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H型階段的三自由度柔性關(guān)節(jié)的優(yōu)化設(shè)計(jì)
1、摘要
三自由度H型階段，該階段使用柔性聯(lián)合完成了繞Z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。利用在H型階段Z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)1自由度的柔性聯(lián)合被提出來了。擬議中的H型階段的彎曲關(guān)節(jié)具有較高的離軸剛度，并且對(duì)高的對(duì)抗強(qiáng)度有足夠的耐久性。通過對(duì)板簧剛度進(jìn)行分析，我們得到了撓曲聯(lián)合六自由度的剛度方程。為了滿足動(dòng)力性能所需的要求，我們?cè)谶M(jìn)行幾何參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中使用了二次編程序列。而優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果就是通過對(duì)實(shí)際彎曲關(guān)節(jié)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
關(guān)鍵詞
H型階段；
彎曲關(guān)節(jié)；
6自由度分析的剛度方程；
優(yōu)化設(shè)計(jì)；
系統(tǒng)模式分析
2、介紹
因?yàn)殡娔X的出現(xiàn)，信息技術(shù)已在世界上有了顯著的發(fā)展。信息技術(shù)的發(fā)展需要大型和高分辨率的顯示器。遠(yuǎn)距離精確定位需要是大型并且高分辨率的顯示器，如液晶顯示器，有機(jī)發(fā)光二極管和PDP。因此，長程階段所需的高推力的性能以及它的精確性和長期性，直接推動(dòng)了顯示產(chǎn)業(yè)和半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。
在H型階段已普遍采用了精密定位系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了更大范圍，更精確的精度和更高的推力，特別是完成遠(yuǎn)距離的定位。這種定位系統(tǒng)減小了因Z軸回轉(zhuǎn)誤差和X軸驅(qū)動(dòng)主導(dǎo)位置誤差而引起的制造誤差和裝配誤差。
最近，該單片柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)已被用于指導(dǎo)高精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。該結(jié)構(gòu)能再很大程度上補(bǔ)償Z軸的旋轉(zhuǎn)誤差。有人開發(fā)出了一種無冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)軸移動(dòng)平臺(tái)。它有差角精度因?yàn)樗幂S承的旋轉(zhuǎn)接頭。至于他們提到的氯乙烯（聲音的電機(jī)）氣靜壓磁浮階段，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的8個(gè)氯乙烯單體模塊被用于納米加工過程中的定位，它有0.1個(gè)微弧度的精度。在本文中，我們提出了一個(gè)使用彎曲關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)誤差補(bǔ)償?shù)腍型階段。
柔性引導(dǎo)機(jī)制具有許多優(yōu)點(diǎn)：間隙和摩擦可以忽略不計(jì)；無限放大驅(qū)動(dòng)輸出位移；內(nèi)在的無限分辨率。因此，彎曲關(guān)節(jié)已被用于很多方面，例如顯微系統(tǒng)，平板顯示器過程中的雙驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。
在龍門階段，串聯(lián)直線電機(jī)中的柔性彎曲關(guān)節(jié)使θz軸旋轉(zhuǎn)。該柔性鉸鏈具有較高的剛度，以保證H型階段所需的范圍。由于低剛度組件的出現(xiàn)。為了在H型階段不引起不必要的爭議，所以意識(shí)到高離軸的彎曲關(guān)節(jié)的僵硬是很重要的。1旋轉(zhuǎn)自由度有許多彎曲關(guān)節(jié)，最基本的是柔性聯(lián)合缺口型柔性關(guān)節(jié)。由于應(yīng)力集中圍繞中心支點(diǎn)，缺口型彎曲關(guān)節(jié)具有低的旋轉(zhuǎn)角度。交叉帶柔性關(guān)節(jié)，彎曲軸帶，車輪彎曲增加了柔性關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)。這些彎曲關(guān)節(jié)的離軸剛度不夠，承受不了高推力。然而，擬議的彎曲關(guān)節(jié)，是一個(gè)多約束的結(jié)構(gòu)，可以給予較高的肯定。
帕羅和薇絲柏的模型計(jì)算了彈簧率單軸柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)，他們?cè)嚵嗽S多方法獲得剛度模型的柔性接頭，并且使用六自由度方程制定了一個(gè)剛度建模過程中的一個(gè)整體柔性系統(tǒng)的撓性接頭。這種方法可用于復(fù)雜的柔性系統(tǒng)。但是很難找到建模誤差，計(jì)算誤差產(chǎn)生的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和建模誤差出現(xiàn)在剛度模型的柔性機(jī)制中。最近，一個(gè)以計(jì)算機(jī)為基礎(chǔ)的有限元方法已被用于分析彈性、自然頻率、動(dòng)態(tài)特性于一體的全柔性自動(dòng)機(jī)構(gòu)。在本文中，我們是使用了一個(gè)簡單的方法分析了剛度的柔性接頭和剛度的計(jì)算方法。
