八年級數(shù)學(xué)上冊 13 軸對稱教案 (新版)新人教版 (2)
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第十三章 軸對稱 13.1 軸對稱 13.1.1 軸對稱 1.理解軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念. 2.了解軸對稱圖形的對稱軸,兩個圖形關(guān)于某直線對稱的對稱軸、對應(yīng)點(diǎn). 3.掌握線段垂直平分線的概念. 4.理解和掌握軸對稱的性質(zhì). 重點(diǎn) 軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念. 難點(diǎn) 軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別和聯(lián)系. 一、作品展示 1.讓部分學(xué)生展示課前的剪紙作品. 2.小組活動: (1)在窗花的制作過程中,你是如何進(jìn)行剪紙的?為什么要這樣? (2)這些窗花(圖案)有什么共同的特點(diǎn)? 二、概念形成 (一)軸對稱圖形 1.在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上,教師提出“軸對稱圖形”的概念,并讓學(xué)生嘗試給它下定義,通過逐步地修正形成“軸對稱圖形”的定義,同時給出“對稱軸”. 2.結(jié)合教材圖13.1-1進(jìn)一步分析軸對稱圖形的特點(diǎn),以及對稱軸的位置. 3.學(xué)生舉例,試舉幾個在現(xiàn)實(shí)生活中你所見到的軸對稱例子. 4.概念應(yīng)用:(1)教材第60頁練習(xí)第1題. (2)補(bǔ)充:判斷下面的圖形是不是軸對稱圖形?如果是軸對稱圖形,它們的對稱軸是什么? (二)兩個圖形關(guān)于某條直線對稱 1.觀察教材中的圖13.1-3,思考:圖中的每對圖形有什么共同的特點(diǎn)? 2.兩個圖形成軸對稱的定義. 觀察右圖: 把△A′B′C′沿直線l對折后能與△ABC重合,則稱△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線l對稱,簡稱“軸對稱”, 點(diǎn)A與點(diǎn)A′對應(yīng),點(diǎn)B與B′對應(yīng),點(diǎn)C與C′對應(yīng),稱為對稱點(diǎn),直線l叫做對稱軸. 3.舉例:你能舉出一些生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎? 4.討論:軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別. (三)軸對稱的性質(zhì) 觀察教材中圖13.1-4,線段AA′與直線MN有怎樣的位置關(guān)系?你能說明理由嗎? 引導(dǎo)學(xué)生說出如下關(guān)系:PA=PA′,∠MPA=∠MPA′=90. 類似的,點(diǎn)B和點(diǎn)B′,點(diǎn)C和點(diǎn)C′是否有同樣的關(guān)系?你能用語言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎? 結(jié)合學(xué)生發(fā)表的觀點(diǎn),教師總結(jié)并板書. 對稱軸經(jīng)過對稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段.在這個基礎(chǔ)上,教師給出線段的垂直平分線的概念,然而把上述規(guī)律概括成圖形軸對稱的性質(zhì). 上述性質(zhì)是對兩個成軸對稱的圖形來說的,如果是一個軸對稱圖形,那么它的對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸之間是否也有同樣的關(guān)系? 從而得出:類似的,軸對稱圖形的對稱軸,是任何一個對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 三、歸納小結(jié) 主要圍繞下列幾個問題: (1)概念:軸對稱圖形,兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,對稱軸,對稱點(diǎn); (2)找軸對稱圖形的對稱軸. 四、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.1第1,2,3題. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該選在牽一發(fā)而動全身的關(guān)鍵之處進(jìn)行,軸對稱圖形的認(rèn)識的教學(xué)就是要抓住“對折”與“完全重合”兩個關(guān)鍵之處.不然就是隔靴搔癢. 當(dāng)“部分重合”與“完全重合”理解了,軸對稱圖形的概念也會在學(xué)生腦海中留下深刻的印象. 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)(2課時) 第1課時 線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定 掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定,能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 重點(diǎn) 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定,能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 難點(diǎn) 靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題. 一、問題導(dǎo)入 我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形,線段的垂直平分線是線段的對稱軸.那么,線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢?這節(jié)課我們就來研究它. 二、探究新知 (一)線段的垂直平分線的性質(zhì) 教師出示教材第61頁探究,讓學(xué)生測量,思考有什么發(fā)現(xiàn)? 如圖,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3…是l上的點(diǎn),分別量一量點(diǎn)P1,P2,P3…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)? 