高中數(shù)學 2_5 離散型隨機變量的均值與方差同步練習 蘇教版選修2-31
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離散型隨機變量 1. 人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字,因而他隨意地撥號,假設撥過了的號碼不再重復,試求下列事件的概率: (1)第次撥號才接通電話; (2)撥號不超過次而接通電話. 解:設{第次撥號接通電話}, (1)第次才接通電話可表示為于是所求概率為 (2)撥號不超過次而接通電話可表示為:于是所求概率為 2. 出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗,假設他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨立的,并且概率都是 (1)求這位司機遇到紅燈前,已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率; (2)求這位司機在途中遇到紅燈數(shù)ξ的期望和方差。 解:(1)因為這位司機第一、二個交通崗未遇到紅燈,在第三個交通崗遇到紅燈, 所以 (2)易知 ∴ 3. 獎器有個小球,其中個小球上標有數(shù)字,個小球上標有數(shù)字,現(xiàn)搖出個小球,規(guī)定所得獎金(元)為這個小球上記號之和,求此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望 解:設此次搖獎的獎金數(shù)額為元, 當搖出的個小球均標有數(shù)字時,; 當搖出的個小球中有個標有數(shù)字,1個標有數(shù)字時,; 當搖出的個小球有個標有數(shù)字,個標有數(shù)字時,。 所以, 答:此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)字期望是元 4.某學生語、數(shù)、英三科考試成績,在一次考試中排名全班第一的概率:語文為, 數(shù)學為,英語為,問一次考試中 (Ⅰ)三科成績均未獲得第一名的概率是多少? (Ⅱ)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少 解:分別記該生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為, 則 (Ⅰ) 答:三科成績均未獲得第一名的概率是 (Ⅱ)() 答:恰有一科成績未獲得第一名的概率是 5.如圖,兩點之間有條網(wǎng)線并聯(lián),它們能通過的最大信息量分別為.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量. (I)設選取的三條網(wǎng)線由到可通過的信息總量為,當時,則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率; (II)求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學期望. 解:(I) (II) ∴線路通過信息量的數(shù)學期望 答:(I)線路信息暢通的概率是. (II)線路通過信息量的數(shù)學期望是 6.三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路. (Ⅰ)在如圖的電路中,電路不發(fā)生故障的概率是多少? (Ⅱ)三個元件連成怎樣的電路,才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大?請畫出此時電路圖,并說明理由. 解:記“三個元件正常工作”分別為事件,則 (Ⅰ)不發(fā)生故障的事件為. ∴不發(fā)生故障的概率為 (Ⅱ)如圖,此時不發(fā)生故障的概率最大.證明如下: 圖1中發(fā)生故障事件為 ∴不發(fā)生故障概率為 圖2不發(fā)生故障事件為,同理不發(fā)生故障概率為 7.要制造一種機器零件,甲機床廢品率為,而乙機床廢品率為,而它們 的生產(chǎn)是獨立的,從它們制造的產(chǎn)品中,分別任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件廢品的概率;(2)其中至多有一件廢品的概率. 解:設事件“從甲機床抽得的一件是廢品”;“從乙機床抽得的一件是廢品”. 則 (1)至少有一件廢品的概率 (2)至多有一件廢品的概率 8.甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題,已知該題被甲獨立解出的概率為,被甲或乙解出的概率為,(1)求該題被乙獨立解出的概率;(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差 解:(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為. 設甲獨立解出此題的概率為,乙為. 則 9.某保險公司新開設了一項保險業(yè)務,若在一年內(nèi)事件發(fā)生,該公司要賠償元.設在一年內(nèi)發(fā)生的概率為,為使公司收益的期望值等于的百分之十,公司應要求顧客交多少保險金? 解:設保險公司要求顧客交元保險金,若以 表示公司每年的收益額,則是一個隨機變量,其分布列為: 因此,公司每年收益的期望值為. 為使公司收益的期望值等于的百分之十,只需,即, 故可得. 即顧客交的保險金為 時,可使公司期望獲益. 10.有一批食品出廠前要進行五項指標檢驗,如果有兩項指標不合格,則這批食品不能出廠.已知每項指標抽檢是相互獨立的,且每項抽檢出現(xiàn)不合格的概率都是. (1)求這批產(chǎn)品不能出廠的概率(保留三位有效數(shù)字); (2)求直至五項指標全部驗完畢,才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數(shù)字). 解:(1)這批食品不能出廠的概率是: . (2)五項指標全部檢驗完畢,這批食品可以出廠的概率是: 五項指標全部檢驗完畢,這批食品不能出廠的概率是: 由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知,五項指標全部檢驗完畢,才能確定這批產(chǎn)品是否出廠的概率是:. 11.高三(1)班、高三(2)班每班已選出3名學生組成代表隊,進行乒乓球對抗賽. 比賽規(guī)則是:①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽; ②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽,不得參加兩盤單打比賽. 已知每盤比賽雙方勝出的概率均為 (Ⅰ)根據(jù)比賽規(guī)則,高三(1)班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容? (Ⅱ)高三(1)班代表隊連勝兩盤的概率是多少? 解:(I)參加單打的隊員有種方法. 參加雙打的隊員有種方法. 所以,高三(1)班出場陣容共有(種) (II)高三(1)班代表隊連勝兩盤,可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負,其余兩盤勝, 所以,連勝兩盤的概率為 12.袋中有大小相同的個白球和個黑球,從中任意摸出個,求下列事件發(fā)生的概率. (1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球. 解: (Ⅰ)設摸出的個球中有個白球、個白球分別為事件,則 ∵為兩個互斥事件 ∴ 即摸出的個球中有個或個白球的概率為 (Ⅱ)設摸出的個球中全是白球為事件,則 至少摸出一個黑球為事件的對立事件 其概率為 練習: 1. 拋擲顆骰子,所得點數(shù)之和記為,那么表示的隨機試驗結果為____________。 2. 設某項試驗的成功概率是失敗概率的倍,用隨機變量描述次試驗的成功次數(shù), 則_______________。 3.若的分布列為: x 0 1 P p q 其中,則____________________,____________________,- 配套講稿:
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