我們對(duì)彎曲關(guān)節(jié)的改進(jìn)滿足了所需規(guī)格的H型階段的優(yōu)化設(shè)計(jì)。使用MATLAB的序列二次編程，對(duì)Z軸彎曲關(guān)節(jié)的大小進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。進(jìn)而也對(duì)彎曲關(guān)節(jié)的剛度方程和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。
H型階段的三自由度的系統(tǒng)配置
圖1顯示的是龍門階段的配置，包括串聯(lián)軸電機(jī)和滑塊。該柔性接頭之間的龍門階段和串聯(lián)軸電機(jī)使旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的龍門階段的軸?；瑝K和串聯(lián)軸電機(jī)采用直線電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)和空氣軸承導(dǎo)軌，通常被用于精密定位系統(tǒng)。在串聯(lián)軸電機(jī)中，用磁鐵預(yù)機(jī)制加強(qiáng)剛度的空氣軸承滑塊作為該系統(tǒng)的指導(dǎo)機(jī)制。傳感器位置反饋的是×和Y軸光學(xué)線性編碼器與納米12位插補(bǔ)。
圖1三維建模的H型階段
串聯(lián)Y軸電機(jī)分為主動(dòng)軸和從動(dòng)軸，主軸（Y1）作為Y軸運(yùn)動(dòng)和Y軸運(yùn)動(dòng)誤差的參考標(biāo)準(zhǔn)。在X軸的平移運(yùn)動(dòng)方向上，龍門階段的旋轉(zhuǎn)是圍繞Z軸。圖2顯示了在H型為Z轉(zhuǎn)動(dòng)自由度階段所需的自由。在主軸（Y1），龍門階段和主軸電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)之間實(shí)現(xiàn)了θZ自由度。在從動(dòng)軸（Y2），一個(gè)旋轉(zhuǎn)彎曲關(guān)節(jié)允許X平移運(yùn)動(dòng)。沒有主軸（Y1）和龍門階段之間的平移運(yùn)動(dòng)。
圖2 H型階段的自由度分析示意圖
平移機(jī)構(gòu)是使用直線運(yùn)動(dòng)作為指南。LM導(dǎo)軌，使從動(dòng)軸電機(jī)（Y2）從龍門階段解耦。目的是為了防止旋轉(zhuǎn)時(shí)與空氣軸承階段的LM導(dǎo)軌接觸。
H型階段三自由度的柔性關(guān)節(jié)
曲聯(lián)合簡介
擬議的龍門階段的柔性關(guān)節(jié)是由Z軸的1R自由度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來實(shí)施的。圖3顯示了彎曲關(guān)節(jié)的車輪形狀，盡管該關(guān)節(jié)是一種過約束結(jié)構(gòu)，是由龍門階段中作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸發(fā)生彈性變形而形成的彈簧結(jié)構(gòu)
。
圖3彎曲關(guān)節(jié)的三維建模
柔性接頭的剛度對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度都會(huì)產(chǎn)生影響，它決定了整個(gè)動(dòng)態(tài)的H型階段。重要的是，離軸剛度的柔性接頭做高精度運(yùn)動(dòng)。因此，該曲是適當(dāng)?shù)膱?zhí)行型階段。由于有較高的離軸剛度，對(duì)六自由度的撓性接頭剛度模型進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)滿足了H型階段所需的規(guī)格。
六自由度的撓性接頭剛度建模
擬議的柔性關(guān)節(jié)在X和Y軸是對(duì)稱的，所以彎曲關(guān)節(jié)遵守對(duì)角矩陣式。彎曲關(guān)節(jié)的6自由度的剛度方程減少到了四個(gè)方程。
該柔性接頭是由相同的八片彈簧組成，為了從每個(gè)葉片彈簧得出它的剛度模型，有必要分析一個(gè)六自由度多的鋼板彈簧。有許多研究確定剛度鋼板彈簧的精確建模，但很難獲得彎曲關(guān)節(jié)全運(yùn)動(dòng)范圍的剛度建模。
由于復(fù)雜的有限元行為。有人分析鋼板彈簧在理想的運(yùn)動(dòng)的剛度。導(dǎo)出夾緊鋼板彈簧的六剛度方程遵守矩陣的排列。
在上式中B、L和T是分別是板簧的高度、長度和厚度。 圖3中，E是楊氏模量，G是剪切模量，K2是建模系數(shù)（由B / T確定）。由六自由度彎曲關(guān)節(jié)方程，我們能通過分析推導(dǎo)出所有的鋼板彈簧的變形。在下一節(jié)中，我們提出了確定6自由度的柔性關(guān)節(jié)的剛度方程的方法。
圖4鋼板彈簧的參數(shù)和定義
X軸平移剛度方程
為了方便起見，柔性接頭可分為+形鋼板彈簧和×形鋼板彈簧，如圖5所示。式（3）和式（4）代表的是+形鋼板彈簧式平移剛度和×形片鋼板彈簧的方程。
(3)
(4)
其中E為楊氏模量，G是剪切模量，φ是鋼板彈簧和X軸之間的角度。在X方向平移剛度（DFX/ DX）的曲聯(lián)合如下面的公式：
圖5 +形鋼板彈簧及×形鋼板彈簧
Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度
