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高中數(shù)學 第三章 概率教案 北師大版必修3 教學分析　　　　　 本節(jié)是對第三章知識和方法的歸納與總結(jié)，從總體上把握本章，使學生的基本知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，基本方法條理化，本章共有三部分內(nèi)容，是相互獨立的，隨機事件的概率是基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上學習了古典概型和幾何概型，要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程是逐步深入的，了解概率這門學科在實際中有著廣泛的應用． 三維目標　　　　　 通過總結(jié)和歸納本章的知識，使學生進一步了解隨機事件，了解概率的意義，掌握各種概率的計算公式，能夠用所學知識解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學生分析、探究和思考問題的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓概率更好地為人類服務(wù)． 重點難點　　　　　 概率的意義及求法，頻率與概率的關(guān)系，概率的主要性質(zhì)，古典概型的特征及概率公式的應用，幾何概型意義的理解及會求簡單的幾何概型問題． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.同樣一張書桌有的整潔、有的凌亂，同樣一支球隊，在不同的教練帶領(lǐng)下戰(zhàn)斗力會有很大的不同，例如達拉斯小牛隊在“小將軍”約翰遜的帶領(lǐng)下攻防俱佳所向披靡，為什么呢？因為書桌需要不斷整理，球隊需要系統(tǒng)的訓練、清晰的戰(zhàn)術(shù)、完整的攻防體系．我們學習也是一樣需要不斷歸納整理、系統(tǒng)總結(jié)、升華提高，現(xiàn)在我們就概率這一章進行歸納復習，引出課題． 思路2.為了系統(tǒng)掌握本章的知識，我們復習本章內(nèi)容，教師直接點出課題． 推進新課　　　　　 1．隨機事件的概率包括幾部分？ 2．古典概型包括幾部分？ 3．幾何概型包括幾部分？ 4．本章涉及的主要數(shù)學思想是什么？ 5．畫出本章的知識結(jié)構(gòu)圖． 討論結(jié)果： 1．隨機事件的概率 隨機事件是本章的主要研究對象，基本事件是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件． (1)概率的概念 在大量重復進行的同一試驗中，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某一常數(shù)，且在它的附近擺動，這個常數(shù)就是事件A的概率P(A)，概率是從數(shù)量上反映一個事件． 求某一隨機事件的概率的基本方法是：進行大量重復試驗，用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率． (2)概率的意義與性質(zhì) ①概率是描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量，事件A的概率越大，其發(fā)生的可能性就越大；概率越小，事件A發(fā)生的可能性就越小． ②由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù)，所以頻率在[0,1]之間，從而任何事件的概率在[0,1]之間，即0≤P(A)≤1. 概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)頻率與概率的關(guān)系與區(qū)別 頻率是概率的近似值．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率，頻率本身也是隨機的，兩次同樣的試驗，會得到不同的結(jié)果；而概率是一個確定的數(shù)，與每次試驗無關(guān)． 2．古典概型 (1)古典概型的概念 ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(有限性) ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(等可能性) 我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型(classical models of probability)，簡稱古典概型． (2)古典概型的概率計算公式為P(A)＝. 在使用古典概型的概率公式時，應該注意： ①要判斷該概率模型是不是古典概型； ②要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)． 學習古典概型要通過實例理解古典概型的特點：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性．要學會把一些實際問題化為古典概型，不要把重點放在“如何計數(shù)”上． 3．幾何概型 (1)對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型． 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometric models of probability)，簡稱幾何概型． (2)幾何概型的基本特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． (3)幾何概型的概率公式：P(A)＝. 幾何概型研究的是隨機事件的結(jié)果有無限多個，且事件的發(fā)生只與區(qū)域的長度(面積或體積)成比例的概率問題． (4)隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，可以利用計算器或計算機產(chǎn)生隨機數(shù)來做模擬試驗，估計概率，學習時應盡可能利用計算器、計算機來處理數(shù)據(jù)，進行模擬活動，從而更好地體會概率的意義． 4．本章涉及的主要思想是化歸與轉(zhuǎn)化思想 (1)古典概型要求我們從不同的背景材料中抽象出兩個問題：一是所有基本事件的個數(shù)即總結(jié)果數(shù)n，二是事件A所包含的結(jié)果數(shù)m，最后化歸為公式P(A)＝. (2)幾何概型中，要首先求出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度和構(gòu)成事件的區(qū)域長度，最后化歸為幾何概型的概率公式求解． 5．如圖1. 圖1 思路1 例1 每次拋擲一枚骰子(六個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6)． (1)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率； (2)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)之和為6的概率． 