不深.教案的設(shè)計(jì)思路是讓學(xué)生通過(guò)自己的思考得出結(jié)論,不是直接去接受結(jié)論,而是讓學(xué)生親自實(shí)踐,這樣既增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力,也能讓他們更加深刻地理解三角形三邊關(guān)系定理:三角形兩邊的和大于第三邊,兩邊的差小于第三邊,還能讓他們?cè)诮獯饐?wèn)題時(shí),更加游刃有余. 在剛開始階段引入三角形的定義時(shí),學(xué)生在畫三條線段的環(huán)節(jié)中,應(yīng)該對(duì)所畫的線段提出不同的要求,這樣更有利于學(xué)生給三角形做出嚴(yán)密的定義.還有此處應(yīng)該添加一些簡(jiǎn)單的練習(xí),讓學(xué)生即時(shí)練習(xí),能讓他們更加深刻地接受三角形的有關(guān)定義,并能熟練地運(yùn)用它們,為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ). 在引入三角形的定義時(shí),要更加嚴(yán)謹(jǐn),如“由不在同一條直線上”這句話,老師要讓學(xué)生思考這樣說(shuō)的原因,另外在定義教學(xué)后,即時(shí)給出一些練習(xí),讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí),在講解三角形的分類時(shí),也要這樣,給出些練習(xí),讓學(xué)生鞏固,并加深對(duì)它們的理解. 在講解三角形的三邊關(guān)系時(shí),可讓學(xué)生自己也準(zhǔn)備一些這樣的帶刻度的小棒,讓每一位學(xué)生都參與進(jìn)來(lái),這次參與的學(xué)生少,只起到演示的作用了,還是多多給學(xué)生參與的機(jī)會(huì)為好. 練習(xí)(教材第4頁(yè)) 1.解:圖中有5個(gè)三角形,分別是ΔABC,ΔBCD,ΔBCE,ΔABE,ΔCDE. 2.解:(1)不能組成三角形,因?yàn)?+4<8,即兩條線段的和小于第三條線段,所以不能組成三角形.　(2)不能組成三角形,因?yàn)?+6=11,即兩條線段的和等于第三條線段,所以不能組成三角形.　(3)能組成三角形,因?yàn)槿我鈨蓷l線段的和都大于第三條線段. 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí),而數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),是人們實(shí)踐中出現(xiàn)的種種數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的反映,也是人們不斷研究、創(chuàng)造的知識(shí)體系,是人們?cè)诟黝惪蒲泻蜕a(chǎn)實(shí)踐中的有力工具,具有廣泛的應(yīng)用性.數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視揭示數(shù)學(xué)與客觀現(xiàn)實(shí)的密切聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性和真實(shí)性,揭示數(shù)學(xué)理論是怎么從現(xiàn)實(shí)世界中得到并不斷發(fā)展的,必須重視數(shù)學(xué)知識(shí)體系的條理性、邏輯性,也應(yīng)該重視數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的巨大作用. 　長(zhǎng)為9,6,5,4的四根木條,選其中三根組成三角形,選法有 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 〔解析〕　四根木條中的三根的所有組合:9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得能組成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故選C. 〔方法指導(dǎo)〕　要把四根木條中的三根的所有組合列出來(lái),再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能組成三角形的組數(shù). 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線 1.讓學(xué)生了解三角形的高、中線、角平分線等有關(guān)概念. 2.掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法. 3.能利用三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題. 1.經(jīng)歷畫、折等實(shí)踐操作活動(dòng)過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的空間觀念、推理能力及創(chuàng)新精神. 2.