《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析6 解析幾何練習(xí) 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析6 解析幾何練習(xí) 理(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
6.解析幾何
1.直線的傾斜角與斜率
(1)傾斜角的范圍為[0,π).
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k,即k=tan α(α≠90);傾斜角為90的直線沒(méi)有斜率;②斜率公式:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率為k=(x1≠x2);③直線的方向向量a=(1,k);④應(yīng)用:證明三點(diǎn)共線:kAB=kBC.
[問(wèn)題1] (1)直線的傾斜角θ越大,斜率k就越大,這種說(shuō)法正確嗎?
(2)直線xcos θ+y-2=0的傾斜角的范圍是____________________.
答案 (1)錯(cuò) (2)[0,]∪[,π)
2.直線方程的五種形式
(1)點(diǎn)斜式:已知直線過(guò)點(diǎn)(x0,y0),其斜率為k,則直線方程為y-y0=k(x-x0),它不包括垂直于x軸的直線.
(2)斜截式:已知直線在y軸上的截距為b,斜率為k,則直線方程為y=kx+b,它不包括垂直于x軸的直線.
(3)兩點(diǎn)式:已知直線經(jīng)過(guò)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),則直線方程為=,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.
(4)截距式:已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為+=1,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線.
(5)一般式:任何直線均可寫(xiě)成Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的形式.
[問(wèn)題2] 已知直線過(guò)點(diǎn)P(1,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則此直線的方程為_(kāi)__________.
答案 5x-y=0或x+y-6=0
3.兩條直線的位置關(guān)系
(1)若已知直線的斜截式方程,l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則:
①l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;②l1⊥l2?k1k2=-1;③l1與l2相交?k1≠k2.
(2)若已知直線的一般方程l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0,則:
①l1∥l2平行?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;
②l1⊥l2?A1A2+B1B2=0;
③l1與l2相交?A1B2-A2B1≠0;
④l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0.
[問(wèn)題3] 設(shè)直線l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0,當(dāng)m=________時(shí),l1∥l2;當(dāng)m=________時(shí),l1⊥l2;當(dāng)________時(shí)l1與l2相交;當(dāng)m=________時(shí),l1與l2重合.
答案?。? m≠3且m≠-1 3
4.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離
(1)點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為d=;
(2)兩平行線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離為d=.
[問(wèn)題4] 兩平行直線3x+2y-5=0與6x+4y+5=0間的距離為_(kāi)_______.
答案
5.圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),只有當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圓心為(-,-),半徑為的圓.
[問(wèn)題5] 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a=________.
答案?。?
6.直線與圓的位置關(guān)系的判斷
(1)幾何法:根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定.
(2)代數(shù)法:將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程,根據(jù)Δ的符號(hào)來(lái)判斷.
[問(wèn)題6] 已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),直線3x+4y+2=0與圓C相切,則該圓的方程為( )
A.(x-1)2+y2= B.x2+(y-1)2=
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1
答案 C
解析 因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),所以a=1,b=0,又直線3x+4y+2=0與圓C相切,得r==1,所以該圓的方程為(x-1)2+y2=1.
7.圓錐曲線的定義和性質(zhì)
名稱
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
|PF1|+|PF2|=2a
(2a>|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M
標(biāo)準(zhǔn)方程
+=1(a>b>0)
-=1(a>0,b>0)
y2=2px(p>0)
圖形
范圍
|x|≤a,|y|≤b
|x|≥a
x≥0
頂點(diǎn)
(a,0),(0,b)
(a,0)
(0,0)
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于x軸對(duì)稱
焦點(diǎn)
(c,0)
(,0)
軸
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b
實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b
離心率
e== (0
1)
e=1
準(zhǔn)線
x=-
通徑
|AB|=
|AB|=2p
漸近線
y=x
[問(wèn)題7] 拋物線y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為拋物線上一點(diǎn),且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線方程為( )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
答案 B
解析 依題意,設(shè)M(x,y),|OF|=,所以|MF|=2p,x+=2p,x=,y=p,又△MFO的面積為4,所以p=4,p=4,
所以拋物線方程為y2=8x.
