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高中數學 第三章 推理與證明 3.4 反證法自我小測 北師大版選修1-2 1．x≠2或y≠3是x＋y≠5的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 2．對命題“如果數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數列{an}一定是等差數列”是否成立判斷正確的選項是(　　)． A．不成立 B．成立 C．不能斷定 D．能斷定 3．命題“三角形中至多只有一個內角是直角”的結論的否定是(　　)． A．有兩個內角是直角 B．有三個內角是直角 C．至少有兩個內角是直角 D．沒有一個內角是直角 4．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是(　　)． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．寫出下列命題結論的否定： (1)若x≥5，則x＜4. (2)復數的代數形式a＋bi(a、b∈R)是唯一的． (3)若x、y都是奇數，則x＋y是偶數． 6．已知|a|＜1，|b|＜1，求證：. 7．設函數f(x)對定義域內的任意實數都有f(x)≠0，且f(x＋y)＝f(x)f(y)成立．求證：對定義域內任意x都有f(x)＞0. 8．如果一個整數n的平方是偶數，那么這個整數n本身也是偶數，試證之． 數列{an}的前n項和Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求{an}的通項公式． (2)數列{an}中是否存在三項，它們按原順序可以構成等差數列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．  參考答案 千里之行始于足下 1．B 2．B　∵a1＝S1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 由于a1也適合上式，∴an＝4n－5(n∈N*)． 3．C　“最多只有一個”即“只有一個或沒有”，它的反面應是“最少有兩個”． 4．C　若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的話都是錯的；同理，可推知乙、丙、丁獲獎的情況，最后可知獲獎的歌手是丙． 5．解：(1)若x≥5，則x≥4. (2)復數的代數形式a＋bi(a，b∈R)不是唯一的． (3)若x、y都是奇數，則x＋y不是偶數． 6．證明：假設，那么|a＋b|≥|1＋ab|.則(a＋b)2≥(1＋ab)2?|a|≤1且|b|≥1或|a|≥1且|b|≤1，均與已知矛盾，故. 7．證明：假設對滿足題設條件的任意x，f(x)＞0不成立，即存在某個x0，有f(x0)≤0， ∵f(x)≠0， ∴f(x0)＜0. 又知. 這與假設f(x0)＜0矛盾，假設不成立． 故對任意的x都有f(x)＞0. 8．證明：假設整數n不是偶數，那么n可寫成n＝2k＋1(k∈Z)， 則n2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1. ∵k∈Z，∴2k2＋2k∈Z， 則2(2k2＋2k)為偶數． 2(2k2＋2k)＋1是奇數，這與已知“n2是偶數”矛盾， ∴原命題為真． 百尺竿頭更進一步 解：(1)a1＝S1＝2a1－3，則a1＝3. 由?an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3?an＋1＋3＝2(an＋3)， ∴{an＋3}為等比數列，首項為a1＋3＝6，公比為2. ∴an＋3＝62n－1，即an＝32n－3. (2)假設數列{an}中存在三項ar，as，at(r＜s＜t)，它們可以構成等差數列，且ar＜as＜at. ∴只能是ar＋at＝2as，即3(2r－1)＋3(2t－1)＝6(2s－1)． ∴2r＋2t＝2s＋1.∴1＋2t－r＝2s＋1－r.(*) ∵r＜s＜t，r，s，t均為正整數，∴(*)式左邊為奇數，右邊為偶數，不可能成立． ∴數列{an}中不存在可以構成等差數列的三項．