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,發(fā)展應(yīng)用和自主探究意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力. 1.鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與,感受成功的樂趣,體驗(yàn)幾何知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)性,激發(fā)學(xué)生熱愛生活、勇于探索的思想感情. 2.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決,使學(xué)生有成就感,培養(yǎng)學(xué)生的合作精神,樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 【重點(diǎn)】 1.了解三角形的高、中線與角平分線的概念,會(huì)用工具準(zhǔn)確地畫出三角形的高、中線與角平分線. 2.了解三角形的三條高、三條中線與三條角平分線所在直線分別交于一點(diǎn). 【難點(diǎn)】 1.三角形的角平分線與角平分線的區(qū)別,三角形的高與垂線的區(qū)別. 2.鈍角三角形高的畫法. 3.不同的三角形三條高的位置關(guān)系. 【教師準(zhǔn)備】　三角板、直尺、量角器、本節(jié)課的課件. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　三角板、直尺、量角器、三角形紙片. 導(dǎo)入一: 如下圖,圖中右側(cè)支撐太陽(yáng)能電池板的三角形支架有多高呢?這就涉及我們本節(jié)課所學(xué)的三角形高的問(wèn)題. 導(dǎo)入二: 同學(xué)們,我們以前學(xué)習(xí)過(guò)了“過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線”,誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)是怎樣畫的?(同學(xué)們紛紛發(fā)言,老師可讓幾名同學(xué)到黑板上演示一下,然后讓其他學(xué)生都拿出本來(lái),過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線,注意畫法的規(guī)范性) 你們知道過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)如何畫三角形的高嗎?這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.(老師書寫板書) [設(shè)計(jì)意圖]　本節(jié)的知識(shí)與以前學(xué)習(xí)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線”的畫法有著非常大的聯(lián)系,此導(dǎo)入不僅復(fù)習(xí)了舊知識(shí),也能對(duì)以后要學(xué)習(xí)的三角形的高起到預(yù)熱的作用. 導(dǎo)入三: (1)復(fù)習(xí)提問(wèn)三角形的定義.(由三條線段首尾相接組成的圖形) (2)三角形的面積公式是什么? SΔ=ah. (3)你還記得三角形的高是怎么作出來(lái)的嗎?引出課題. [設(shè)計(jì)意圖]　直接從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā),既達(dá)到了復(fù)習(xí)舊知識(shí)的目的,也引入了本節(jié)的內(nèi)容,此設(shè)計(jì)自然、簡(jiǎn)捷. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn),你能畫出它的對(duì)邊的垂線嗎?(引出三角形的高) 一、 三角形的高 【學(xué)生活動(dòng)一】　讓學(xué)生動(dòng)手畫出一個(gè)銳角三角形的高,然后找學(xué)生描述三角形的高的畫法與定義. [設(shè)計(jì)意圖]　借助學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決,喚醒學(xué)生對(duì)三角形的高的認(rèn)識(shí),有助于新知識(shí)的理解,并且發(fā)展學(xué)生的觀察力與語(yǔ)言表述能力. (教師總結(jié)三角形的高的定義并板書)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡(jiǎn)稱為三角形的高. 如圖所示,在ΔABC中,AD⊥BC,點(diǎn)D是垂足,所以AD是ΔABC的一條高. 引導(dǎo)學(xué)生注意垂直符號(hào)的書寫. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)會(huì)畫三角形的高了,用折紙的方法也可作出三角形的高,快拿出你們的三角形紙片,動(dòng)手做一做. 