學(xué)生回答,教師小結(jié):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等. 性質(zhì)的證明: 教師講解題意并在黑板上繪出圖形:上述問題用數(shù)學(xué)語言可以這樣表示:如圖,設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線,點(diǎn)C是垂足,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn),連接PA,PB,我們要證明的是PA=PB. 教師分析證明思路:圖中有兩個直角三角形,△APC和△BPC,只要證明這兩個三角形全等,便可證得PA=PB. 教師要求學(xué)生自己寫已知,求證,自己證明. 學(xué)生證明完后教師板書證明過程供學(xué)生對照. 已知:MN⊥AB,垂足為點(diǎn)C,AC=BC,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB. 證明:在△APC和△BPC中, ∵PC=PC(公共邊),∠PCB=∠PCA(垂直定義),AC=BC(已知), ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等). 因?yàn)辄c(diǎn)P是線段的垂直平分線上一點(diǎn),于是就有:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等. (二)線段的垂直平分線的判定 你能寫出上面這個命題的逆命題嗎?它是真命題嗎?這個命題不是“如果…那么…”的形狀,要寫出它的逆命題,需分析命題的條件和結(jié)論,將原命題寫成“如果…那么…”的形式,逆命題就容易寫出.鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論. 原命題的條件是“有一個點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”,結(jié)論是“這個點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等”. 此時,逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點(diǎn)與線段兩個端點(diǎn)的距離相等,那么這個點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.” 寫出逆命題后,就想到判斷它的真假.如果真,則需證明它;如果假,則需用反例說明.請同學(xué)們自行在練習(xí)冊上完成. 學(xué)生給出了如下的四種證法. 已知:線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn),且PA=PB. 求證:P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法一 過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法二 取AB的中點(diǎn)C,過P,C作直線.∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180,∴∠PCA=∠PCB=90,即PC⊥AB,∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法三 過P點(diǎn)作∠APB的平分線. ∵PA=PB,∠1=∠2,PC=PC,△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180,∴∠PCA=∠PCB=90,∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上. 證法四 過P作線段AB的垂直平分線PC. ∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90,∴P在AB的垂直平分線上. 四種證法由學(xué)生表述后,有學(xué)生提問:“前三個同學(xué)的證明是正確的,而第四個同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂.” 師生共析:如圖(1),PD⊥AB,D是垂足,但D不平分AB;如圖(2),PD平分AB,但PD不垂直于AB.這說明一般情況下,“過P作AB的垂直平分線”是不可能實(shí)現(xiàn)的,所以第四個同學(xué)的證法是錯誤的. 從同學(xué)們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題,我們把它稱為線段的垂直平分線的判定. 要作出線段的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的判定:與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上,那么我們必須找到兩個與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),這樣才能確定已知線段的垂直平分線. 下面我們一同來寫出已知、求作、作法,體會作法中每一步的依據(jù). 例1 尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線. 已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C.(如下圖) 求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C. 作法:(1)任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁. (2)以點(diǎn)C為圓心,CK長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E. (3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心,大于DE的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)F. (4)作直線CF. 直線CF就是所求作的垂線. 師:根據(jù)上面作法中的步驟,想一想,為什么直線CF就是所求作的垂線?請與同伴進(jìn)行交流. 生:從作法的第(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF, ∴C,F(xiàn)都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定). ∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線). 