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第五章 萬有引力定律 一、單項選擇題 1．質量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動．已知月球質量為M，月球半徑為r，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉的影響，則航天器與月球中心的連線在單位時間內(nèi)所掃過的面積是(　　) A. B.r C.r D. 2．2011年9月、10月我國相繼發(fā)射了天宮一號、神舟8號和一箭發(fā)射兩顆實驗衛(wèi)星，天宮一號和神舟8號的兩次對接實驗圓滿成功，神舟8號順利回收．關于人造地球衛(wèi)星和宇宙飛船，下列說法中不正確的是(　　) A．若神舟8號僅向運動的相反方向噴氣加速，它將可能在此軌道上和天宮1號相遇實現(xiàn)對接 B．若已知人造地球衛(wèi)星的軌道半徑和它的周期，利用引力常量，就可以算出地球質量 C．衛(wèi)星在軌道上做勻速圓周運動的圓心必定與地心重合 D．神舟8號在降落過程中向下減速時產(chǎn)生超重現(xiàn)象 3．我國自主研制的“嫦娥三號”，攜帶“玉兔號”月球車已于2013年12月2日1時30分在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，落月點有一個富有詩意的名字“廣寒宮”．落月前的一段時間內(nèi)，繞月球表面做勻速圓周運動，若已知月球質量為M，月球半徑為R，引力常量為G，對于繞月球表面做圓周運動的衛(wèi)星，以下說法正確的是(　　) A．線速度大小為 B．線速度大小為 C．周期為 D．周期為 4．一個物體靜止在質量均勻的球形星球表面的赤道上，已知萬有引力常量為G，星球密度為ρ，若由于星球自轉使物體對星球表面的壓力恰好為零，則星球自轉的角速度為(　　) A. B. C．ρGπ D. 5．假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36 000 km，宇宙飛船和一地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當二者相距最近時．宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號送到地面接收站，某時刻二者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為(　　) A．4次 B．6次 C．7次 D．8次 6．“嫦娥二號”探月衛(wèi)星繞地運行一段時間后，離開地球飛向月球．如圖1所示是繞地飛行的三條軌道，軌道1是近地圓形軌道，2和3是變軌后的橢圓軌道，A點是2軌道的近地點，B點是2軌道的遠地點，衛(wèi)星在軌道1的運行速率為7.7 km/s，則下列說法正確的是(　　) 圖1 A．衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過A點時的速率一定小于7.7 km/s B．衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過B點時的速率一定小于7.7 km/s C．衛(wèi)星在3軌道所具有的機械能小于2軌道所具有的機械能 D．衛(wèi)星在3軌道所具有的最大速率小于2軌道所具有的最大速率 二、多項選擇題 7．北斗衛(wèi)星系統(tǒng)由地球同步軌道衛(wèi)星與低軌道衛(wèi)星兩種衛(wèi)星組成，這兩種衛(wèi)星正常運行時(　　) A．低軌衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星的軌道平面一定重合 B．低軌衛(wèi)星的環(huán)繞速率不可能大于7.9 km/s C．地球同步衛(wèi)星比低軌衛(wèi)星的轉動周期大 D．低軌衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星，可能具有相同的角速度 8．美國航空航天局發(fā)射的“月球勘測軌道器”LRO每天在50 km的高度穿越月球兩極上空10次．若以T表示LRO在離月球表面高度h處的軌道上做勻速圓周運動的周期，以R表示月球的半徑，則(　　) A．LRO運行時的向心加速度為 B．LRO運行時的向心加速度為 C．月球表面的重力加速度為 D．