【學(xué)生活動(dòng)二】　讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的三角形紙片,用直尺與三角板作出這個(gè)三角形的三條高,然后用折紙的方法,觀察這三條高的位置關(guān)系,你有什么發(fā)現(xiàn)?如果已知三角形的一條高,你知道它是哪一條邊上的高嗎? [設(shè)計(jì)意圖]　同學(xué)們動(dòng)手作出三角形的高,既培養(yǎng)了他們的動(dòng)手操作能力,也能很方便地觀察到三角形的高相交于一點(diǎn)的事實(shí). 【師生共同總結(jié)】　銳角三角形的三條高相交于一點(diǎn),此點(diǎn)在銳角三角形的內(nèi)部.如圖所示. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　銳角三角形的高我們可以畫出了,現(xiàn)在試試直角三角形的高怎么畫. 【學(xué)生活動(dòng)三】　在紙上畫出一個(gè)直角三角形或通過(guò)折紙的方法,畫出它的三條高,它們有怎樣的位置關(guān)系? 將你的結(jié)果與同桌進(jìn)行交流. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)同學(xué)們自己動(dòng)手探索、研討,可以使他們對(duì)直角三角形的三條高有更深刻的認(rèn)識(shí),并提高同學(xué)們的合作意識(shí). 【師生共同總結(jié)】　直角三角形的三條高交于一點(diǎn),即是直角三角形的直角頂點(diǎn).如圖所示. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　就差鈍角三角形的高了,同學(xué)們快試試吧! 【學(xué)生活動(dòng)四】　畫一個(gè)鈍角三角形,讓學(xué)生嘗試畫出它的三條高,或通過(guò)折紙的方法找到它的三條高.觀察三條高,看它們有什么樣的位置關(guān)系. 為強(qiáng)調(diào)作圖,可進(jìn)行投影.將BC與頂點(diǎn)A調(diào)節(jié)成閃爍的效果,且把底邊用虛線延長(zhǎng),引導(dǎo)學(xué)生自己作出不同三角形的高.在同學(xué)們發(fā)現(xiàn)作一條高時(shí),一條邊不夠長(zhǎng)的時(shí)候,教師要提示學(xué)生們,可以把所在邊的線段進(jìn)行延長(zhǎng). [設(shè)計(jì)意圖]　鈍角三角形的三條高,對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō),畫法是一個(gè)難點(diǎn),為了突破難點(diǎn),把幻燈片中的邊與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)調(diào)節(jié)成閃爍的效果,且把底邊用虛線延長(zhǎng),幫助同學(xué)們畫出外面的兩條高線. 【師生共同總結(jié)】　鈍角三角形的三條高中,有兩條在外面,一條在內(nèi)部,且它們所在直線交于一點(diǎn). 如圖所示.　　 表述:如圖,因?yàn)锳D是ΔABC的高(已知),所以AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90). 因?yàn)锳D⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90)(已知),所以AD是ΔABC的邊BC上的高.(高的定義) [知識(shí)拓展]　鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形都有三條高.銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部,相交于一點(diǎn);直角三角形有兩條高與直角邊重合,另一條高在三角形內(nèi)部,它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn);鈍角三角形有兩條高在三角形的外部,一條高在三角形內(nèi)部,三條高不相交,但三條高所在的直線相交于三角形外一點(diǎn). 二、三角形的中線 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　你能畫一條線將三角形的面積平分嗎? (學(xué)生思考,嘗試,引出定義)下面我們就引入三角形的另一條特殊的線段——三角形的中線. 思路一 【學(xué)生活動(dòng)一】　學(xué)生們動(dòng)手畫圖,之后同桌之間研討,并且要同學(xué)們說(shuō)出所畫出的線的特點(diǎn)?為什么它就能把三角形分成面積相等的兩部分呢?它是線段嗎? 【師生共同總結(jié)】　三角形中線的定義:連接三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線. [設(shè)計(jì)意圖]　讓同學(xué)們自己動(dòng)腦思考,這樣得出的結(jié)論,學(xué)生印象更深刻,對(duì)于知識(shí)的理解與掌握更全面. 