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微 積 分 (下),微積分,,微分,積分,1,刻畫函數(shù) 的變化率,計(jì)算： 求導(dǎo)數(shù)、求微分,,,關(guān)于本門課程的學(xué)習(xí)方法:,1）課前預(yù)習(xí)（前一天通讀下次要講的內(nèi)容）.,2）認(rèn)真聽講（提倡超前的動腦思維）.,3）課后復(fù)習(xí)（弄懂每一個細(xì)節(jié),并適當(dāng)看一些參考書,幫助并加深理解該講的內(nèi)容）.,“成功就是‘簡單的事情反復(fù)做’”,李開復(fù),花時間學(xué)習(xí)！,最好的學(xué)習(xí)方法,,奧巴馬的同學(xué)，曾任微軟中國研究院院長、Google全球副總裁兼中國區(qū)總裁,4）完成作業(yè)（要獨(dú)立完成,可以討論或詢問,但切忌抄襲）.,吳巧梅老師,5）小結(jié)（總結(jié)所學(xué)內(nèi)容、歸納方法、寫出體會).,3,一道有意義的計(jì)算題！,如果令 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 分別等于百分之 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 那么 Hard work （努力工作） H+A+R+D+W+O+R+K= 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% Knowledge（知識）K+N+O+W+L+E+D+G+E = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% Love（愛情） L+O+V+E = 12+15+22+5 = 54% Luck（好運(yùn)） L+U+C+K = 12+21+3+11 = 47%,4,什么能使得生活變得圓滿？ 是 Money（金錢）嗎? . M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 72% 是 Leadership（領(lǐng)導(dǎo)能力）嗎? . L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89% 那么，什么能使生活變成100%的圓滿呢？ ATTITUDE（態(tài)度） A+T+T+I+T+U+D+E = 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%,一道有意義的計(jì)算題！,5,Attitude ---- 100% 態(tài)度決定一切！,6,1)考核成績構(gòu)成： 期末考試成績：40分 平時成績： 60分,關(guān)于本課程的要求：,平時成績包括： 出勤：30分.考勤缺一次扣3分,遲到一次扣1分,扣完為止. 作業(yè)：10分.少做一次扣2分,扣完為止. 平時測驗(yàn)：20分. 缺一次扣5分.,2)關(guān)于作業(yè)： 1)每兩周收一次,用作業(yè)紙寫； 2)每個班由課代表收作業(yè),然后統(tǒng)一交給老師.,7,一、復(fù)習(xí)：,導(dǎo)數(shù) :,微分 :,關(guān)系 :,可導(dǎo),,,可微,微分學(xué),導(dǎo)數(shù):,描述函數(shù)變化快慢.,微分:,描述函數(shù)變化程度.,,微積分,積分學(xué)：,微分學(xué)：,,研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用.,研究不定積分、定積分及其應(yīng)用.,8,記住常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,9,記住常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,10,四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則：,注意：,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：,初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).,11,第四章 不定積分,第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì),第二節(jié) 換元積分法,第三節(jié) 分部積分法,12,第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì),一、原函數(shù)與不定積分的概念,二、基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),13,比如：已知直線運(yùn)動的位置函數(shù) S = S(t)，用微分法可求運(yùn)動速度:,但若已知運(yùn)動速度v(t)，怎么求其位置函數(shù) S(t) 呢？,在數(shù)學(xué)中，一般來說一種運(yùn)算的出現(xiàn)都伴隨著它的逆運(yùn)算.,引言,微分(求導(dǎo))是否有逆運(yùn)算？若有, 是什么？,例如： 加法的逆運(yùn)算是減法; 乘法的逆運(yùn)算是除法; 指數(shù)的逆運(yùn)算是對數(shù)等.,微分有逆運(yùn)算，不定積分是微分的逆運(yùn)算！,14,例,1 定義：,一、原函數(shù)與不定積分的概念,求給定函數(shù)的原函數(shù)是積分學(xué)中的第一個基本問題，也是本章討論的中心問題。