師:我們曾用刻度尺找線段的中點(diǎn),當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法時,一旦垂直平分線作出,線段與線段的垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn),所以我們也用這種方法找線段的中點(diǎn). 三、課堂練習(xí) 教材第62頁練習(xí)第1,2題. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定,并學(xué)會了用尺規(guī)作線段的垂直平分線. 五、布置作業(yè) 1.教材習(xí)題13.1第6題. 2.補(bǔ)充題: (1)下圖是某跨河大橋的斜拉索,圖中PA=PB,PO⊥AB,則必有AO=BO,為什么? (2)如左下圖,△ABC中,AC=16 cm,DE為AB的垂直平分線,△BCE的周長為26 cm.求BC的長. (3)有A,B,C三個村莊(如右上圖),現(xiàn)準(zhǔn)備建一所學(xué)校,要求學(xué)校到三個村莊的距離相等,請你確定學(xué)校的位置. 本節(jié)證明了線段的中垂線的性質(zhì)定理及判定定理、用尺規(guī)作線段的中垂線.在課堂中,學(xué)生證明過程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好,但要強(qiáng)調(diào)作業(yè)中不用三角板等工具而要用尺規(guī)來作圖,解決實(shí)際問題時可以直接用定理而不是借助于全等. 第2課時 畫對稱軸 會畫軸對稱圖形的對稱軸. 重點(diǎn) 軸對稱圖形的對稱軸的畫法. 難點(diǎn) 軸對稱圖形的對稱軸的畫法. 一、提出問題 如果兩個平面圖形成軸對稱,你能用什么辦法驗(yàn)證?不經(jīng)過折疊,你能用什么方法畫出它的對稱軸? 二、探究新知 我們已經(jīng)學(xué)過,如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,所以我們只要找到兩個圖形的一對對應(yīng)點(diǎn),然后畫出以對應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線即可,如何作線段的垂直平分線呢? 例1 如圖(1),已知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對稱,你能作出這條直線嗎? 分析:我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線,就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對稱軸,為此作出到點(diǎn)A,B距離相等的兩點(diǎn),即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn),從而作出線段AB的垂直平分線. 教師具體分析畫法、寫出畫法,根據(jù)畫法作出圖形. 學(xué)生模仿教師的畫法,邊寫畫法,邊畫圖. 作法:如圖(2). (1)分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧(想一想,為什么),兩弧相交于C,D兩點(diǎn); (2)作直線CD. CD就是所求作的直線. 這個作法實(shí)際上就是線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生思考: (1)在作法中為什么有CA=CB,DA=DB? (2)可以用這種方法找線段的中點(diǎn)嗎?四等分點(diǎn)呢? 三、舉例分析 例2 如圖(1),△ABC和△A′B′C′是兩個成軸對稱的圖形,請畫出它的對稱軸. 教學(xué)方法:啟發(fā)學(xué)生把問題轉(zhuǎn)化為已解決問題,只要畫出點(diǎn)A、點(diǎn)A′連線的垂直平分線即可,如圖(2). 例3 圖(1)是一個五角星,請畫出它的對稱軸. 教學(xué)方法:引導(dǎo)學(xué)生思考五角星有幾條對稱軸,點(diǎn)A可以和哪些點(diǎn)成對應(yīng)點(diǎn)?最后化歸到例2,由學(xué)生自己完成. 四、鞏固練習(xí) 教材第64頁練習(xí)第1,2,3題. 五、課堂小結(jié) 本節(jié)課你有什么收獲?還有哪些不懂的地方嗎? 六、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.1第7,8題. 通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí),這節(jié)畫對稱軸的習(xí)題課就可以全部交由學(xué)生自己完成.畫軸對稱圖形的對稱軸就是利用兩個對稱點(diǎn)找到對稱軸,即畫出這對對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線,讓學(xué)生用尺規(guī)作圖,獨(dú)立完成. 13.2 畫軸對稱圖形(2課時) 第1課時 作軸對稱圖形 通過實(shí)際操作,掌握作軸對稱圖形的方法. 重點(diǎn) 能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次對稱后的圖形. 難點(diǎn) 較復(fù)雜圖形的軸對稱圖形的畫法. 一、問題導(dǎo)入 我們前面學(xué)習(xí)了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì).如果有一個圖形和一條直線,如何畫出這個圖形關(guān)于這條直線對稱的圖形呢?這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)作軸對稱圖形的方法. 二、探究新知 [活動] 在一張半透明紙的左邊部分,畫一只左腳印,把這張紙對折后描圖,打開對折的紙,就能得到相應(yīng)的右腳?。@時,右腳印和左腳印成軸對稱,折痕所在的直線就是它們的對稱軸,并且連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分.類似地,請你再將一個圖形做一做,看看能否得到同樣的結(jié)論. 認(rèn)真觀察,左腳印和右腳印有什么關(guān)系?(成軸對稱) 對稱軸是折痕所在的直線,即直線l,它與圖中的線段PP′是什么關(guān)系?(直線l垂直平分線段PP′) [思考1] 如何畫一個點(diǎn)的對稱圖形? 例1 畫出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′. 