活動：本小題主要考查概率的基本知識，運用數(shù)學知識解決實際問題的能力． 解：(1)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則P(A)＝＝. 拋擲2次，向上的數(shù)不同的概率為. (2)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”．∵向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5種，∴P(B)＝＝.拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為. 例2 甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3個，乙盒子中有黃、黑、白三種顏色的球各2個，從兩個盒子中各取1個球． (1)求取出的兩個球是不同顏色的概率； (2)請設(shè)計一種隨機模擬的方法，來近似計算(1)中取出的兩個球是不同顏色的概率(寫出模擬的步驟)． 活動：學生思考交流，教師引導，各種顏色的球被取到的可能性相同，屬于古典概型，可以利用古典概型的知識解決． 解：(1)設(shè)A為“取出的兩球是相同顏色”，B為“取出的兩球是不同顏色”，則事件A的概率為P(A)＝＝.由于事件A與事件B是對立事件，所以事件B的概率為P(B)＝1－P(A)＝1－＝. (2)隨機模擬的步驟：第1步：利用抓鬮法或計算機(計算器)產(chǎn)生1～3和2～4兩組取整數(shù)值的隨機數(shù)，每組各有N個隨機數(shù)．用“1”表示取到紅球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黃球．第2步：統(tǒng)計兩組對應的N對隨機數(shù)中，每對中的兩個數(shù)字不同的對數(shù)n.第3步：計算的值，則就是取出的兩個球是不同顏色的概率的近似值． 思路2 例1 已知單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點M，求： (1)△AMB面積大于等于的概率； (2)AM的長度不小于1的概率． 解：(1)如圖2，取BC，AD的中點E，F(xiàn)，連接EF，當M在矩形CEFD內(nèi)運動時，△ABM的面積大于等于，由幾何概型知，P＝＝. (2)如圖3，以AB為半徑作圓弧，M在陰影部分時，AM的長度大于等于1, 由幾何概型知，P＝＝1－π12＝1－. 圖2　 　　圖3 例2 如圖4，在墻上掛著一塊邊長為16 cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算(可重投)，問： 圖4 (1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？ (2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？ (3)投中大圓之外的概率是多少？ 解：整個正方形木板的面積，即基本事件所占的區(qū)域總面積為μΩ＝1616＝256(cm2)． 記“投中大圓內(nèi)”為事件A，“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”為事件B，“投中大圓之外”為事件C，則事件A所占區(qū)域面積為μA＝π62＝36π(cm2)；事件B所占區(qū)域面積為μB＝π42－π22＝12π(cm2)；事件C所占區(qū)域面積為μC＝(256－36π) cm2.由幾何概型的概率公式，得(1)P(A)＝＝；(2)P(B)＝＝；(3)P(C)＝＝1－. 點評：對于(3)的求解，也可以直接應用對立事件的性質(zhì)P(A)＝1－P()求解． 1．下列說法正確的是(　　)． A．任何事件的概率總是在(0,1)之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān) C．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率 D．概率是隨機的，在試驗前不能確定 答案：C 2．擲一枚骰子，則擲得奇數(shù)點的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 3．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，B為“三件產(chǎn)品全是次品”，C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是(　　)． A．A與C互斥 B．B與C互斥 C．任何兩個均互斥 D．任何兩個均不互斥 答案：B 4．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8 g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85 g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8 g,4.85 g]范圍內(nèi)的概率是(　　)． A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68 答案：C 5．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 6．甲、乙兩人隨意入住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是(　　)． A. B. C. D．無法確定 答案：C 7．如圖5所示，隨機在圖中撒一把豆子，則它落到陰影部分的概率是(　　)． 圖5 A. B. C. D. 答案：C 8．任意投擲3枚硬幣， (1)寫出所有可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果；(2)寫出恰有一枚硬幣正面朝上的可能的結(jié)果；(3)求出現(xiàn)一正二反的概率． 解：(1)可能的結(jié)果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8種可能．(2)其中恰有一枚硬幣正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3種不同的結(jié)果．(3)概率為. 9．有兩組相同的牌，每組三張，它們的牌面數(shù)字分別是1,2,3，現(xiàn)從每組牌中各摸出一張牌，問： (1)兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？(2)兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的概率是多少？(3)兩張牌的牌面數(shù)字和是奇數(shù)的概率是多少？ 解：(1)和為4的概率最大；(2)兩張牌的牌面數(shù)字和為4的概率為；(3)兩張牌的牌面數(shù)字和是奇數(shù)的概率是. 1．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． (2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”． 