【學(xué)生活動(dòng)二】　讓學(xué)生任意畫出一個(gè)三角形,畫出這個(gè)三角形的三條中線,然后分析這三條中線的位置關(guān)系,同桌之間互相研討. (老師可多讓幾名同學(xué)發(fā)言,分別指出他們畫出的是什么樣的三角形,這樣三角形的任意性就有了)　　　　 【師生共同總結(jié)】　任意三角形的三條中線都交于一點(diǎn),三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心. [設(shè)計(jì)意圖]　讓同學(xué)們自己得出三角形的三條中線交于一點(diǎn)的結(jié)論,并且在與同桌的研討中,體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣與分享的快樂. 思路二 指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第4~5頁(yè)的內(nèi)容,思考如下問(wèn)題: (1)什么是三角形的中線? (2)三角形的中線有幾條? (3)三角形的三條中線是否相交于一點(diǎn)? (4)什么是三角形的重心? (5)一塊三角形的玻璃,利用圓規(guī)的尖腳,你能讓三角形玻璃平衡在圓規(guī)上面嗎? 表述:如圖,AD是ΔABC的邊BC上的中線(已知),所以BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D為BC的中點(diǎn). 因?yàn)锽D=DC=BC或BC=2BD=2DC或D為BC的中點(diǎn)(已知),所以線段AD為BC上的中線(中線定義). [知識(shí)拓展]　(1)一個(gè)三角形有三條中線,并且都在三角形內(nèi)部,相交于一點(diǎn). (2)三角形的中線是一條線段. (3)三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形. 三、三角形的角平分線 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　三角形中除了三角形的高,三角形的中線之外還有沒有特殊的線段呢?答案是肯定的,還有一類線段就是三角形的角平分線.角的平分線同學(xué)們都已經(jīng)會(huì)畫了,那你能不能畫出一個(gè)三角形的三個(gè)角的平分線呢?同學(xué)們快動(dòng)手試試吧! 【學(xué)生活動(dòng)】　同學(xué)們先畫出一個(gè)任意三角形,分別畫出一個(gè)三角形中的三個(gè)角的平分線,同時(shí)觀察這三條角平分線的位置有哪些特點(diǎn). (要提醒學(xué)生三角形形狀的多樣性,同時(shí)要注意作圖的規(guī)范性,可用量角器量) 【師生共同總結(jié)】　三角形的角平分線定義:連接三角形頂點(diǎn)與該頂點(diǎn)內(nèi)角平分線與對(duì)邊交點(diǎn)的線段叫三角形的角平分線. (最后老師要強(qiáng)調(diào)三角形的角平分線是三條線段,而一個(gè)角的平分線是一條射線) [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)與以往角的平分線的畫法比較,學(xué)生會(huì)比較容易接受此定義,既復(fù)習(xí)了舊知識(shí),也能促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的理解. 表述:如圖,因?yàn)锽D是ΔABC的角平分線(已知),所以∠ABD=∠CBD=∠ABC. 因?yàn)椤螦BD=∠CBD或∠CBD=∠ABC,或∠ABD=∠ABC(已知),所以線段BD是ΔABC的角平分線.(三角形的角平分線定義) [知識(shí)拓展]　(1)一個(gè)三角形有三條角平分線,并且都在三角形內(nèi)部,相交于一點(diǎn). (2)三角形的角平分線是線段,而角的平分線是一條射線. 　如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成15和6兩部分,求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng). 〔解析〕　由題意可知,中線BD將ΔABC的周長(zhǎng)分成AB+AD和BC+CD兩部分(注意不是AB+AD+BD和BC+CD+BD兩部分),故有兩個(gè)可能:(1)AB+AD=15且BC+CD=6;(2)AB+AD=6且BC+CD=15.再由AB=AC=2AD=2CD及三角形三邊關(guān)系知(1)成立,(2)不成立. 解:設(shè)AB=AC=2x,則AD=CD=x. (1)當(dāng)AB+AD=15,BC+CD=6時(shí), 有2x+x=15, 所以x=5,2x=10,BC=6-5=1. (2)當(dāng)AB+AD=6,BC+CD=15時(shí), 有2x+x=6. 所以x=2,2x=4,所以BC=13. 因?yàn)?+4<13,所以不能組成三角形. 