畫法:(1)過點(diǎn)A作對稱軸l的垂線,垂足為B; (2)延長AB到A′,使得BA′=AB.點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn). [思考2] 如何畫一條直線的對稱圖形? 例2 已知線段AB,畫出AB關(guān)于直線l的對稱線段. 畫法:(1)畫出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′. (2)畫出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′. (3)連接點(diǎn)A′和點(diǎn)B′成線段A′B′.線段A′B′即為所求. [思考3] 如果有一個圖形和一條直線,如何畫出與這個圖形關(guān)于這條直線對稱的圖形呢? 例3 如圖,已知△ABC和直線l,畫出與△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形. 畫法:(1)過點(diǎn)A畫直線l的垂線,垂足為O,在垂線上截取OA′=OA,A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn). (2)同理,分別畫出點(diǎn)B,C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,C′. (3)連接A′B′,B′C′,C′A′,則△A′B′C′即為所求. 三、課堂練習(xí) 1.教材第68頁練習(xí)第1,2題 2.下列圖形中,點(diǎn)P與P′關(guān)于直線MN對稱的圖形是( ) 四、小結(jié)與作業(yè) 1.歸納:幾何圖形都可以看成由點(diǎn)組成,對于某些圖形,只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)),連接這些對稱點(diǎn),就可以得到圖形的對稱圖形. 2.作業(yè):教材習(xí)題13.2第1題. 幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成,我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn),再連接這些對應(yīng)點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對稱圖形;對于一些由直線、線段或射線組成的圖形,只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))的對稱點(diǎn),連接這些對稱點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對稱圖形. 第2課時 用坐標(biāo)表示軸對稱 1.能在直角坐標(biāo)系中畫點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn). 2.能表示點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),表示關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo). 重點(diǎn) 用坐標(biāo)表示點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo). 難點(diǎn) 找對稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系. 一、問題導(dǎo)入 教材圖13.2-3是一張老北京城的示意圖,其中西直門和東直門是關(guān)于中軸線對稱的,如果以天安門為原點(diǎn),分別以長安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)如圖所示的東直門的坐標(biāo),你能說出西直門的坐標(biāo)嗎? 二、探究新知 【探究1】 (1)在直角坐標(biāo)系中畫出下列已知點(diǎn)A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(3,5),E(4,0),F(xiàn)(0,-3); (2)畫出這些點(diǎn)分別關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn),并填寫表格; (3)請你仔細(xì)觀察點(diǎn)的坐標(biāo),你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么規(guī)律嗎? (4)請你想辦法檢驗(yàn)?zāi)闼l(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性,說說你是如何檢驗(yàn)的. 已知點(diǎn) A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(3,5) E(4,0) F(0,-3) 關(guān)于x軸 的對稱點(diǎn) 關(guān)于y軸 的對稱點(diǎn) 【歸納】 關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是:橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù). 【探究2】 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出以上各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)并寫出坐標(biāo),觀察關(guān)于y軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)有什么規(guī)律? 【歸納】 關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是:縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù). 【探究3】 按以上規(guī)律,說出點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo),再說出P1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2坐標(biāo). 觀察點(diǎn)P經(jīng)過兩次軸對稱所得點(diǎn)P2的坐標(biāo)有什么規(guī)律? 