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2.3 圓周運動的案例分析
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
知 識 脈 絡(luò)
1.通過向心力的實例分析，體會向心力的來源，并能結(jié)合具體情況求出相關(guān)的物理量．(重點)
2．在豎直面內(nèi)的變速圓周運動中，能用向心力和向心加速度的公式求最高點和最低點的向心力和向心加速度．(重點、難點)
3．通過對實例的分析，體會圓周運動規(guī)律在實際問題中的應(yīng)用．(難點)
過 山 車 圓 周 運 動 分 析
1．向心力
如圖231所示，過山車到達(dá)軌道頂部A時，人與車作為一個整體，所受到的向心力是重力與軌道對車的彈力的合力，即F向＝mg＋N.
圖231
2．臨界速度
當(dāng)N＝0時，過山車通過圓形軌道頂部時的速度，稱為臨界速度，v臨界＝.
(1)當(dāng)v＝v臨界時，重力恰好等于過山車做圓周運動的向心力，過山車不會脫離軌道．
(2)當(dāng)v
v臨界時，重力和軌道對車的彈力的合力提供向心力，過山車不會脫離軌道．
1．過山車在最高點時人只受重力作用．()
2．過山車在最低點時，因合力向上故人受支持力大于重力．(√)
3．要讓過山車安全通過最高點，速度應(yīng)大于臨界速度．(√)
過山車和乘客在軌道上的運動是圓周運動(如圖232甲、乙所示)．那么
甲 乙
圖232
過山車駛至軌道的頂部，車與乘客都在軌道的下方，為什么不會掉下來？
【提示】 過山車駛至軌道的頂部時，車所受的軌道的壓力和所受的重力的合力提供車做圓周運動的向心力，只改變速度方向，而不使物體做自由落體運動．
過山車的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過軌道最高點時的速度為v.
探討1：過山車能通過軌道最高點的臨界速度是多少？
【提示】 臨界條件為mg＝，故臨界速度v＝.
探討2：當(dāng)過山車通過軌道最高點的速度大于臨界速度時，過山車對軌道的壓力怎樣計算？
【提示】 根據(jù)FN＋mg＝，可得FN＝－mg.
1．過山車問題分析：設(shè)過山車與坐在上面的人的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過頂部時的速度為v，以人和車作為一個整體，在頂部時所受向心力是由重力和軌道對車的彈力的合力提供的。由牛頓第二定律得mg＋N＝m.人和車要不從頂部掉下來，必須滿足的條件是：N≥0.
當(dāng)N＝0時，過山車通過圓形軌道頂部的速度為臨界速度，此時重力恰好提供過山車做圓周運動的向心力，即mg＝m，臨界速度為v臨界＝，過山車能通過最高點的條件是v≥.
2．輕繩模型
如圖233所示，輕繩系的小球或在軌道內(nèi)側(cè)運動的小球，在最高點時的臨界狀態(tài)為只受重力，由mg＝m，得v＝.
圖233
在最高點時：
(1)v＝時，拉力或壓力為零．
(2)v>時，物體受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大．
(3)v<時，物體不能達(dá)到最高點．(實際上球未到最高點就脫離了軌道)
即繩類模型中小球在最高點的臨界速度為v臨＝.
3．輕桿模型
如圖234所示，在細(xì)輕桿上固定的小球或在管形軌道內(nèi)運動的小球，由于桿和管能對小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運動的條件是在最高點的速度大于或等于零，小球的受力情況為：
圖234
(1)v＝0時， 小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0時，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大．
即桿類模型中小球在最高點的臨界速度為v臨＝0.
