高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2_3_2 雙曲線的簡單幾何性質 第2課時 直線與雙曲線的位置關系高效測評 新人教A版選修2-1
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第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質 第2課時 直線與雙曲線的位置關系高效測評 新人教A版選修2-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．過雙曲線x2－y2＝4的焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，則AB的長為( ) A．8 B．4 C．4 D．2 解析： 雙曲線x2－y2＝4的焦點為(2，0)，把x＝2代入并解得y＝2，∴|AB|＝2－(－2)＝4. 答案： C 2．已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數為( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析： 數形結合知，過點P(1,0)有一條直線l與雙曲線相切，有兩條直線與漸近線平行，這三條直線與雙曲線各只有一個公共點． 答案： B 3．雙曲線－＝1中的被點P(2,1)平分的弦所在的直線方程是( ) A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25 C．4x＋9y＝6 D．不存在 解析： 點P(2,1)為弦的中點，由雙曲線的對稱性知，直線的斜率存在，設直線方程為y－1＝k(x－2)， 將y＝k(x－2)＋1代入雙曲線方程得 (4－9k2)x2－9(2k－4k2)x＋36k－45＝0 4－9k2≠0 Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)(36k－45)>0 x1＋x2＝＝4 解得k＝代入Δ得Δ<0， 故不存在直線滿足條件． 答案： D 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析： 根據雙曲線的性質，過右焦點F且傾斜角為60的直線與雙曲線只有一個交點，說明其漸近線的斜率的絕對值大于或等于tan 60＝，即≥，則 ＝≥，故有e2≥4，e≥2.故選C. 答案： C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．過雙曲線x2－＝1的左焦點F1，作傾斜角為的直線AB，其中A，B分別為直線與雙曲線的交點，則|AB|的長為__________． 解析： 雙曲線的左焦點為F1(－2,0)， 將直線AB方程：y＝(x＋2)代入雙曲線方程 得8x2－4x－13＝0. 顯然Δ＞0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝ ＝＝3. 答案： 3 6．如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是________． 解析： 設焦點為F(c,0)．雙曲線的實半軸長為a，則雙曲線的離心率e1＝，橢圓的離心率e2＝，所以＝2. 答案： 2 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．在雙曲線－＝1上求一點，使它到直線l：x－y－3＝0的距離最短，并求此最短距離． 解析： 與直線l：y＝x－3平行的雙曲線的切線方程可設為y＝x＋m. 則∴－＝1， 整理可得16x2＋50mx＋25m2＋259＝0 Δ＝(50m)2－416(25m2＋259)＝0 解得m2＝16，∴m＝4，本題m應取－4. 將切線方程l′：y＝x－4代入雙曲線方程整理得 16x2－200x＋625＝0， 解得x＝.因而y＝x－4＝. 故得切點為. 由于直線y＝x－3與切線y＝x－4的距離為. 故雙曲線到直線的最短距離為. 8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，且＝. (1)求雙曲線C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 解析： (1)由題意得，解得 所以b2＝c2－a2＝2. 所以雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線段AB的中點為M(x0，y0)． 由， 得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ＞0)． 所以x0＝＝m， y0＝x0＋m＝2m. 因為點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上， 所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝1. 9．(10分)已知中心在坐標原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)． (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且>2(其中O為原點)，求k的取值范圍． 解析： (1)設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 由已知得a＝，c＝2，∴b＝1. 故所求雙曲線方程為－y2＝1. (2)將y＝kx＋代入－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，則直線l與雙曲線交于不同的兩點得 ， 故k2≠且k2<1. ① 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 由>2，得x1x2＋y1y2>2， 而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝(k2＋1)＋k＋2 ＝， 于是>2，解此不等式得
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