【歸納】 一個點(diǎn)經(jīng)歷關(guān)于x軸、y軸兩次軸對稱得到的對稱點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律是:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)也互為相反數(shù).在以后學(xué)了“中心對稱”后,兩點(diǎn)被稱為關(guān)于原點(diǎn)對稱. 三、舉例分析 【例1】 已知A(2,a),B(-b,4),分別根據(jù)下列條件求a,b的值. (1)A,B關(guān)于y軸對稱; (2)A,B關(guān)于x軸對稱; (3)A,C關(guān)于x軸對稱,B,C關(guān)于y軸對稱. 【解析】 (1)A,B關(guān)于y軸對稱,說明縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)相反,a=4,b=2; (2)A,B關(guān)于x軸對稱,說明橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)相反,a=-4,b=-2; (3)A,C關(guān)于x軸對稱,B,C關(guān)于y軸對稱,說明A,B經(jīng)過x軸、y軸兩次對稱變換,即關(guān)于原點(diǎn)對稱,橫、縱坐標(biāo)各互為相反數(shù),a=-4,b=2. 【例2】 如下圖,四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分別畫出與四邊形ABCD關(guān)于y軸和x軸對稱的圖形. 學(xué)生獨(dú)立完成,教師用多媒體出示出正確答案并講評. 四、課堂鞏固 1.平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(4,-5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知點(diǎn)P(-2,3)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為Q(a,b),則a+b的值為( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 3.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為P1,點(diǎn)P1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P2,則P2的坐標(biāo)為( ) A.(a,b) B.(a,-b) C.(-a,b) D.(-a,-b) 4.若點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(m,n)滿足a+m=0,b-n=0,則這兩點(diǎn)關(guān)于( )對稱. A.x軸 B.y軸 C.x軸或y軸 D.不確定 五、拓展思維 如圖,點(diǎn)A(1,4),B(4,1),l為第一、三象限角∠xOy的平分線. (1)求證:l垂直平分AB; (2)A,B關(guān)于l成軸對稱嗎? (3)如果點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(6,8)和(8,6),它們還關(guān)于l對稱嗎? (4)如果你發(fā)現(xiàn)了對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律,寫出點(diǎn)P(m,n)關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo). 六、小結(jié)與作業(yè) 小結(jié):(1)點(diǎn)關(guān)于某條直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過尋找線段之間的關(guān)系來求. (2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y),即橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y)即橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等. 作業(yè):教材習(xí)題13.2第3,4題. 本節(jié)課通過學(xué)生熟悉、向往的北京城內(nèi)天安門、長安街、東直門等的方位引入新課,能強(qiáng)烈地吸引學(xué)生的注意力,較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.其中歸納規(guī)律后檢驗(yàn)其正確性是科學(xué)研究問題的一個必不可少的步驟,并通過一系列的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性,也使學(xué)生特別是學(xué)有困難的學(xué)生都能達(dá)到基本的學(xué)習(xí)目標(biāo). 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形(2課時) 第1課時 等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用 1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì). 2.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計算. 3.觀察等腰三角形的對稱性、發(fā)展形象思維. 重點(diǎn) 等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用. 難點(diǎn) 等腰三角形的性質(zhì)的證明. 一、情境導(dǎo)入 【活動1】 教師預(yù)先做出各種幾何圖形,包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形等. 讓同學(xué)們搶答哪些是軸對稱圖形,提問什么是軸對稱圖形,什么樣的三角形才是軸對稱圖形.引入今天所要講的課題——等腰三角形. 我們知道,有兩條邊相等的三角形是等腰三角形,下面我們利用軸對稱的知識來研究等腰三角形. 二、探究新知 如圖,把一張長方形的紙按圖中虛線對折,并剪去陰影部分,再把它展開,得到的△ABC有什么特點(diǎn)? 學(xué)生活動:學(xué)生動手操作,從剪出的圖形觀察△ABC的特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)AB=AC. 教師活動:讓學(xué)生回顧等腰三角形的概念: 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角.