8.(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí),消元后得到的方程中要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零,利用解的情況可判斷位置關(guān)系:有兩解時(shí)相交;無(wú)解時(shí)相離;有唯一解時(shí),在橢圓中相切,在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系,在拋物線中需注意直線與對(duì)稱軸的關(guān)系,而后判斷是否相切.
(2)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題
斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)
|P1P2|=或|P1P2|=.
(3)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于C(x1,y1),D(x2,y2),則①焦半徑|CF|=x1+;
②弦長(zhǎng)|CD|=x1+x2+p;③x1x2=,y1y2=-p2.
[問(wèn)題8] 已知拋物線的方程為y2=2px(p>0),過(guò)拋物線上一點(diǎn)M(p,p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N,則|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶ B.1∶
C.1∶2 D.1∶3
答案 C
解析 由題意可知直線l的方程為y=2(x-),
聯(lián)立方程得N(,-p),
所以|NF|=+=p,|FM|=p+=p,
所以|NF|∶|FM|=1∶2.
易錯(cuò)點(diǎn)1 直線的傾斜角和斜率關(guān)系不清
例1 直線xsin α+y+2=0的傾斜角的取值范圍是( )
A.[0,π) B.[0,]∪[,π)
C.[0,] D.[0,]∪[,π)
易錯(cuò)分析 本題易混淆α和傾斜角的關(guān)系,不能真正理解斜率和傾斜角的實(shí)質(zhì),忽視傾斜角本身的范圍.
解析 設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tan θ=-sin α.
因?yàn)閟in α∈[-1,1],所以-1≤tan θ≤1,
又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π.
答案 B
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視直線的特殊位置
例2 已知l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0.求使l1∥l2的a的值.
易錯(cuò)分析 本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是忽視直線斜率不存在的特殊情況,即忽視a=0的情況.
解 當(dāng)直線斜率不存在,即a=0時(shí),
有l(wèi)1:3x-5=0,l2:-x-2=0,符合l1∥l2;
當(dāng)直線斜率存在時(shí),l1∥l2?-=?a=-,
經(jīng)檢驗(yàn),a=-符合題意.
故使l1∥l2的a的值為-或0.
易錯(cuò)點(diǎn)3 焦點(diǎn)位置考慮不全
例3 已知橢圓+=1的離心率等于,則m=______.
易錯(cuò)分析 本題易出現(xiàn)的問(wèn)題就是誤以為給出方程的橢圓,其焦點(diǎn)在x軸上導(dǎo)致漏解.該題雖然給出了橢圓的方程,但并沒(méi)有確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸,所以應(yīng)該根據(jù)其焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論.
解析?、佼?dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),
則由方程,得a2=4,即a=2.
又e==,
所以c=,m=b2=a2-c2=22-()2=1.
②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓的方程為+=1.
則由方程,得b2=4,即b=2.
又e==,故=,
解得=,即a=2b,
所以a=4.故m=a2=16.
綜上,m=1或16.
答案 1或16
易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視二次項(xiàng)系數(shù)討論和判別式限制
例4 求過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)公共點(diǎn).
易錯(cuò)分析 直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn).Δ>0是直線與拋物線相交的充分條件,但不是必要條件.
解?、佼?dāng)所求直線斜率不存在時(shí),即直線垂直于x軸,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,1),所以x=0,即y軸,它正好與拋物線y2=2x相切;
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)所求的直線為y=kx+1,則所以k2x2+(2k-2)x+1=0.當(dāng)k=0時(shí),方程有一解,直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以直線為y=1;當(dāng)k≠0時(shí),Δ=0,方程有一解,直線與拋物線也僅有一個(gè)交點(diǎn),解得k=,所以所求直線為y=x+1.
綜上,滿足條件的直線為:y=1,x=0,y=x+1.
易錯(cuò)點(diǎn)5 定點(diǎn)問(wèn)題思路不清
例5 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作兩條相互垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.求證:直線MN恒過(guò)定點(diǎn).
易錯(cuò)分析 直線恒過(guò)定點(diǎn)是指無(wú)論直線如何變動(dòng),必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程,問(wèn)題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來(lái),無(wú)論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解.本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè):一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤;二是在得到了直線系MN的方程后,對(duì)直線恒過(guò)定點(diǎn)的思路不清,找錯(cuò)方程的常數(shù)解.
