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高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明單元測評 北師大版選修2-2 (時間：90分鐘，滿分：100分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1數(shù)列{an}中前四項分別為2，，，，則an與an＋1之間的關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)n＋1＝an＋6 B.＝＋3 C．a(chǎn)n＋1＝ D．a(chǎn)n＋1＝ 2如圖，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來的(n＝1,2,3，…)，則在第n個圖形中共有______個頂點(diǎn)(　　) A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2 D．n 3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項和 C．增加了選項B中的兩項但減少了一項 D．以上均不正確 4已知a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則(　　) A．1＜ab＜ B．a(chǎn)b＜1＜ C．a(chǎn)b＜＜1 D.＜ab＜1 5如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　) A．4(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA) C．2(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2) 6已知f(x)＝是奇函數(shù)，那么實數(shù)a的值等于(　　) A．1 B．－1 C．0 D．1 7(2008全國高考卷Ⅰ，理9)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 8已知a，b∈R＋，且a≠b，下列說法正確的是…(　　) A．a(chǎn)5＋b5≥a3b2＋a2b3 B．a(chǎn)5＋b5＞a3b2＋a2b3 C．a(chǎn)5＋b5≤a3b2＋a2b3 D．a(chǎn)5＋b5＜a3b2＋a2b3 9已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3b4b5…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 10某人在上樓梯時，一步上一個臺階或兩個臺階，設(shè)他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法，從平地上到第二級臺階時有f(2)種走法……則他從平地上到第n級(n≥3)臺階時的走法f(n)等于(　　) A．f(n－1)＋1 B．f(n－2)＋2 C．f(n－2)＋1 D．f(n－1)＋f(n－2) 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 11(2010安徽屯溪期末考試)若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝__________. 12根據(jù)前面的推理，在下表的空白處添加相應(yīng)的結(jié)論. 三角形的兩邊之和大于第三邊 四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積 三角形的面積等于底乘高的 三棱錐的體積等于底面積乘高的 三角形的面積等于內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的積的 13(2009浙江高考，文16)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，______，______，成等比數(shù)列． 14如圖，質(zhì)點(diǎn)在第一象限運(yùn)動，在第一秒鐘它由原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)(0,1)，而后接著按圖所示的箭頭方向在與x軸、y軸平行的方向運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度，那么2 000秒后，這個質(zhì)點(diǎn)所處的位置的坐標(biāo)是____________． 15設(shè)f(n)＝1＋＋＋＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋__________. 三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16(9分)如圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BDBC；若類比該命題，如圖(2)，三棱錐ABCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題． 17(10分)已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)． 18(10分)設(shè)f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0，且a≠1)． (1)請你推測g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示； (2)如果(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣． 19(11分)若不等式＋＋…＋＞對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 參考答案 1解析：觀察前四項分子相同，分母相差6，∴{}為等差數(shù)列． 答案：B 2解析：第1個圖形是3＋33＝34個頂點(diǎn)，第2個圖形是4＋44＝45個頂點(diǎn)，第3個圖形是5＋55＝56個頂點(diǎn)，第4個圖形是6＋66＝67個頂點(diǎn)…由此猜想第n個圖形是(n＋2)(n＋3)個頂點(diǎn)． 答案：B 3解析：在n＝k＋1時，用k＋1替換n，再與n＝k時比較． 答案：C 4解析：∵a，b∈R，且a≠b，則ab＜()2＜，而a＋b＝2，∴ab＜1＜. 答案：B 5解析：已知平面上平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，利用類比推理可知，空間中，平行六面體的體對角線的平方和等于12條棱的平方和． 答案：A 6解析：方法一：函數(shù)的定義域為R，函數(shù)為奇函數(shù)，則x＝0時f(0)＝0，即＝0，∴a＝1. 