月球表面的重力加速度為 9．實現(xiàn)全球通訊至少要三顆地球同步軌道衛(wèi)星，如圖2所示，三顆地球同步衛(wèi)星a、b、c等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，則三顆衛(wèi)星(　　) 圖2 A．質量必須相同 B．某時刻的線速度相同 C．繞地球的運行周期相同 D．繞行方向與地球自轉方向相同 10．我們在推導第一宇宙速度的公式v＝時，需要做一些假設和選擇一些理論依據(jù)，下列必要的假設和理論依據(jù)有(　　) A．衛(wèi)星做半徑等于地球半徑的勻速圓周運動 B．衛(wèi)星所受的重力全部作為其所需的向心力 C．衛(wèi)星所受的萬有引力僅有一部分作為其所需的向心力 D．衛(wèi)星的運轉周期必須等于地球的自轉周期 11．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離r和月球繞地球運行的周期T.僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算的物理量有(　　) A．地球的質量 B．地球的密度 C．地球的半徑 D．月球繞地球運行速度的大小 12．為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心、半徑為r1的圓軌道上運動，周期為T1，總質量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m2，則(　　) A．X星球的質量為MX＝ B．X星球表面的重力加速度為gX＝ C．登陸艙在r1與r2軌道上運動時的速度大小之比為＝ D．登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運動的周期為T2＝T1 三、非選擇題 13．探月衛(wèi)星的發(fā)射過程可簡化如下：首先進入繞地球運行的“停泊軌道”，在該軌道的P處，通過變速，再進入“地月轉移軌道”，在快要到達月球時，對衛(wèi)星再次變速，衛(wèi)星被月球引力“俘獲”后，成為環(huán)月衛(wèi)星，最終在環(huán)繞月球的“工作軌道上”繞月飛行(視為圓周運動)，對月球進行探測，“工作軌道”周期為T，距月球表面的高度為h，月球半徑為R，引力常量為G，忽略其他天體對探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞運動的影響． (1)要使探月衛(wèi)星從“轉移軌道”進入“工作軌道”，應增大速度還是減小速度？ (2)求探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞的線速度大?。? (3)求月球的第一宇宙速度． 答案解析 1．C　[根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律可得：mg＝G＝mr，解得T＝2π＝2π，結合圓面積公式，單位時間內(nèi)掃過的面積S＝＝r，所以選項C正確．] 2．A　[兩飛行器處于同一軌道，然后后者加速，那么后一飛行器在短時間內(nèi)速度就會增加，后面的飛行器所需要的向心力也會增加，而此時受到的萬有引力大小幾乎不變，也就小于所需要的向心力．那么后面的飛行器就會做離心運動，偏離原來的軌道，兩飛行器就不能實現(xiàn)對接，故A不正確；根據(jù)萬有引力提供向心力得：G＝mr，解得：M＝，故B正確；衛(wèi)星運動過程中的向心力由萬有引力提供，故地球必定在衛(wèi)星軌道的中心，即地心為圓周運動的圓心，故C正確；神舟8號在降落過程中向下減速時，加速度方向向上，產(chǎn)生超重現(xiàn)象，故D正確．] 3．B　[根據(jù)“嫦娥三號”所受萬有引力提供做圓周運動的向心力有：G＝m＝mR，線速度的大小v＝ ，故A錯誤，B正確；周期T＝2π ，故C、D均錯誤．] 4．A　[設該星球質量為M，半徑為R，物體質量為m，萬有引力充當向心力，則有G＝mRω2，又M＝ρV＝ρπR3，聯(lián)立兩式解得：ω＝ .] 5．C　[對飛船，G＝m(R＋h1)，對同步衛(wèi)星，G＝m′(R＋h2)，由于同步衛(wèi)星的運動周期為T2＝24 h，可求出載人宇宙飛船的運動周期T1＝3 h，因此一晝夜內(nèi)繞地球8圈，比同步衛(wèi)星多運動了7圈，因此相遇7次，接收站共接收到7次信號，C正確，A、B、D錯誤．] 6．