1．(多選)如圖235所示，汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時，關(guān)于汽車受力的說法中正確的是( )【導(dǎo)學(xué)號：02690020】
圖235
A．汽車的向心力就是它所受的重力
B．汽車的向心力是它所受的重力與支持力的合力，方向指向圓心
C．汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力和向心力的作用
D．汽車受到的支持力比重力小
【解析】 汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時，汽車受重力、支持力、牽引力和摩擦力，重力與支持力的合力提供向心力，方向指向圓心，A、C錯誤，B正確；汽車受到的支持力比重力小，D正確．
【答案】 BD
2．長為L的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點，當(dāng)繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，并且剛好能過最高點，則下列說法中正確的是( )
A．球過最高點時，速度為零
B．球過最高點時，繩的拉力為mg
C．開始運動時，繩的拉力為m
D．球過最高點時，速度大小為
【解析】 開始運動時，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F(xiàn)＝m＋mg，可見C不正確；小球剛好過最高點時，繩拉力為0，mg＝m，v＝，A、B不正確．故選D.
【答案】 D
3．用長L＝0.6 m的繩系著裝有m＝0.5 kg水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，成為“水流星”．(g＝10 m/s2)求：
圖236
(1)在最高點水不流出的最小速度為多少？
(2)若過最高點時速度為3 m/s，此時水對桶底的壓力為多大？
【解析】 (1)水做圓周運動，在最高點水不流出的條件是：水的重力不大于水所需要的向心力．這時的最小速度即為過最高點的臨界速度v0.
以水為研究對象mg＝m
解得v0＝＝ m/s≈2.45 m/s.
(2)由前面v0的解答知v＝3 m/s＞v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底對水向下的壓力補充，此時所需向心力由以上兩力的合力提供．v＝3 m/s＞v0，水不會流出．設(shè)桶底對水的壓力為F，則由牛頓第二定律有：
mg＋F＝m
解得F＝m－mg＝0.5(－10)N＝2.5 N.
根據(jù)牛頓第三定律知F′＝F
所以水對桶底的壓力為2.5 N.
【答案】 (1)2.45 m/s (2)2.5 N
轉(zhuǎn) 彎 問 題 分 析
1．自行車在水平路面轉(zhuǎn)彎，地面對車的作用力與重力的合力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
2．汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎，所受靜摩擦力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
3．火車轉(zhuǎn)彎時外軌高于內(nèi)軌，如圖237所示，向心力由支持力和重力的合力提供，F(xiàn)向＝mgtan θ.
圖237
1．火車轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)軌、外軌在同一水平面上最安全．()
2．火車轉(zhuǎn)彎時，靠外軌對火車的彈力提供向心力．()
3．在轉(zhuǎn)彎半徑一定的情況下，汽車速度越大，需要的向心力越大．(√)
1．除了火車彎道具有內(nèi)低外高的特點外，你還了解哪些道路具有這樣的特點？
【提示】 有些道路具有外高內(nèi)低的特點是為了增加車輛做圓周運動的向心力，進(jìn)而提高了車輛的運動速度，因此一些賽車項目的賽道的彎道要做得外高內(nèi)低，比如汽車、摩托車、自行車賽道的彎道，高速公路的拐彎處等．
2．火車經(jīng)過彎道時，若彎道處軌道外高內(nèi)低，火車對軌道一定沒有側(cè)向壓力嗎？
【提示】 不一定．只有火車以規(guī)定的速度經(jīng)過彎道時，才對軌道無側(cè)向壓力．
火車在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以看成是勻速圓周運動，如圖238所示，請思考下列問題：
重力G與支持力FN的合力F是使火車轉(zhuǎn)變的向心力
圖238
探討1：火車轉(zhuǎn)彎處的鐵軌有什么特點？
【提示】 火車轉(zhuǎn)彎處，外軌高于內(nèi)軌．
探討2：火車轉(zhuǎn)彎時速度過大或過小，會對哪側(cè)軌道有側(cè)壓力？
【提示】 火車轉(zhuǎn)彎時速度過大會對軌道外側(cè)有壓力，速度過小會對軌道內(nèi)側(cè)有壓力．
1．軌道分析
火車在轉(zhuǎn)彎過程中，運動軌跡是一圓弧，由于火車轉(zhuǎn)彎過程中重心高度不變，故火車軌跡所在的平面是水平面，而不是斜面．火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心．
2．向心力的來源分析(如圖239所示)
圖239
火車速度合適時，火車受重力和支持力作用，火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．規(guī)定速度分析
若火車轉(zhuǎn)彎時只受重力和支持力作用，不受軌道壓力．則mgtan θ＝m，可得v0＝.(R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度)．
4．軌道壓力分析
4．賽車在傾斜的軌道上轉(zhuǎn)彎如圖2310所示，彎道的傾角為θ，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉(zhuǎn)彎的速率是(設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑水平)( )