答:三角形的腰長(zhǎng)為10,底邊長(zhǎng)為1. [解題策略]　涉及等腰三角形邊的問(wèn)題時(shí),常要分情況討論,然后看它們是否滿足三邊關(guān)系,不滿足的要舍去. [知識(shí)拓展]　(1)三角形三條高線所在直線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)常被稱為這個(gè)三角形的垂心. (2)三角形三條中線交于三角形內(nèi)的一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的重心,取一塊質(zhì)地均勻的三角形木板,用手指向上頂住三角形重心,木板會(huì)保持平衡. (3)三角形三條角平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,它被稱為三角形內(nèi)心. 1.三角形的高、中線、角平分線都是線段. 2.三角形的高(所在直線)、中線、角平分線都相交于一點(diǎn),鈍角三角形的高線所在直線相交于三角形外一點(diǎn). 1.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn),那么這個(gè)三角形是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形 解析:銳角三角形三條高交于三角形的內(nèi)部,鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外部,只有直角三角形的高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn).故選C. 2.在ΔABC中,已知點(diǎn)D,E,F分別是BC,AD,CE的中點(diǎn),且SΔABC=4 cm2,則SΔAEF的值為(　　) A.2 cm2 B.1 cm2 C. cm2 D. cm2 解析:利用中線平分三角形的面積來(lái)做.故選C. 3.如圖所示,在ΔABC中,D,E是BC,AC上的兩點(diǎn),連接BE,AD交于F. (1)圖中有幾個(gè)三角形?并表示出來(lái). (2)ΔBDF的三個(gè)頂點(diǎn)是什么?三條邊是什么? (3)AB邊是哪些三角形的邊? (4)F點(diǎn)是哪些三角形的頂點(diǎn)? 解:(1)圖中共有8個(gè)三角形,分別是ΔBDF,ΔBDA,ΔBFA,ΔAEF,ΔAEB,ΔADC,ΔBCE,ΔABC. (2)ΔBDF的三個(gè)頂點(diǎn)是B,D,F,三條邊是BD,DF,BF.　(3)AB邊是ΔABF,ΔABD,ΔABE,ΔABC的邊.　(4)F點(diǎn)是ΔBDF,ΔABF,ΔAEF的頂點(diǎn). 4.在ΔABC中,AB=AC,AC上的中線BD把三角形的周長(zhǎng)分為24和30兩個(gè)部分,求三角形的三邊長(zhǎng). 解析:分兩種情況討論:AB+AD=30,BC+DC=24或AB+AD=24,BC+DC=30,所以根據(jù)等腰三角形的兩腰相等和中線的性質(zhì)可求得三邊長(zhǎng). 解:設(shè)三角形的腰AB=AC=x,若AB+AD=24,則:x+x=24,所以x=16.又三角形的周長(zhǎng)為24+30=54,所以三邊長(zhǎng)分別為16,16,22.若AB+AD=30,則:x+x=30,所以x=20.因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為24+30=54,所以三邊長(zhǎng)分別為20,20,14.因此,三角形的三邊長(zhǎng)為16,16,22或20,20,14. 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線 一、三角形的高 二、三角形的中線 三、三角形的角平分線 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第5頁(yè)練習(xí)第1,2題. 【選做題】 教材第8頁(yè)習(xí)題11.1第3,4題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下面判斷正確的有 (　　 ) ①平分三角形內(nèi)角的射線是三角形的角平分線;②三角形的中線、角平分線、高都是線段;③一個(gè)三角形有三條角平分線和三條中線;④直角三角形只有一條高;⑤三角形的中線、角平分線、高都在三角形的內(nèi)部. A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 2.如圖所示,在ΔABC中,D是BC邊上的任意一點(diǎn),AH⊥BC于H.圖中以AH為高的三角形個(gè)數(shù)為 (　　) A.3個(gè) 　　B.4個(gè) C.5個(gè) 　　D.6個(gè) 3.如圖所示,下列說(shuō)法正確的是 (　　) A.如圖甲,由AB,BC,DE三條線段組成的圖形是三角形 B.如圖乙,已知∠BAD=∠CAD,則射線AD是ΔABC的角平分線 C.如圖丙,已知點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn),則射線AD是ΔABC的中線 D.如圖丁,已知ΔABC中,AD⊥BC于D,則線段AD是ΔABC的高 4.如圖所示,在ΔABC中,EF∥AC,BD⊥AC于D,BD交EF于G,則下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 (　　) A.BD是ΔABC的高 B.CD是ΔBCD的高 C.EG是ΔBEG的高 D.BE是ΔBEF的高 5.