《高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 2_5_2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 北師大版選修2-3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 2_5_2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 北師大版選修2-3（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第2課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的方差 1．理解離散型隨機(jī)變量的方差的意義．(重點(diǎn)) 2．能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　離散型隨機(jī)變量的方差的概念 閱讀教材P61～P62“習(xí)題2－5”以上部分，完成下列問題． 1．離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (1)方差DX＝________. (2)標(biāo)準(zhǔn)差為________． 【答案】　(1)E(X－EX)2　(2) 2．方差的性質(zhì) D(aX＋b)＝________. 【答案】　a2DX 3．方差的意義 方差可用來衡量X與EX的________，方差越小，則隨機(jī)變量的取值就越__________________；方差越大，則隨機(jī)變量的取值就越________． 【答案】　平均偏離程度　集中在其均值周圍　分散 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．(　　) (2)若X是常數(shù)，則DX＝0.(　　) (3)若DX＝0，則X是常數(shù)．(　　) (4)如果X是離散型隨機(jī)變量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.(　　) 【答案】　(1)　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 P(X) 0.4 0.2 0.4 則DX等于(　　) A．0　　　　 B．0.8 C．1 D．2 【解析】　∵EX＝10.4＋20.2＋30.4＝2， ∴DX＝0.4(1－2)2＋0.2(2－2)2＋0.4(3－2)2＝0.8. 【答案】　B [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 [小組合作型] 求離散型隨機(jī)變量的方差 　編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求Eξ和Dξ. 【精彩點(diǎn)撥】　首先確定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，進(jìn)而求出Eξ和Dξ的值． 【自主解答】　ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位學(xué)生全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生， 則P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位學(xué)生只有1位學(xué)生坐對(duì)了， 則P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對(duì)了，即對(duì)號(hào)入座， 則P(ξ＝3)＝＝. 所以，ξ的分布列為 ξ 0 1 3 P Eξ＝0＋1＋3＝1； Dξ＝(0－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＝1. 求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法 1．已知分布列型(超幾何分布或二項(xiàng)分布)：直接利用定義求解，具體如下： (1)求均值；(2)求方差． 2．已知分布列是超幾何分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，具體如下， (1)若X服從超幾何分布，則DX＝n. (2)若X～B(n，p)，則DX＝np(1－p)． 3．未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成1中的情況． 4．對(duì)于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2DX求解． [再練一題] 1．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求Eξ和Dξ. 【解】　這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2， 則P(ξ＝6)＝＝. ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5， 則P(ξ＝9)＝＝. ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5， 則P(ξ＝12)＝＝. ∴ξ的分布列為 ξ 6 9 12 P ∴Eξ＝6＋9＋12＝7.8. Dξ＝(6－7.8)2＋(9－7.8)2＋(12－7.8)2＝3.36. 二項(xiàng)分布的方差 　為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望Eξ為3，方差Dξ為. (1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種．求需要補(bǔ)種沙柳的概率． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)利用二項(xiàng)分布的期望與方差計(jì)算公式求解．(2)利用互斥事件的概率計(jì)算公式求解． 【自主解答】　由題意知，ξ服從二項(xiàng)分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. (1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝， 得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)， 得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝. 所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為. 對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2Dξ，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程. [再練一題] 2．(1)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，則p等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 【解析】　np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝， ∴p＝. 【答案】　A (2)已知η的分布列為： η 0 10 20 50 60 P ①求方差； ②設(shè)Y＝2η－Eη，求DY. 【解】?、佟逧η＝0＋10＋20＋50＋60＝16， Dη＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384. ②∵Y＝2η－Eη， ∴DY＝D(2η－Eη) ＝22Dη＝4384＝1 536. [探究共研型] 均值、方差的綜合應(yīng)用 探究1　A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表： A機(jī)床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B機(jī)床 次品數(shù)X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 試求EX1，EX2. 【提示】　EX1＝00.7＋10.2＋20.06＋30.04＝0.44. EX2＝00.8＋10.06＋20.04＋30.10＝0.44. 探究2　在探究1中，由EX1＝EX2的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？ 【提示】　不能．因?yàn)镋X1＝EX2. 探究3　在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？ 【提示】　利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定． 　