當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值， 事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為＝＝. 2．如圖6，在邊長為25 cm的正方形中挖去邊長為23 cm的兩個等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？ 圖6 活動：學生讀題，教師引導提示，因為均勻的粒子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件． 解：設(shè)A為“粒子落在中間帶形區(qū)域”，則依題意得正方形面積為2525＝625(cm2)，兩個等腰直角三角形的面積的和為22323＝529(cm2)，帶形區(qū)域的面積為625－529＝96(cm2)，∴P(A)＝. 同統(tǒng)計一樣，概率也是一門實踐性很強的數(shù)學分支，與日常生活聯(lián)系緊密．現(xiàn)實生活中存在大量的隨機事件，在一次試驗中它的發(fā)生是隨機的，可是借助大量的重復試驗就會發(fā)現(xiàn)它的發(fā)生又具有某種規(guī)律，體現(xiàn)了“隨機性中蘊涵規(guī)律性，偶然性中蘊涵著必然性”的唯物辯證法觀點，概率的意義及求法，頻率與概率的關(guān)系，概率的主要性質(zhì)，古典概型的特征及概率公式的應用，幾何概型意義的理解及會求簡單的幾何概型問題等都是要掌握的重點內(nèi)容，內(nèi)容涉及了今年的高考題，要切實注意，同時由于這部分內(nèi)容與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，要多加練習，達到熟練的目的． 復習題三任選3題． 這章內(nèi)容與其他數(shù)學知識聯(lián)系較少，其解題方法獨特，對同學們的思維能力、分析及解決問題能力要求較高．鉆研課本，理解概念，弄清公式的“來龍去脈”，尤其是公式中字母的內(nèi)涵．在此基礎(chǔ)上，適當?shù)刈鲆恍┚毩?，并及時歸納解題方法，不斷反思及加深自己對數(shù)學知識(概念、公式等)的理解． 備選習題 1．從五件正品一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一件次品的概率是(　　)． A．1 B. C. D. 答案：C 2．一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 3．現(xiàn)有5個球分別記為A，C，J，K，S，隨機放進3個盒子，每個盒子只能放一個球，則K或S在盒中的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 4．對某種產(chǎn)品的5件不同正品和4件不同次品一一進行檢測，直到區(qū)分出所有次品為止．若所有次品恰好經(jīng)過五次檢測被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的檢測方法有(　　)． A．20種 B．96種 C．480種 D．600種 答案：C 5．若連擲兩次骰子，分別得到的點數(shù)是m，n，將m，n作為點P的坐標，則點P落在區(qū)域|x－2|＋|y－2|≤2內(nèi)的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 6．要從10名男生和5名女生中選出6人組成啦啦隊，若按性別依比例分層抽樣且某男生擔任隊長，則不同的抽樣方法數(shù)是(　　)． A．CC B．CC C．AA D．CC 答案：A 7．兩個事件互斥是兩個事件對立的________條件．(　　)． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 答案：B 8．下列事件中，隨機事件的個數(shù)是(　　)． ①如果a，b是實數(shù)，那么b＋a＝a＋b?、谀车?月1日刮西北風　③當x是實數(shù)時，x2≥0　④一個電影院某天的上座率超過50% A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 9．從甲、乙、丙、丁4人中選3人當代表，則甲被選中的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 10．一箱內(nèi)有10張標有0到9的卡片，從中任選一張，則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：C 11．盒中有10個大小、形狀完全相同的小球，其中8個白球、2個紅球，則從中任取2球，至少有1個白球的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：A 12．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是30%，兩人下成和棋的概率為50%，則甲不輸?shù)母怕适?　　)． A．30% B．20% C．80% D．以上都不對 答案：C 13．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 14．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m，n作為點P的坐標，則點P落在圓x2＋y2＝25外的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：B 15．從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，不放回地任取兩數(shù)，兩數(shù)都是偶數(shù)的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案：D 16．同時擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是(　　)． A．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B．最多1枚正面和恰有2枚正面 C．至多1枚正面和至少有2枚正面 D．至少有2枚正面和恰有1枚正面 答案：C 17．某人向圖7的靶子上射箭，假設(shè)能中靶，且箭頭落在任何位置都是等可能的，最容易射中陰影區(qū)的是(　　)． 圖7 答案：B 18．袋子中有紅、黃、白3種顏色的球各1個，從中每次任取1個，有放回地抽取3次．求： (1)3個全是紅球的概率；(2)3個顏色全相同的概率；(3)3個顏色不全相同的概率；(4)3個顏色全不相同的概率． 解：(1)3個全是紅球的概率為；(2)3個顏色全相同的概率為＝； (3)“3個顏色不全相同”的概率為1－＝；(4)“3個顏色全不相同”的概率為. 19．小張去南京出差，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，求： (1)他乘火車或乘飛機去的概率；(2)他不乘輪船去的概率；(3)如果他去的概率為0.5，請問他有可能乘哪種交通工具去？ 答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火車或輪船去，也可能乘汽車或飛機去．