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章末綜合測評(二)　推理與證明 (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　) A．28　 B．32 C．33 D．27 【解析】　觀察知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋34＝32. 【答案】　B 2．(2016汕頭高二檢測)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數(shù)f(x)，若f(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點．因為f(x)＝x3在x＝0處的導數(shù)值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的極值點．以上推理中(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結論正確 【解析】　大前提是錯誤的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函數(shù)f(x)的極值點，故選A. 【答案】　A 3．下列推理過程是類比推理的是(　　) A．人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為 B．科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼 C．通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性 D．數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù) 【解析】　A為歸納推理，C，D均為演繹推理，B為類比推理． 【答案】　B 4．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180； ③由f(x)＝sin x，滿足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函數(shù)； ④三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)180. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ 【解析】　合情推理分為類比推理和歸納推理，①是類比推理，②④是歸納推理，③是演繹推理． 【答案】　C 5．設a＝21.5＋22.5，b＝7，則a，b的大小關系是(　　) A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)2(b＋1) 【解析】　因為a＝21.5＋22.5>2＝8>7，故a>b. 【答案】　A 6．將平面向量的數(shù)量運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得到下列結論：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③a(b＋c)＝ab＋ac；④|ab|＝|a||b|；⑤由ab＝ac(a≠0)，可得b＝c.以上通過類比得到的結論中，正確的個數(shù)是(　　) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【解析】?、佗壅_；②④⑤錯誤． 【答案】　A 7．證明命題：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證法如下：因為f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因為x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，使用的證明方法是(　　) A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．以上都不是 【解析】　從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結論，是綜合法． 【答案】　A 8．已知c>1，a＝－，b＝－，則正確的結論是(　　) 【導學號：19220032】 A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)1，所以a>0，b>0，故只需比較與的大小即可， 而＝＝＋， ＝＝＋， 顯然>，從而必有a2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結果，可推測出一般結論(　　) A．f(2n)> B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不對 【解析】　f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>. 由此可推知f(2n)≥.故選C. 【答案】　C 10．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應下面圖1中的(1)(2)(3)(4)，則圖中a，b對應的運算是(　　) 圖1 A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 【解析】　根據(jù)(1)(2)(3)(4)可知A對應橫線，B對應矩形，C對應豎線，D對應橢圓．由此可知選B. 【答案】　B 11．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 【解析】　從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 【答案】　C 12．在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q>1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是(　　) A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8b5＋b8 D．b4＋b7a3a7，所以在等比數(shù)列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以應有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b81，bn>0，所以b4＋b8>b5＋b7. 【答案】　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．) 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時假設應為________． 【解析】　“至少有一個”的否定為“一個也沒有”，故假設應為“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)． 【答案】　x，y均不大于1(或x≤1且y≤1) 14．如圖2，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n－2(n>2)個圖形中共有________個頂點． 圖2 【解析】　設第n個圖形中有an個頂點， 則a1＝3＋33，a2＝4＋44，…， an＝(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)，an－2＝n2＋n. 【答案】　n2＋n 15．設a>0，b>0，則下面兩式的大小關系為lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 【解析】　因為(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0， 所以(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， 所以lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 【答案】　≤ 16．(2016杭州高二檢測)對于命題“如果O是線段AB上一點，則||＋||＝0”將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點，有S△OBC＋S△OCA＋S△OBA＝0，將它類比到空間的情形應為：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有_______________________________________________． 【導學號：19220033】 【解析】　根據(jù)類比的特點和規(guī)律，所得結論形式上一致，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長類比為三角形面積，再類比成四面體的體積，故可以類比為VOBCD＋VOACD＋VOABD＋VOABC＝0. 【答案】　VOBCD＋VOACD＋VOABD＋VOABC＝0 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．) 17．(本小題滿分10分)已知a，b，c成等差數(shù)列，求證：ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差數(shù)列． 【證明】　因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以(ab＋ac)＋(ac＋bc)＝b(a＋c)＋2ac＝2(b2＋ac)． 所以ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差數(shù)列． 18．(本小題滿分12分)在平面幾何中，對于Rt△ABC，∠C＝90，設AB＝c，AC＝b，BC＝a，則 (1)a2＋b2＝c2； (2)cos2A＋cos2B＝1； (3)Rt△ABC的外接圓半徑r＝. 把上面的結論類比到空間寫出類似的結論，無需證明． 【解】　在空間選取三個面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象． (1)設三個兩兩垂直的側面的面積分別為S1，S2，S3，底面積為S，則S＋S＋S＝S2. (2)設三個兩兩垂直的側面與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. (3)設三個兩兩垂直的側面形成的側棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球半徑R＝. 19．(本小題滿分12分)已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，且a>b，求證：<. 【證明】　依題意a>0，b>0， 所以1＋>0,1＋a＋b>0. 所以要證<， 只需證(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)， 只需證b，所以<21，證明：f(m)，f(n)至少有一個不小于零； (2)若a，b為不相等的正實數(shù)且滿足f(a)＝f(b)，求證：a＋b<. 【證明】　(1)假設f(m)<0，f(n)<0， 即m3－m2<0，n3－n2<0， ∵m>0，n>0， ∴m－1<0，n－1<0， ∴01矛盾， ∴假設不成立，即f(m)，f(n)至少有一個不小于零． (2)證明：由f(a)＝f(b)，得a3－a2＝b3－b2， ∴a3－b3＝a2－b2， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b)， ∵a≠b， ∴a2＋ab＋b2＝a＋b， ∴(a＋b)2－(a＋b)＝ab<2， ∴(a＋b)2－(a＋b)<0， 解得a＋b<. 22．(本小題滿分12分)設f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)． (1)5＝2＋3，請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示； (2)如果(1)中獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣． 【解】　(1)f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝＋＝， 又g(5)＝， ∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由(1)知g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推測g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 證明：∵f(x)＝， g(x)＝， g(x＋y)＝， g(y)＝，f(y)＝， ∴f(x)g(y)＋g(x)f(y) ＝＋ ＝＝g(x＋y)．