方法二：根據(jù)奇函數(shù)的定義，f(－x)＝－f(x)恒成立， 即＝－恒成立， 即＝－恒成立， 即2a＋a2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1. 答案：A 7解析：由f(x)是奇函數(shù)，可知＝＜0，而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當(dāng)x＞0時，f(x)＜0＝f(1)；當(dāng)x＜0時，f(x)＞0＝f(－1)．又f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，所以解集為0＜x＜1，或－1＜x＜0. 答案：D 8解析：要比較兩數(shù)的大小，只需兩數(shù)作差與零比較． a5＋b5－a3b2－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a3－b3)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2(a＋b)[(a＋)2＋b2]． ∵a，b∈R＋，a≠b， ∴(a－b)2＞0，(a＋)2＋b2＞0，a＋b＞0. ∴a5＋b5－a3b2－a2b3＞0， 即有a5＋b5＞a3b2＋a2b3. 答案：B 9解析：等比數(shù)列的特點(diǎn)是b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6＝b， 而等差數(shù)列的特點(diǎn)是a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. 答案：D 10解析：要到達(dá)第n級臺階有兩種走法：(1)在第n－2級的基礎(chǔ)上到達(dá)；(2)在第n－1級的基礎(chǔ)上到達(dá)． 答案：D 11解析：前10項共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個奇數(shù)，a10由第46個到第55個奇數(shù)的和組成，即a10＝(246－1)＋(247－1)＋…＋(255－1)＝＝1 000. 答案：1 000 12解析：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，圓心為O，三邊長分別為a、b、c，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形OAB、OAC、OBC，其面積和為S△ABC＝(a＋b＋c)r.類似地，設(shè)三棱錐SABC的內(nèi)切球半徑為R，球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將三棱錐分割為四個小三棱錐OSAB，OSAC，OSBC，OABC，其體積和為三棱錐SABC的體積，則V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R＝S表R. 答案：三棱錐的體積等于表面積與內(nèi)切球半徑的積的 13解析：∵b1b2b3b4＝T4，＝b5b6b7b8＝b1q4b2q4b3q4b4q4＝T4q16，＝T4q32，＝T4q48，故T4，，，成等比數(shù)列． 答案：　 14解析：觀察可知，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)(n，n)(n∈N)時，它走過的長度單位應(yīng)為2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．因為2 000＝4445＋20，故此質(zhì)點(diǎn)在到達(dá)(44,44)后繼續(xù)前進(jìn)了20個單位，再觀察其規(guī)律，應(yīng)是向左前進(jìn)了20個單位，即知其位置為點(diǎn)(24,44)． 答案：(24,44) 15解析：∵f(k)＝1＋＋＋＋…＋－， f(k＋1)＝1＋＋＋＋…＋＋＋－， ∴f(k＋1)＝f(k)＋＋－＋ ＝f(k)＋＋－. 答案：＋－ 16解：命題是：三棱錐ABCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有S＝S△BCMS△BCD.是一個真命題． 證明如下：如下圖，連接DM并延長交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC. 因為AD⊥面ABC， 所以AD⊥AE. 又AM⊥DE， 所以AE2＝EMED. 于是S＝(BCAE)2＝(BCEM)(BCED)＝S△BCMS△BCD. 17證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)實數(shù)， 因為a＋b＝c＋d＝1， 所以a，b，c，d∈[0,1]， 所以ac≤≤，bd≤≤. 所以ac＋bd≤＋＝1， 這與已知ac＋bd＞1相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)． 18分析：可以先寫出f(2)，f(3)，g(2)，g(3)，g(5)，看如何用前4個式子組合表示g(5)，并進(jìn)行歸納猜想． 解：(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝＋＝.又g(5)＝， 因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推測g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 證明：因為f(x)＝，g(x)＝， 所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝， 所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝＋＝＝g(x＋y)． 19分析：可以先由n＝1時，猜想得a的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：當(dāng)n＝1時，＋＋＞，即＞，所以a＜26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋…＋＞. (1)當(dāng)n＝1時，已證；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，不等式成立，即＋＋…＋＞，則當(dāng)n＝k＋1時，有＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋[＋－]． 因為＋＝＞， 所以＋－＞0. 所以當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立． 由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有＋＋…＋＞，所以a的最大值等于25.