,15,1）已知函數(shù) 應(yīng)具備什么條件，才可以保證它的原函數(shù)一定存在？,原函數(shù)存在定理：,簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問題：,2)如果 f (x)有原函數(shù)，一共有多少？即原函數(shù)是否唯一？,當(dāng)一個函數(shù)具有原函數(shù)時，它的原函數(shù)不只是一個.,比如：cosx的原函數(shù)除sinx外，,一般地，設(shè)F(x)是 f (x)的一個原函數(shù)，則 對于任意的常數(shù)C，F(xiàn) (x)+C也是 f (x)的一個原函數(shù).,都是cosx的原函數(shù)。,16,例,（C 為任意常數(shù)）,3) F (x)的原函數(shù)不唯一，那這些原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？,則,(C為常數(shù)），,結(jié)論：如果函數(shù) f(x)有一個原函數(shù) F(x)，那末它就有無窮多個原函數(shù)，并且 f(x)的無窮多個原函數(shù)僅限于F(x)+C.,17,定義2：,求 f (x) 的不定積分，只要找出它的一個原函數(shù),再加任意常數(shù)即可.,檢驗(yàn)不定積分運(yùn)算是否正確，只需求導(dǎo)驗(yàn)證.,18,例1：求,解：,19,解：,例2：求,20,例3：已知 , 求,解：,21,例4：求,解：,而,這是因?yàn)?不定積分答案形式不惟一，但本質(zhì)是一樣的!,即選擇的不同原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)C .,22,這兩個原函數(shù)的圖像可以通過“上下平移 ”互變,表明這兩個函數(shù)在任一點(diǎn)的函數(shù)值都只相差一個常數(shù) 。,,,,,思考： 的全部原函數(shù)的圖像應(yīng)該是什么樣子的？,23,24,,,,24,f (x) 的不定積分，是 f (x) 的“全部原函數(shù)”，它可以表示為“f (x) 的一個原函數(shù)加任意常數(shù) C ” 的形式。,“不定積分”與“原函數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別,f(x) 的原函數(shù)，是 f (x) 求導(dǎo)以前“原來的函數(shù)”；,為了形象地理解“ f (x) 的原函數(shù)”的概念，我們用“填空”的方式來說明“原來的函數(shù)”的含義： 的括號中需要填的，就是 的原函數(shù)—— .,25,以前接觸的運(yùn)算，先做運(yùn)算再做逆運(yùn)算相當(dāng)于沒有變化，例如：,不定積分是微分的逆運(yùn)算，對函數(shù)進(jìn)行先微分再積分的運(yùn)算和先積分再微分的運(yùn)算，函數(shù)是否也沒有變化？,積分與微分的關(guān)系,26,設(shè)F(x) 為 f (x) 的一個原函數(shù)，,先微分再積分:,先積分再微分:,結(jié)論：,27,顯然，求不定積分得到一積分曲線族.,2.不定積分的幾何意義：,在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線是彼此平行的。,一個原函數(shù)對應(yīng)于一條積分曲線 不定積分則對應(yīng)于積分曲線簇——無數(shù)條積分曲線 被積函數(shù)對應(yīng)于積分曲線在各點(diǎn)的切線斜率 ——同一橫坐標(biāo)處，切線平行,28,例５：設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解：,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,29,二、 基本積分表,積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,( k是常數(shù));,30,31,證,等式成立.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）,三、不定積分的性質(zhì),（不定積分的線性運(yùn)算）,32,例６：計(jì)算不定積分,解：,注意：本題化為三個積分，應(yīng)出現(xiàn)三個任意常數(shù)，但由其任意性，可寫成一個任意常數(shù)。,33,解：,例７： 求積分,34,例８：求不定積分,解：,35,例９：求（1） （2）,解：（1）,（2）,36,例１０：求積分,解：,說明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.,37,例1１：求,解：,38,基本積分表(1),不定積分的性質(zhì),原函數(shù)的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系,四、 小結(jié),39,思考題,符號函數(shù),在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？,思考題解答,不存在.,假設(shè)有原函數(shù),故假設(shè)錯誤,所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù).,結(jié)論,每一個含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù).,40,