在ΔABC中,∠A=80,I是∠B,∠C的平分線的交點(diǎn),則∠BIC=　　　　. 【能力提升】 6.如圖所示,BD是ΔABC的中線,AD=2,AB+BC=5,則ΔABC的周長(zhǎng)是　　　　. 7.直角三角形中,兩銳角的平分線所夾的銳角是　　　　度. 【拓展探究】 8.如圖所示,AD為ΔABC的中線,BE為三角形ABD中線. (1)在ΔBED中作BD邊上的高; (2)若ΔABC的面積為60,BD=5,則點(diǎn)E到BC邊的距離為多少? 【答案與解析】 1.A 2.D 3.D(解析:A項(xiàng)錯(cuò)在三角形是由三條線段首尾順次相接而成的,B項(xiàng)錯(cuò)在三角形的角平分線應(yīng)該是線段;C項(xiàng)錯(cuò)在三角形中線應(yīng)該是線段.故選D.) 4.D 5.130(解析:由∠A=80可知∠ABC+∠ACB=100,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I,可求∠IBC+∠ICB的度數(shù),再利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC.∵∠A=80(已知),∴∠ABC+∠ACB=100(三角形內(nèi)角和定理),又∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I,∴∠IBC+∠ICB =(∠ABC+∠ACB)=50,∴∠BIC=180-(∠IBC+∠ICB)=130.故填130.) 6.9(解析:∵BD是ΔABC的中線,∴D是AC的中點(diǎn),∴DC=AD,∵AD=2,∴AC=AD+DC=4,∵AB+BC=5,∴ΔABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=5+4=9.) 7.45(解析:如圖所示,ΔACB為直角三角形,AD,BE分別是∠CAB和∠ABC的平分線,AD,BE相交于一點(diǎn)F.∵∠ACB=90,∴∠CAB+∠ABC=90.∵AD,BE分別是∠CAB和∠ABC的平分線,∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45.從而可知所求角為45.故填45.) 8.解:(1)如圖所示,EF即是ΔBED中BD邊上的高.　(2)∵AD為ΔABC的中線,BE為三角形ABD中線,∴SΔBED=SΔABC=60=15.∵BD=5,∴EF=2SΔBEDBD=2155=6,即點(diǎn)E到BC邊的距離為6. 本節(jié)的教學(xué)以定義為主,圖形是同學(xué)們非常熟悉的三角形.以前同學(xué)們都接觸過(guò)高線,鈍角三角形高線的畫法是本節(jié)的難點(diǎn),為了突破難點(diǎn),在教學(xué)設(shè)計(jì)上,以同學(xué)們思考、研討為主,老師利用課件中的圖形閃爍來(lái)提示同學(xué)們.這樣,比老師單純教要好得多,同學(xué)們可以對(duì)高線的畫法印象更深刻.在與同學(xué)們的交流中,也可得到認(rèn)同感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與興趣. 三角形的中線及角平分線的教學(xué)中,為了讓學(xué)生更能感覺到一個(gè)三角形中的三條高線(所在直線)、中線、角平分線都相交于一點(diǎn),教師讓同學(xué)們用折紙的方法,實(shí)物驗(yàn)證,從而讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受到這些線的特點(diǎn). 通過(guò)同學(xué)們的互動(dòng)及老師的講解,同學(xué)們對(duì)三角形的中線、角平分線及高線的畫法都掌握得不錯(cuò),為了能對(duì)知識(shí)有更牢固的印象,應(yīng)該在講授新課的同時(shí),增加一些當(dāng)堂小練習(xí),讓同學(xué)們更加牢固地掌握. 為了讓同學(xué)們對(duì)三角形的中線、角平分線、高線的知識(shí)掌握得更深刻,增加一些小練習(xí),即在每講完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)后,給出一些基本的小練習(xí).本節(jié)的難點(diǎn)是鈍角三角形高線的畫法,可多增加些時(shí)間,讓學(xué)生們多練習(xí)一下,教師可增加些判斷題、選擇題和操作題的題型,以增加學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固和提高. 練習(xí)(教材第5頁(yè)) 1.解:(1)中∠B是銳角,高AD在ΔABC內(nèi)部.　(2)中∠B是直角,高AD與邊AB重合.　(3)中∠B是鈍角,高AD的垂足在CB的延長(zhǎng)線上,即高AD在ΔABC的外部.規(guī)律:當(dāng)∠C是銳角時(shí),如果∠B是銳角,高AD在ΔABC的內(nèi)部,如果∠B是直角,高AD與邊AB重合,如果∠B是鈍角,高AD的垂足在CB的延長(zhǎng)線上,即高AD在ΔABC的外部. 