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1．集合與常用邏輯用語
1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關集合的問題時，尤其要注意元素的互異性．
[問題1] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實數(shù)a＝________.
答案 0
2．描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函數(shù)的定義域；{y|y＝f(x)}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函數(shù)圖象上的點集．
[問題2] 已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，則M∩N等于( )
A．(0,1)，(1,2)
B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1，或y＝2}
D．{y|y≥1}
答案 D
3．在解決集合間的關系和集合的運算時，不能忽略空集的情況．
[問題3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”．
[問題7] (2015浙江)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0
答案 D
8．求參數(shù)范圍時，要根據(jù)條件進行等價轉(zhuǎn)化，注意范圍的臨界值能否取到，也可與補集思想聯(lián)合使用．
[問題8] 已知命題p：?x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (，＋∞)
解析 因為命題p是假命題，所以綈p為真命題，即?x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．當a＝0時，x>－，不滿足題意；當a≠0時，要使不等式恒成立，則有
即解得所以a>，
即實數(shù)a的取值范圍是(，＋∞)．
易錯點1 忽視空集
例1 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B?A，求實數(shù)p的取值范圍．
易錯分析 忽略了“空集是任何集合的子集”這一結(jié)論，即B＝?時，符合題設．
解決有關A∩B＝?，A∪B＝?，A?B等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解．
解 集合A＝{x|－2≤x≤5}，
①當B≠?時，即p＋1≤2p－1?p≥2.
由B?A得－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3，∴2≤p≤3.
②當B＝?時，即p＋1>2p－1?p<2.
由①②得p≤3.
易錯點2 忽視區(qū)間端點的取舍
例2 記f(x)＝ 的定義域為A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定義域為B.若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．
易錯分析 在求解含參數(shù)的集合間的包含關系時，忽視對區(qū)間端點的檢驗，導致參數(shù)范圍擴大或縮小．
解 ∵2－≥0，∴≥0.
∴x＜－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0.
∵a＜1，∴a＋1＞2a，∴B＝(2a，a＋1)．
∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2，而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.
故當B?A時，實數(shù)a的取值范圍是
(－∞，－2]∪[，1)．
易錯點3 混淆充分條件和必要條件
例3 已知a，b∈R，下列四個條件中，使a>b成立的必要而不充分的條件是( )
A．a(chǎn)>b－1 B．a(chǎn)>b＋1
C．|a|>|b| D．2a>2b
易錯分析 在本題中，選項是條件，而“a>b”是結(jié)論．在本題的求解中，常誤認為由選項推出“a>b”，而由“a>b”推不出選項是必要不充分條件．
解析 由a>b可得a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分條件；由a>b＋1可得a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要條件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要條件；a>b是2a>2b成立的充分必要條件．
答案 A
易錯點4 對命題否定不當
例4 已知M是不等式≤0的解集且5?M，則a的取值范圍是________________．
易錯分析 題中5?M并不能轉(zhuǎn)化為>0，題意中還有分式無意義的情形，本題可從集合的角度用補集思想來解．
解析 方法一 ∵5?M，原不等式不成立，
∴>0或5a－25＝0，
∴a<－2或a>5或a＝5，故a≥5或a<－2.
方法二 若5∈M，則≤0，
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5，
∴5?M時，a<－2或a≥5.
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
答案 B
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，∴m∈A，顯然m≠1.
當m＝3時，符合題意．
由m＝可得m＝0或m＝1，又m≠1，∴m＝0，
綜上，m＝0或3.
2．設全集U＝R，A＝{x|＜0}，B＝{x|2x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}
答案 B
解析 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，由題圖可知陰影部分表示的集合為(?UB)∩A＝{x|1≤x＜2}．
3．設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，則M∪N等于( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 由題意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，
故M∪N＝[0,1]，故選A.
4．已知集合A＝{x∈R|≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．{1}∪[2，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 由≤0，得A＝{x∈R|－1＜x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}＝{x∈R|2a＜x＜a2＋1}．若B≠?，則在數(shù)軸上可以看出2a≥4，所以a≥2；若B＝?，只能a＝1，綜上選C.
5．已知命題p：|2x－3|>0，命題q：x2－3x<0，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 不等式|2x－3|>0?0<|2x－3|<1?－1<2x－3<0或0<2x－3<1?10的解集為A＝(1，)∪(，2)．
而不等式x2－3x<0的解集為B＝(0,3)，
因此，AB.
從而可知p是q的充分不必要條件，故選A.
6．已知p：關于x的函數(shù)y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函數(shù)，q：y＝(2a－1)x為減函數(shù)，若p且q為真命題，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤ B．00，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍為__________．
答案 [1，＋∞)
解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，
“綈p是綈q的充分不必要條件”等價于“q是p的充分不必要條件”，故a≥1.
9．設集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)是________．
答案 10
解析 因為A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．因為x∈A∩B，所以x可取0,1；因為y∈A∪B，所以y可?。?,0,1,2,3.則(x，y)的可能取值如下表所示：
y
x
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
故A*B中的元素共有10個．
10．給出下列命題：
①命題：“存在x0>0，使sin x0≤x0”的否定是：“對任意x>0，sin x>x”；
②函數(shù)f(x)＝sin x＋ (x∈(0，π))的最小值是2；
③在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則△ABC是等腰或直角三角形；
④若直線m∥直線n，直線m∥平面α，那么直線n∥平面α.
其中正確的命題是________．
答案?、佗?
解析 易知①正確；②中函數(shù)f(x)＝sin x＋ (x∈(0，π))，令t＝sin x，則g(t)＝t＋，t∈(0,1]為減函數(shù)，所以g(t)min＝g(1)＝3，故②錯誤；③中由sin 2A＝sin 2B，可知2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故③正確；④中直線n也可能在平面α內(nèi)，故④錯誤．
高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第四篇 回歸教材1 集合與常用邏輯用語練習 文
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