如下圖. 在△ABC中,若AB=AC,則△ABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底邊,∠A是頂角,∠B和∠C是底角. 【活動2】 把活動1中剪出的△ABC沿折痕AD對折,找出其中重合的線段,填入下表: 重合的線段 重合的角 從上表中你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么性質(zhì)嗎? 學(xué)生活動:學(xué)生經(jīng)過觀察,獨(dú)立完成上表,然后小組討論交流,從表中總結(jié)等腰三角形的性質(zhì). 教師活動:引導(dǎo)學(xué)生歸納. 性質(zhì)1 等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”); 性質(zhì)2 等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”). 【活動3】 你能用所學(xué)知識驗(yàn)證上述性質(zhì)嗎? 如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C. 學(xué)生活動:學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論,尋找解決問題的辦法,若證∠B=∠C,根據(jù)全等三角形的知識可以知道,只需要證明這兩個角所在的三角形全等即可. 于是可以作輔助線構(gòu)造兩個三角形,作BC邊上的中線AD,證明△ABD和△ACD全等即可,根據(jù)條件利用“邊邊邊”可以證明. 教師活動:讓學(xué)生充分討論,根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識利用邏輯推理的方式進(jìn)行證明,證明過程中注意學(xué)生表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 證明:作BC邊上的中線AD,如圖. 在△ABD和△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(SSS),所以∠B=∠C. 這樣,就證明了性質(zhì)1. 類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)2嗎? 由△ABD≌△ACD,還可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90. 從而AD⊥BC,這也就證明了等腰△ABC底邊上的中線平分頂角∠A并垂直于底邊BC. 添加輔助線的方法多樣,讓學(xué)生再去討論、交流,即用類似的方法可以證明性質(zhì)2. 三、應(yīng)用提高 例1 如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù). 學(xué)生活動:小組合作,分組討論、交流. 教師活動:引導(dǎo)學(xué)生分析圖形中關(guān)于角的數(shù)量關(guān)系.(三角形的內(nèi)角、外角,等腰三角形的底角) 發(fā)現(xiàn):(1)∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠A+∠ABD; (2)∠A=∠ABD; (3)∠A+2∠C=180. 若設(shè)∠A=x,則有x+4x=180,得到x=36,進(jìn)一步得到兩個底角的度數(shù). 四、小結(jié)與作業(yè) 請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容,有哪些收獲? 師生活動:學(xué)生思考后,用自己的語言歸納,教師適時點(diǎn)評,并關(guān)注以下幾個問題: 小結(jié):(1)等邊對等角;(2)等腰三角形的三線合一;(3)等腰三角形常用輔助線作法(作底邊上的高、作底邊上的中線、作頂角的平分線). 作業(yè):教材習(xí)題13.3第1,3,7題. 本節(jié)課重點(diǎn)要讓學(xué)生通過動手翻折等腰三角形紙片得出等腰三角形“兩個底角相等”、“三線合一”的性質(zhì).設(shè)計理念是讓學(xué)生通過感官認(rèn)識、折紙、猜想、驗(yàn)證等腰三角形的性質(zhì),然后運(yùn)用全等三角形的知識加以論證,使學(xué)生思維由形象直觀過渡到抽象的邏輯演繹,層層展開,步步深入,從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的. 第2課時 等腰三角形的判定 1.理解并掌握等腰三角形的判定方法. 2.運(yùn)用等腰三角形的判定進(jìn)行證明和計算. 重點(diǎn) 等腰三角形的判定方法. 難點(diǎn) 等腰三角形的判定方法的證明. 一、提出問題 出示教材第77頁“思考”. 學(xué)生思考,回答后教師提問: 在一般三角形中,如果有兩個角相等,那么它們所對的邊有什么關(guān)系? 學(xué)生猜想它們所對的邊相等. 即如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等. 如何證明? 二、解決問題 教師引導(dǎo)提示,學(xué)生根據(jù)提示畫出圖形,并寫出已知、求證. 已知:在△ABC中,∠B=∠C. 求證:AB=AC. 與學(xué)生一起回顧等腰三角形中常添加的輔助線:高、頂角平分線、底邊上的中線.讓學(xué)生逐一嘗試,發(fā)現(xiàn)可以作AD⊥BC,或AD平分∠BAC,但不能作BC邊上的中線. 學(xué)生口頭證明后,選一種方法寫出證明過程. 如圖,在△ABC中,∠B=∠C,作△ABC的角平分線AD. 在△BAD和△CAD中, ∴△BAD≌△CAD(AAS),∴AB=AC. 歸納等腰三角形的判定方法: 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等,簡稱:“等角對等邊”. 三、應(yīng)用舉例 1.出示教材例2. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)命題畫出圖形,利用角平分線的性質(zhì)及“等邊對等角”來證明. 學(xué)生討論后,自己完成證明過程. 例2 求證:如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,那么這個三角形是等腰三角形. 已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.(如圖所示) 求證:AB=AC. 分析:要證明AB=AC.可先證明∠B=∠C.因?yàn)椤?=∠2,所以可以設(shè)法找出∠B,∠C與∠1,∠2的關(guān)系. 