2.(1)AF(或BF)　CD　AC　(2)∠2　∠ABC　∠4(或∠ACF) 　如圖所示,在ΔABC中,AD是角平分線,∠B=60,∠C=45,求∠ADB和∠ADC的度數(shù). 〔解析〕　在ΔABC中,由∠B與∠C的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù),由AD為∠BAC的平分線,利用角平分線定義求出∠BAD的度數(shù),在ΔABD中,由∠B與∠BAD的度數(shù)求出∠ADB的度數(shù),即可求出∠ADC的度數(shù). 解:∵∠B=60,∠C=45, ∴∠BAC=180-60-45=75, ∵AD為∠BAC的平分線, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5, 在ΔABD中,∠ADB=180-∠BAD-∠B=82.5, 則∠ADC=180-∠ADB=97.5. 　如圖,在ΔABC中,AD是BC邊上的中線,ΔABD的周長(zhǎng)比ΔACD的周長(zhǎng)小5,你能求出AC與AB的邊長(zhǎng)的差嗎? 〔解析〕　由AD是BC邊上的中線,可得BD=CD,分別求出ΔABD的周長(zhǎng)和ΔACD的周長(zhǎng),根據(jù)ΔABD的周長(zhǎng)比ΔACD的周長(zhǎng)小5列方程求解. 解:能. ΔABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD, ΔACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD, 因?yàn)锳D是BC邊上的中線, 所以BD=CD. 因?yàn)棣BD的周長(zhǎng)比ΔACD的周長(zhǎng)小5, 所以AC+CD+AD-(AB+BD+AD)=AC-AB=5. 　如圖所示,在ΔABC中,AD,BE,CF是三條中線,它們相交于同一點(diǎn)O,則ΔAOF的面積和ΔAOE的面積是否相等?為什么? 〔解析〕　三角形的中線可將三角形分成面積相等的兩部分,本題中除了AD,CF,BE可以看作中線外,OF,OE,OD也可以看作中線. 解:這兩個(gè)三角形的面積相等.理由如下: ∵AD,BE,CF是三條中線, ∴SΔABD=SΔADC=SΔACF=SΔBCF=SΔABE=SΔBCE=SΔABC, ∴SΔBOD=SΔAOE,SΔAFO=SΔCOD, ∵BD=CD,∴SΔBOD=SΔCOD, ∴SΔAOE=SΔAFO. 即ΔAOF的面積與ΔAOE的面積相等. 〔解題策略〕　尋找這兩個(gè)三角形面積的關(guān)系,需知面積公式,即三角形的面積=底高.這道題運(yùn)用了“同高等底的兩個(gè)三角形的面積相等” .要知道這個(gè)結(jié)論,并且會(huì)運(yùn)用它. 11.1.3　三角形的穩(wěn)定性 1.通過(guò)觀察、實(shí)踐、想象、推理、交流等活動(dòng),了解三角形具有穩(wěn)定性和四邊形不具有穩(wěn)定性. 2.能判斷一般的圖形是否具有穩(wěn)定性. 1.通過(guò)提問(wèn),讓學(xué)生通過(guò)小組交流等方式探究三角形的穩(wěn)定性. 2.在實(shí)物演示的過(guò)程中,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛. 1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究三角形的穩(wěn)定性和四 邊形的不穩(wěn)定性,培養(yǎng)其獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣和動(dòng)手能力. 2.通過(guò)合作交流,使學(xué)生養(yǎng)成互助合作意識(shí),提高數(shù)學(xué)交流表達(dá)能力. 【重點(diǎn)】　了解三角形穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用. 【難點(diǎn)】　能正確利用三角形的穩(wěn)定性解決實(shí)際問(wèn)題. 【教師準(zhǔn)備】　木條(用硬紙條代替)若干、小釘若干;劃分學(xué)習(xí)小組. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)知識(shí). 導(dǎo)入一: 【問(wèn)題】　通過(guò)觀察,你發(fā)現(xiàn)生活中哪些物體的形狀是三角形的? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生匯報(bào)觀察結(jié)果:房梁、建筑工地的腳手架、自行車車架、樂譜架、起重機(jī)的起重臂等. 【師】　生活中有很多物體的形狀是三角形的,為什么要把它們做成三角形呢?我們這節(jié)課就來(lái)研究三角形的穩(wěn)定性. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)實(shí)例,讓學(xué)生感受到三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際中的應(yīng)用,也盡量啟發(fā)學(xué)生,想到三角形的穩(wěn)定性. 