圖2310
A. B.
C. D.
【解析】 設(shè)賽車的質(zhì)量為m，賽車受力分析如圖所示，可見：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.
【答案】 C
5．火車在某個彎道按規(guī)定運行速度40 m/s轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌對車輪皆無側(cè)壓力，若火車在該彎道實際運行速度為30 m/s，則下列說法中正確的是 ( )
【導(dǎo)學(xué)號：02690021】
A．僅內(nèi)軌對車輪有側(cè)壓力
B．僅外軌對車輪有側(cè)壓力
C．內(nèi)、外軌對車輪都有側(cè)壓力
D．內(nèi)、外軌對車輪均無側(cè)壓力
【解析】 火車在彎道按規(guī)定運行速度轉(zhuǎn)彎時，重力和支持力的合力提供向心力，內(nèi)、外軌對車輪皆無側(cè)壓力。若火車的運行速度小于規(guī)定運行速度時，重力和支持力的合力大于火車需要的向心力，火車將做近心運動，內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生側(cè)壓力，重力、支持力和內(nèi)軌的側(cè)壓力的合力提供火車做圓周運動的向心力，故A正確．
【答案】 A
6．某游樂場里的賽車場為圓形，半徑為100 m，一賽車和乘客的總質(zhì)量為100 kg，車輪與地面間的最大靜摩擦力為600 N．(g取10 m/s2)
(1)若賽車的速度達(dá)到72 km/h，這輛車在運動過程中會不會發(fā)生側(cè)移？
(2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，且傾角為30，并假設(shè)車輪和地面之間的最大靜摩擦力不變，為保證賽車的行駛安全，賽車最大行駛速度應(yīng)為多大？
【解析】 (1)賽車在場地上做圓周運動的向心力由靜摩擦力提供，如圖甲所示．賽車做圓周運動所需的向心力為F＝＝400 N＜600 N，所以賽車在運動過程中不會發(fā)生側(cè)移．
甲 乙
(2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，則賽車做勻速圓周運動的向心力由重力mg、支持力N和靜摩擦力的合力來提供，如圖乙所示為賽車做圓周運動的后視圖(賽車正垂直紙面向里運動)．賽車以最大速度行駛時，地面對賽車的摩擦力為最大靜摩擦力．由牛頓第二定律得
水平方向：Nsin θ＋fmaxcos θ＝m
豎直方向：Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0
代入數(shù)據(jù)解得vmax＝≈35.6 m/s.
【答案】 (1)不會 (2)35.6 m/s
火車轉(zhuǎn)彎問題的兩點注意
(1)合外力的方向：火車轉(zhuǎn)彎時，火車所受合外力沿水平方向指向圓心，而不是沿軌道斜面向下．因為，火車轉(zhuǎn)彎的圓周平面是水平面，不是斜面，所以火車的向心力即合外力應(yīng)沿水平面指向圓心．
(2)規(guī)定速度的唯一性：火車軌道轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速率一旦確定則是唯一的，火車只有按規(guī)定的速率轉(zhuǎn)彎，內(nèi)外軌才不受火車的擠壓作用．速率過大時，由重力、支持力及外軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力；速率過小時，由重力、支持力及內(nèi)軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力．
高中物理 第2章 研究圓周運動 2_3 圓周運動的案例分析教師用書 滬科版必修2
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