證明 由題設(shè),知F(1,0),直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)lAB:y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x,
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
得xM==,又yM=k(xM-1)=,
故M(,).
因?yàn)镃D⊥AB,所以kCD=-.以-代k,
同理,可得N(2k2+1,-2k).
所以直線MN的方程為(2k2+1-)(y+2k)
=(-2k-)(x-2k2-1),
化簡(jiǎn)整理,得yk2+(x-3)k-y=0,該方程對(duì)任意k恒成立,故解得
故不論k為何值,直線MN恒過(guò)點(diǎn)(3,0).
1.設(shè)向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,則直線b2x+y=0與直線x-a2y=0的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.重合
答案 B
解析 由題意知兩直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),因?yàn)閍⊥b,所以ab=a+b=0,所以a=-b,由于直線b2x+y=0的斜率為-b2,直線x-a2y=0的斜率為,則(-b2)=-1,故兩直線垂直.
2.過(guò)點(diǎn)P(-,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如圖,過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
由題意知|OP|=2,|OA|=1,
則sin α=,
所以α=,∠BPA=.
故直線l的傾斜角的取值范圍是.
3.兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若a∈R,b∈R且ab≠0,則+的最小值為( )
A.1 B.3
C. D.
答案 A
解析 兩圓方程可化為(x+a)2+y2=4,
x2+(y-2b)2=1,
由題意知兩圓外切,∴=3,
即a2+4b2=9,
∴+=(+)
=(5++)
≥(5+2)=1.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),∴(+)min=1.
4.點(diǎn)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),在此橢圓上存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=60,且|PF1|=2|PF2|,則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由∠F1PF2=60,|PF1|=2|PF2|,
可得∠PF2F1=90,
∴e===
==.
5.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A,B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠AFB=120,過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則的最大值為( )
A. B.1
C. D.2
答案 A
解析 設(shè)|AF|=a,|BF|=b,
由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 120
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab
≥(a+b)2-()2=(a+b)2,
∵a+b=|AF|+|BF|=2|MN|,
∴|AB|2≥|2MN|2,∴≤.
6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是________.
答案
解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).
由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2,
即≤2.整理,得3k2-4k≤0,
解得0≤k≤.故k的最大值是.
7.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為_(kāi)_______.
答案
解析 如圖,
設(shè)雙曲線E的方程為-=1(a>0,b>0),則|AB|=2a,由雙曲線的對(duì)稱性,可設(shè)點(diǎn)M(x1,y1)在第一象限內(nèi),過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1,0),∵△ABM為等腰三角形,且∠ABM=120,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60,
∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin 60=a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60=2a.將點(diǎn)M(x1,y1)的坐標(biāo)代入-=1,可得a2=b2,
∴e== =.
8.已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),過(guò)點(diǎn)A作直線l與以A,B為焦點(diǎn)的橢圓交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為,且直線l與圓x2+y2=1相切,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.
答案?。?
解析 根據(jù)題意,知直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),①
由題意設(shè)橢圓方程為+=1(a2>4),②
由直線l與圓x2+y2=1相切,得=1,
解得k2=.
將①代入②,得(a2-3)x2+a2x-a4+4a2=0,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-.又線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為,所以|x1+x2|=,即-=-,解得a2=8.所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
9.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4且過(guò)點(diǎn)(,-2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),求的取值范圍.
解 (1)橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距是4,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2),(0,2),2a=+=4,
所以a=2,b=2,
即橢圓C的方程是+=1.
(2)若直線l垂直于x軸,則點(diǎn)E(0,2),F(xiàn)(0,-2),=-8.
若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+2,
點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
將直線l的方程代入橢圓C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,則x1+x2=,x1x2=,
所以=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=-8,
因?yàn)?<≤10,所以-8<≤2,
所以的取值范圍是[-8,2].
10.如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.
(1)解 由題設(shè)知=,b=1,
結(jié)合a2=b2+c2,解得a=.
所以橢圓的方程為+y2=1.
(2)證明 由題設(shè)知,
直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),
代入+y2=1,
得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.
由已知Δ>0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
則x1+x2=,x1x2=.
從而直線AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ
=+=+
=2k+(2-k)(+)
=2k+(2-k)
=2k+(2-k)
=2k-2(k-1)=2.
所以直線AP與AQ的斜率之和為2.
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