B　[衛(wèi)星在經(jīng)過A點時，要做離心運動才能沿2軌道運動，衛(wèi)星在1軌道上的速度為7.7 km/s，故在2軌道上經(jīng)過A點的速度一定大于7.7 km/s，故A錯誤；假設有一圓軌道經(jīng)過B點，根據(jù)v＝ ，可知此軌道上的速度小于7.7 km/s，衛(wèi)星在B點速度減小，才會做近心運動進入2軌道運動，故衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過B點時的速率一定小于7.7 km/s，故B正確；衛(wèi)星運動的軌道高度越高，需要的能量越大，具有的機械能越大，所以衛(wèi)星在3軌道所具有的機械能一定大于2軌道所具有的機械能，故C錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知近月點速度大于遠月點速度，故比較衛(wèi)星在軌道3經(jīng)過A點和軌道2經(jīng)過A點的速度即可，又因為衛(wèi)星在軌道2經(jīng)過A點要加速做離心運動才能進入軌道3，故衛(wèi)星在3軌道所具有的最大速率大于2軌道所具有的最大速率，故D錯誤．] 7．BC 8．BD　[LRO運行時的向心加速度為a＝ω2r＝，選項B正確，A錯誤；根據(jù)＝m()2(R＋h)，又＝m′g，兩式聯(lián)立得g＝，選項D正確，C錯誤．] 9．CD　[根據(jù)萬有引力提供向心力G＝m＝mr可得：軌道半徑與同步衛(wèi)星的質量無關，所以A錯誤；線速度大小相等，而方向沿軌跡的切線方向，是不同的，所以B錯誤；周期相同，同步衛(wèi)星與地球保持相對靜止，故轉動的方向與地球自轉方向相同，故C、D正確．] 10．AB　[人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運動時，其軌道半徑近似等于地球半徑R，其向心力為地球對衛(wèi)星的萬有引力，其向心加速度近似等于地面處的重力加速度，設地球質量為M，根據(jù)萬有引力定律和勻速圓周運動的規(guī)律，可得：G＝m，代入數(shù)據(jù)解得：v＝ ＝7.9 km/s，或mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得：v＝7.9 km/s，由以上證明可知，衛(wèi)星做半徑等于地球半徑的勻速圓周運動，故A正確；衛(wèi)星所受的重力全部作為其所需的向心力，故B正確，C錯誤；衛(wèi)星的運轉周期不等于地球的自轉周期，故D錯誤．] 11．AD　[根據(jù)萬有引力提供向心力為：G＝mr，得地球的質量為：M＝，故A可以；根據(jù)題目條件無法求出地球的半徑，故也無法求得地球的密度，故B、C不可以；根據(jù)v＝，則可求得月球繞地球運行速度的大小，故D可以．] 12．AD　[飛船繞X星球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律知G＝m1r1，則X星球質量MX＝，選項A正確；根據(jù)圓周運動知識，a＝只能表示在半徑為r1的圓軌道上的向心加速度，不等于X星球表面的重力加速度，故B錯誤；研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：在半徑為r的圓軌道上運動時G＝m得出v＝ ，表達式中M為中心星球的質量，r為運動軌道半徑，所以登陸艙在r1與r2軌道上運動時的速度大小之比為＝＝，故C錯誤；研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：在半徑為r的圓軌道上運動：G＝mr得出：T＝2π ，表達式中M為中心星球的質量，r為運動的軌道半徑，所以登陸艙在r1與r2軌道上運動時的周期大小之比為：＝ ，所以T2＝T1，D正確．] 13．(1)應減小速度　(2)　(3) 解析　(1)要使探月衛(wèi)星從“轉移軌道”進入“工作軌道”，應減小速度做近心運動． (2)根據(jù)線速度與軌道半徑和周期的關系可知探月衛(wèi)星線速度的大小為v＝ (3)設月球的質量為M，探月衛(wèi)星的質量為m，月球對探月衛(wèi)星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，所以有：G＝m(R＋h).月球的第一宇宙速度v1等于“近月衛(wèi)星”的環(huán)繞速度，設“近月衛(wèi)星”的質量為m′，則有：G＝m′，由以上兩式解得：v1＝ .