導(dǎo)入二: 【師】　如圖,在窗框未安裝好之前,木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條,為什么要這樣做呢? 【生】　為了讓它更牢固. 【師】　這節(jié)課我們就來(lái)研究三角形的這種穩(wěn)定性. [設(shè)計(jì)意圖]　讓同學(xué)們產(chǎn)生好奇感,在下面的教學(xué)中,學(xué)生的精力會(huì)更專注,更愿意去探索問(wèn)題,找到答案. 導(dǎo)入三: 教師拿出三根木條,用釘子把三個(gè)頂點(diǎn)固定好,讓同學(xué)們猜測(cè),此三角形能不能變形?這說(shuō)明什么問(wèn)題呢? [設(shè)計(jì)意圖]　讓同學(xué)們體會(huì)到三角形具有穩(wěn)定性這個(gè)性質(zhì)是真實(shí)存在的,是與我們的生活息息相關(guān)的. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　通過(guò)剛才的學(xué)習(xí),同學(xué)們對(duì)三角形有沒有什么特殊的認(rèn)識(shí)了呢? 一、三角形具有穩(wěn)定性 【學(xué)生活動(dòng)一】　把同學(xué)們四人分成一組,發(fā)給3張硬紙條,3枚釘子,分組合作探究實(shí)驗(yàn).如圖所示,把三張硬紙條用釘子釘成一個(gè)三角形,然后扭動(dòng)它,它的形狀會(huì)改變嗎?這說(shuō)明什么問(wèn)題? (教師巡回檢查并指導(dǎo),指定個(gè)別同學(xué)歸納結(jié)論) 【師生共同總結(jié)】　如果一個(gè)三角形的三條邊固定了,那么三角形的形狀和大小也就完全確定了,在數(shù)學(xué)上把三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性. 【學(xué)生活動(dòng)二】　同學(xué)們想一想,在現(xiàn)實(shí)生活中,三角形的穩(wěn)定性有哪些方面的應(yīng)用呢?舉例子說(shuō)明.(對(duì)于學(xué)生的發(fā)言,只要符合實(shí)際,教師都要給予肯定) [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)此活動(dòng),既讓學(xué)生掌握了三角形的穩(wěn)定性的性質(zhì),也讓學(xué)生感受到三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 二、四邊形不具有穩(wěn)定性 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　三角形具有穩(wěn)定性同學(xué)們都知道了,你們想知道四邊形是否具有穩(wěn)定性嗎?五邊形呢? 【學(xué)生活動(dòng)一】　如圖所示,4張硬紙條,4枚釘子釘成一個(gè)四邊形,然后扭動(dòng)它,看看它的形狀會(huì)不會(huì)改變.　　　　 [設(shè)計(jì)意圖]　讓同學(xué)們通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn),感受到四邊形的不穩(wěn)定性,通過(guò)小組合作,也能讓同學(xué)們借鑒好的學(xué)習(xí)方法,增加學(xué)習(xí)的信心與熱情. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　能不能讓不穩(wěn)定的四邊形變穩(wěn)定呢?假如利用四根小木條釘成了一個(gè)四邊形,想一想怎么辦?比一比哪組的學(xué)生最聰明? 【學(xué)生活動(dòng)二】 學(xué)生以組來(lái)匯報(bào)討論結(jié)果,并展示其成果.可能出現(xiàn)多種方法: 方法一:在木條銜接處用粗釘子釘牢; 方法二:沿四邊形的對(duì)角線加一根木條,如圖①; 方法三:在對(duì)邊之間加一根木條,如圖②; 方法四:加兩根木條,如圖③. 學(xué)生自己評(píng)說(shuō)各小組的加固方法. 教師適當(dāng)引導(dǎo),讓學(xué)生給“加固”后的四邊形框架施加較大外力,驗(yàn)證其牢固程度. 說(shuō)明:(1)當(dāng)給四邊形加一根支架,出現(xiàn)了三角形時(shí),四邊形就能穩(wěn)定.如方法二,但當(dāng)四邊形沒有出現(xiàn)三角形時(shí),還不會(huì)穩(wěn)固,如方法一、三. (2)方法四的四邊形雖然穩(wěn)定,但多加了木條,會(huì)浪費(fèi)材料的. 【師生共同總結(jié)】　在四邊形木架上最少再釘上一根木條,將它的相對(duì)頂點(diǎn)連接起來(lái),它的形狀就不會(huì)改變. 【學(xué)生活動(dòng)三】　讓小組同學(xué)用5張硬紙條,5枚釘子釘成一個(gè)五邊形紙架,看看它的形狀會(huì)不會(huì)改變?如果能改變的話,至少要用幾張硬紙條能使它變