證明:∵AD∥BC, ∴∠1=∠B(______________________), ∠2=∠C(______________________). 而已知∠1=∠2,所以 ∠B=∠C. ∴AB=AC(______________). 2.出示教材例3. 讓學(xué)生自學(xué)例3. 例3 已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h,求作這個等腰三角形. 作法:(1)作線段AB=a. (2)作線段AB的垂直平分線MN,與AB相交于點(diǎn)D. (3)在MN上取一點(diǎn)C,使DC=h. (4)連接AC,BC,則△ABC就是所求作的等腰三角形. 四、課堂小結(jié) 1.等腰三角形的判定方法是什么? 2.等腰三角形的性質(zhì)與判定既有區(qū)別又有聯(lián)系,你能總結(jié)一下嗎? 五、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.3第2,8,10題. 學(xué)生剛剛學(xué)過等腰三角形的性質(zhì),對等腰三角形已經(jīng)有了一定的了解和認(rèn)識.因此在課堂教學(xué)中先引出等腰三角形的判定定理及推論,并能夠靈活應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)論證和計算.發(fā)展學(xué)生的動手、歸納猜想能力;發(fā)展學(xué)生證明用文字表述的幾何命題的能力;使它們進(jìn)一步掌握歸納思維方法,領(lǐng)會數(shù)學(xué)分類思想、轉(zhuǎn)化思想. 13.3.2 等邊三角形(2課時) 第1課時 等邊三角形的性質(zhì)和判定 1.掌握等邊三角形的定義. 2.理解等邊三角形的性質(zhì)與判定. 重點(diǎn) 等邊三角形的性質(zhì)和判定. 難點(diǎn) 等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用. 一、問題引入 在等腰三角形中,如果底邊與腰相等,會得到什么結(jié)論? 二、自主探究 1.等邊三角形的定義 底邊和腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形. 2.思考:把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形,能得到什么結(jié)論?一個三角形的三個內(nèi)角滿足什么條件才是等邊三角形? 邊:三條邊都相等. 角:三個角都相等,并且每一個角都等于60. 3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,你能得到AB=BC=CA嗎?為什么? 你從中能得到什么結(jié)論? 三個角都相等的三角形是等邊三角形. 4.在△ABC中,AB=AC,∠A=60.(1)求證:△ABC是等邊三角形; (2)如果把∠A=60改為∠B=60或∠C=60,那么結(jié)論還成立嗎? (3)由上你可以得到什么結(jié)論? 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形. 三、應(yīng)用舉例 1.教材例4. 例4 如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證:△ADE是等邊三角形. 證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE=∠AED, ∴△ADE是等邊三角形. 2.歸納:在判定三角形是等邊三角形時: (1)若三角形是一般三角形,只要找三個角相等或三條邊相等; (2)若三角形是等腰三角形,一般是找一個角等于60. 四、鞏固練習(xí) 教材第80頁練習(xí)第1,2題. 補(bǔ)充題: 1.如圖,已知等邊△ABC,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn),且AD=BE=CF.求證:△DEF是等邊三角形. 2.如圖,已知等邊△ABC,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),且CE=CD,DF⊥BE.求證:BF=EF. ,第2題圖) 教師提出要求,補(bǔ)充題1,2可以讓學(xué)生板書過程. 五、總結(jié)提高 小結(jié):通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你了解到了等邊三角形有哪些特點(diǎn)? 怎樣判定一個三角形是等邊三角形? 布置作業(yè):教材習(xí)題13.3第12,14題. 教學(xué)中設(shè)計了兩個問題:把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形,你能得到什么結(jié)論?類似地,你又能得到哪些等邊三角形的判定方法?讓學(xué)生先自主探索再合作交流,小組內(nèi)、小組間充分討論后概括所得結(jié)論.這既鞏固應(yīng)用等腰三角形的知識,又類比探索等邊三角形性質(zhì)定理和判定定理的方法,并使學(xué)生加深對等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系與區(qū)別的理解. 第2課時 含30角的直角三角形的性質(zhì) 掌握含30角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用. 重點(diǎn) 含30角的直角三角形的性質(zhì). 難點(diǎn) 含30角的直角三角形性質(zhì)的推導(dǎo). 一、情境導(dǎo)入 將兩個含30的三角尺擺放在一起,你能借助這個圖形,找出Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的關(guān)系嗎? 二、探究新知 由題意可判定△ABD是等邊三角形,且AC為邊BD上的高,可得BC=CD=AB. 教師歸納: 在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 你能證明這一結(jié)論嗎? 讓學(xué)生從以下兩個途徑探索: (1)△ABD是等邊三角形,AC⊥BD于點(diǎn)C,則∠BAD=____度,BC=____BD=____AB. (2)在△ABC中,若AC⊥BC,∠A=30,則∠B=____度,延長BC到點(diǎn)D,使BD=AB,連接AD,則△ABD是等邊三角形,BC=____=____. 以上結(jié)論是直角三角形的性質(zhì)之一,在以后的證明和計算中經(jīng)常用到. 