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高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.3 反證法自我小測 北師大版選修2-2 1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個角大于60”，下列假設(shè)中正確的是(　　)． A．假設(shè)三個內(nèi)角都大于60 B．假設(shè)三個內(nèi)角都不大于60 C．假設(shè)三個內(nèi)角至多有一個大于60 D．假設(shè)三個內(nèi)角至多有兩個大于60 2．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩人說得正確，則獲獎歌手是(　　)． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．反證法是(　　)． A．從結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾的證法 B．對其否命題的證明 C．對其逆命題的證明 D．分析法的證明方法 4．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定應(yīng)為(　　)． A．有兩個內(nèi)角是直角 B．有三個內(nèi)角是直角 C．至少有兩個內(nèi)角是直角 D．沒有一個內(nèi)角是直角 5．如果兩個數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)(　　)． A．一個是正數(shù)，一個是負數(shù) B．兩個都是正數(shù) C．至少有一個是正數(shù) D．兩個都是負數(shù) 6．如果要否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，則下列假設(shè)中正確的是(　　)． A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 7．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1為__________三角形，△A2B2C2為__________三角形(填“銳角”或“鈍角”)． 8．設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個數(shù)不小于__________． 9．求證：兩條相交直線有且只有一個交點． 10．已知a≠0，證明：關(guān)于x的方程ax＝b有且只有一個根．  參考答案 1.答案：B　解析：“至少有一個大于”的反面為“都不大于”． 2.答案：B　解析：若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁四人的話都是錯的；同理，可推出乙、丙、丁獲獎情況，最后可知獲獎的歌手是丙． 3.答案：A 4.答案：B　解析：“最多只有一個”的否定是“至少有兩個”． 5.答案：B　解析：假設(shè)兩個都為負數(shù)，則這兩個數(shù)之和為負數(shù)與題設(shè)矛盾．兩個數(shù)均為正數(shù)明顯符合題意，若一正一負，且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值，也符合題意，故選C. 6.答案：D　解析：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的反面是“都是奇數(shù)或兩個是偶數(shù)或三個都是偶數(shù)”． 7.答案：銳角　鈍角　解析：由已知△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1為銳角三角形．若△A2B2C2是銳角三角形，由 得 ∴A2＋B2＋C2＝與A2＋B2＋C2＝π矛盾， ∴△A2B2C2是鈍角三角形． 8.　解析：假設(shè)a，b，c都小于，即a＜，b＜，c＜，則a＋b＋c＜1，與a＋b＋c＝1矛盾，所以假設(shè)不成立． 9.答案：證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點；至少有兩個交點． 設(shè)兩條直線為a，b. (1)若a，b無交點，那么a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾； (2)若a，b至少有兩個交點，設(shè)兩個交點為A和B，這樣同時經(jīng)過A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點． 10.證明：由于a≠0，因此方程至少有一個根x＝. 如果方程不是只有一個根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個不同根，即ax1＝b，ax2＝b， ∴a(x1－x2)＝0. ∵x1≠x2， ∴x1－x2≠0， ∴應(yīng)有a＝0，這與已知相矛盾， 故假設(shè)不成立． ∴當a≠0時，方程ax＝b有且只有一個根．