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列． (2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值． 【自主解答】　(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： Eξ＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2； Eη＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7； Dξ＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96； Dη＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. 由于Eξ>Eη，DξDY，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高． [構(gòu)建體系] 1．設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝則ξ的方差Dξ等于(　　) A．m　　　 B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 【解析】　隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 P 1－m m ∴Eξ＝0(1－m)＋1m＝m. ∴Dξ＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)． 【答案】　D 2．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則EY，DY分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 【解析】　由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得EY＝8－EX＝8－100.6＝2， DY＝(－1)2DX＝100.60.4＝2.4. 【答案】　B 3．有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1>DX2，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690044】 【解析】　因?yàn)镋X1＝EX2，DX1>DX2，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定． 【答案】　乙 4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表： X －1 0 1 2 P a b c 若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________. 【解析】　由題意， 解得a＝，b＝c＝. 【答案】　　 5．已知某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p＝0.6， (1)求一次投籃命中次數(shù)ξ的均值與方差； (2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)η的均值與方差． 【解】　(1)投籃一次命中次數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 P 0.4 0.6 則Eξ＝00.4＋10.6＝0.6， Dξ＝(0－0.6)20.4＋(1－0.6)20.6＝0.24. (2)由題意知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)η服從二項(xiàng)分布，即η～B(5,0.6)． 由二項(xiàng)分布期望與方差的計(jì)算公式，有 Eη＝50.6＝3，Dη＝50.60.4＝1.2. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(jì)(　　) A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同 D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較 【解析】　∵DX甲>DX乙， ∴乙種水稻比甲種水稻整齊． 【答案】　B 2．設(shè)二項(xiàng)分布B(n，p)的隨機(jī)變量X的均值與方差分別是2.4和1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為(　　) A．n＝4，p＝0.6　　　　 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 【解析】　由題意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44， ∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6. 【答案】　B 3．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝3,6,9.則DX等于(　　) A．6　　　　 B．9　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　EX＝3＋6＋9＝6. DX＝(3－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2＝6. 【答案】　A 4．同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則Dξ＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690045】 A. B. C. D．5 【解析】　兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的概率為＝，故ξ～B， 因此Dξ＝10＝.故選A. 【答案】　A 5．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 則①EX＝－，②DX＝，③P(X＝0)＝，其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　EX＝(－1)＋0＋1＝－，故①正確； DX＝2＋2＋2＝，故②不正確；③P(X＝0)＝顯然正確． 【答案】　C 二、填空題 6．(2014浙江高考)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，Eξ＝1，則Dξ＝________. 【解析】　設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以Dξ＝＋0＋1＝. 【答案】　 7．(2016揚(yáng)州高二檢測(cè))設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p＝________時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為________． 【解析】　由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的方差公式可以得到 Dξ＝np(1－p)≤n2＝，等號(hào)在p＝1－p＝時(shí)成立，所以(Dξ)max＝100＝25，＝＝5. 【答案】　　5 8．一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分，某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值與方差分別為________． 【解析】　設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中選對(duì)答案的題目的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)(成績(jī))為Y，則Y＝4X. 由題知X～B(25,0.6)， 所以EX＝250.6＝15，DX＝250.60.4＝6， EY＝E(4X)＝4EX＝60，DY＝D(4X)＝42DX＝166＝96， 所以該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值與方差分別是60與96. 【答案】　60,96 三、解答題 9．海關(guān)大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量． 【解】　∵EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2. ∵DX1＝(－2－0)20.05＋(－1－0)20.05＋(0－0)20.8＋(1－0)20.05＋(2－0)20.05＝0.5； DX2＝(－2－0)20.1＋(－1－0)20.2＋(0－0)20.4＋(1－0)20.2＋(2－0)20.1＝1.2. ∴DX1

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