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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評6 橢圓及其標準方程 新人教A版選修1-1
(建議用時：45分鐘)
[學業(yè)達標]
一、選擇題
1．橢圓＋＝1的焦點坐標是( )
A．(4,0) B．(0，4)
C．(3,0) D．(0，3)
【解析】 根據(jù)橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在y軸上，所以對應的焦點坐標為(0，3)，故選D.
【答案】 D
2．如果方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<－2
C．a(chǎn)>3或a<－2 D．a(chǎn)>3或－6
a＋6>0，得
所以所以a>3或－6b>0)，且可知左焦點為F′(－2,0)．
從而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故橢圓C的標準方程為＋＝1.
法二：依題意，可設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
則解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，從而a2＝16，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
【答案】?。?
8．橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________．
【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.
在△PF1F2中，
cos ∠F1PF2＝＝－.
∴∠F1PF2＝120.
【答案】 2 120
三、解答題
9．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)橢圓上一點P(3,2)到兩焦點的距離之和為8；
(2)橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9或15.
【解】 (1)①若焦點在x軸上，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
由題意知2a＝8，∴a＝4，
又點P(3,2)在橢圓上，
∴＋＝1，得b2＝.
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
②若焦點在y軸上，設橢圓標準方程為
＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
又點P(3,2)在橢圓上，
∴＋＝1，得b2＝12.
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
由①②知橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.
(2)由題意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，
∴a＝12，c＝8，b2＝80.
又焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，
∴所求方程為＋＝1或＋＝1.
10．已知B，C是兩個定點，|BC|＝8，且△ABC的周長為18，求這個三角形頂點A的軌跡方程．
【解】 以過B，C兩點的直線為x軸，線段BC的中點為原點，建立平面直角坐標系．
由|BC|＝8，可知點B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩個焦點的距離之和為2a＝10，即a＝5，且點A不能在x軸上．
由a＝5，c＝4，得b2＝9.
所以點A的軌跡方程為＋＝1(y≠0)．
[能力提升]
1．已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且|F1F2|＝2，若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|，則橢圓C的標準方程為( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【解析】 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故橢圓C的標準方程是＋＝1或＋＝1.
故選B.
【答案】 B
2．(2016銀川高二檢測)已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 設A為橢圓的左焦點，而BC邊過右焦點F，如圖．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，兩式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而橢圓標準方程為＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故選C.
【答案】 C
3．(2016蘇州高二檢測)P為橢圓＋＝1上一點，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若∠F1PF2＝60，則△PF1F2的面積為________．
【解析】 設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由橢圓定義，得r1＋r2＝20.①
由余弦定理，得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos 60，
即r＋r－r1r2＝144，②
由①2－②，得3r1r2＝256，
∴S△PF1F2＝r1r2sin 60＝＝.
【答案】
4．(2016南京高二檢測)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的兩焦點，B為橢圓上的點且坐標為(0，－1)．
(1)若P是該橢圓上的一個動點，求||||的最大值；
(2)若C為橢圓上異于B的一點，且＝λ，求λ的值；
(3)設P是該橢圓上的一個動點，求△PBF1的周長的最大值.
【導學號：26160033】
【解】 (1)因為橢圓的方程為＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即|F1F2|＝2，
又因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1||PF2|≤2＝2＝4，
當且僅當|PF1|＝|PF2|＝2時取“＝”，
所以|PF1||PF2|的最大值為4，即||||的最大值為4.
(2)設C(x0，y0)，B(0，－1)，F(xiàn)1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.
又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，又與方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.
(3)因為|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周長≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以當P點位于直線BF2與橢圓的交點處時，△PBF1的周長最大，最大值為8.
高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評6 橢圓及其標準方程 新人教A版選修1-1
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