思考:逆命題:“在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于30”是否成立? 課堂練習(xí) ①在△ABC中,∠ACB=90,∠A=30,CD⊥AB,AB=4,則BC=________,∠BCD=________,BD=________. ②小明沿傾斜角為30的山坡從山腳步行到山頂,共走了200 m,求山的高度. 三、舉例分析 出示教材例5. 例5 如圖是屋架設(shè)計圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC,DE垂直于橫梁AC,AB=7.4 m,∠A=30.立柱BC,DE要多長? 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30, ∴BC=AB,DE=AD. ∴BC=7.4=3.7(m). 又AD=AB, ∴DE=AD=3.7=1.85(m). 答:立柱BC的長是3.7 m,DE的長是1.85 m. 教師引導(dǎo)學(xué)生尋找圖中含有30角的直角三角形,并選擇BC,DE所在直角三角形. 由學(xué)生口答后,找學(xué)生完成板書,其他同學(xué)對照. 四、課堂小結(jié) 學(xué)生小結(jié),教師梳理本節(jié)課的知識點(diǎn),強(qiáng)調(diào)含30的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用. 五、布置作業(yè) 教材習(xí)題13.3第15題. 補(bǔ)充練習(xí): 1.如圖,已知Rt△ABC中,∠A=30,∠ACB=90,BD平分∠ABC,求證:AD=2DC. 2.如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠C=30,AB⊥AD,AD=2 cm,求BC的長. 本節(jié)課我采用從生活中創(chuàng)設(shè)情境來激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣,采用拼圖形的方法創(chuàng)設(shè)問題的情境,引導(dǎo)學(xué)生自主探究活動,培養(yǎng)學(xué)生用類比、猜想、論證的研究方法研究問題,培養(yǎng)學(xué)生善于動手、善于觀察、善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,使學(xué)生在自主探索和合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容. 13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 通過對最短路徑問題的探索,進(jìn)一步理解和掌握兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短. 重點(diǎn) 應(yīng)用所學(xué)知識解決最短路徑問題. 難點(diǎn) 選擇合理的方法解決問題. 一、創(chuàng)設(shè)情境 多媒體展示:如圖,一個圓柱的底面周長為20 cm,高AB為4 cm,BC是底面的直徑,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路徑. 這是一個立體圖形,要求螞蟻爬行的最短路徑,就是要把圓柱的側(cè)面展開,利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”求出最短路徑.那么怎樣求平面圖形中的最短路徑問題呢? 二、自主探究 探究一:最短路徑問題的概念 1.多媒體出示圖①和圖②,提出問題: (1)圖①中從點(diǎn)A走到點(diǎn)B哪條路最短?(2)圖②中點(diǎn)C與直線AB上所有的連線中哪條線最短? 2.教師總結(jié):“兩點(diǎn)之間,線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等問題,我們稱之為最短路徑問題. 探究二:河邊飲馬問題 多媒體出示問題1:牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地,牧馬人從河邊什么地方飲馬,可使所走的路徑最短? 提出問題:如果點(diǎn)A和點(diǎn)B分別位于直線的兩側(cè),如何在直線l上找到一點(diǎn),使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離的和最短? 思考:如果點(diǎn)A和點(diǎn)B位于直線的同側(cè),如何在直線l上找到一點(diǎn),使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離的和最短? 教師引導(dǎo)學(xué)生討論,明確找點(diǎn)的方法. 讓學(xué)生對剛才的方法通過邏輯推理的方法加以證明. 教師巡視指導(dǎo)學(xué)生的做題情況,有針對性地進(jìn)行點(diǎn)撥. 探究三:造橋選址問題 多媒體出示問題2.(教材第86頁) 提出問題: (1)根據(jù)問題1的探討你對這道題有什么思路和想法? (2)這個問題有什么不同? (3)要保證路徑AMNB最短,應(yīng)該怎樣選址? 學(xué)生對這個三個問題展開討論,得出結(jié)論:要保證AMNB最短,就是要保證AM+MN+NB最?。? 嘗試選址作出圖形. 多媒體展示教材圖13.4-7,13.4-8,13.4-9,引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察,讓學(xué)生根據(jù)剛才的分析,完成證明過程. 根據(jù)問題1和問題2,你有什么啟示? 三、知識拓展 已知長方體的長為2 cm、寬為1 cm、高為4 cm,一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn),那么沿哪條路最近,最短的路程是多少? [讓學(xué)生討論有幾種爬行的方法,計算出每種方案中的路程,再進(jìn)行比較] 四、歸納總結(jié) 1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識? 2.怎樣解決最短路徑問題? 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題學(xué)習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的線段和最小問題,再利用軸對稱將線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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