當(dāng)彎曲關(guān)節(jié)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，鋼板彈簧遇到繞Z軸的軸向力，正常的力和力矩如式6。由于所有的力量組件是取消的，正常的力量也為零，所以彎曲關(guān)節(jié)總的軸向力的總和是零，因此，關(guān)于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度是所有鋼板彈簧在Z軸的總和。方程（6）是關(guān)于Z軸的彎曲關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。
(6)
其中RI是內(nèi)部半徑。
圖6 MZ的柔性關(guān)節(jié)變形
Z軸的平移剛度
Z軸平移剛度鋼板彈簧是八軸平移運(yùn)動(dòng)的柔性接頭。因此，它可以模擬在下列方程式：
X軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度
鋼板彈簧在平面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中具有復(fù)雜的變形。圖7顯示了每個(gè)鋼板彈簧變形。
圖7 變形彎曲聯(lián)合下MX（一），彎曲聯(lián)合下一刻MX（二），鋼板彈簧自由體圖1，5（三），鋼板彈簧的自由體圖2，4，6，8（四）
X轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的柔性接頭是由三種類型的變形的鋼板彈簧組成。第一個(gè)變形是鋼板彈簧3，鋼板彈簧7的扭矩如圖7。第二個(gè)變形如1，5，兩個(gè)葉片彈簧的變形的時(shí)刻myl1和myl2。第三個(gè)變形如2，4，6，8四個(gè)鋼板彈簧，這是受了前兩個(gè)變形的影響。式（8）表示X軸彎曲關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度方程。
l是鋼板的有效長度
最大應(yīng)力
彎曲關(guān)節(jié)最大應(yīng)力發(fā)生在Z軸旋轉(zhuǎn)變形的鋼板彈簧的末端位置。方程（9）所示的是彎曲關(guān)節(jié)的最大應(yīng)力。
(9)
σmax是彎曲關(guān)節(jié)的的最大應(yīng)力，KT是由Peterson和同事提出來的應(yīng)力集中系數(shù)
柔性建模的驗(yàn)證
檢驗(yàn)柔性關(guān)節(jié)的剛度方程的有效性，它是通過名為臨工程學(xué)的有限元程序驗(yàn)證的。表1給出了驗(yàn)證結(jié)果，柔性關(guān)節(jié)的參數(shù)RI =60毫米，L =40毫米，B =30毫米，t= 2.5毫米。
表1所示的是剛度模型驗(yàn)證結(jié)果
Unit
Analytic model
FEM simulation
Error (%)
kx
N/μm
441.630
416.899
5.6
ky
N/μm
441.630
416.899
5.6
kz
N/μm
168.013
148.691
11.5
kθx
Nm/μrad
0.69294
0.60492
12.7
kθy
Nm/μrad
0.69294
0.60492
12.7
kθz
Nm/μrad
0.02497
0.02282
8.6
σmax
MPa
202.05
221.851
9.8
彎曲關(guān)節(jié)的模型顯示了一個(gè)合理的預(yù)測低于13％的錯(cuò)誤的剛度建模。
參數(shù)分析
要?jiǎng)?chuàng)建的優(yōu)化設(shè)計(jì)，一個(gè)彎曲的設(shè)計(jì)是需要探討如何彎曲關(guān)節(jié)的設(shè)計(jì)參數(shù)影響的六自由度的剛度和彎曲關(guān)節(jié)的最大應(yīng)力參數(shù)分析。參數(shù)分析結(jié)果將確保優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果是合理的。
柔性關(guān)節(jié)的設(shè)計(jì)參數(shù)如下：
鋼板彈簧高度：B。
鋼板彈簧長度：L
厚度的鋼板彈簧：T。
體內(nèi)的半徑：R
我們通過分析可以推導(dǎo)出彎曲關(guān)節(jié)的靈敏度與設(shè)計(jì)參數(shù)的變化。參數(shù)分析的結(jié)果如圖 8所示。
圖8 彎曲關(guān)節(jié)的參數(shù)分析結(jié)果
在設(shè)計(jì)圖所示的彎曲關(guān)節(jié)中，柔性關(guān)節(jié)的長度L是最敏感的設(shè)計(jì)參數(shù)，如上圖8，它是關(guān)于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和最大應(yīng)力圖。設(shè)計(jì)參數(shù)b不影響柔性關(guān)節(jié)的最大壓力如圖8B所示。它只影響有關(guān)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。
柔性接頭的優(yōu)化設(shè)計(jì)
柔性接頭是用來實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償偏航誤差的運(yùn)動(dòng)型裝置，它是通過旋轉(zhuǎn)角度對(duì)H型階段實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償?shù)摹Ｒ虼?，柔性接頭必須有足夠低的軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。
在H型階段，穩(wěn)定時(shí)間取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度。H型階段的彎曲聯(lián)合設(shè)計(jì)在H型階段占主要部分，為了獲得所需的柔性關(guān)節(jié)的剛度而不影響H型階段所需的規(guī)格，就需要有足夠的旋轉(zhuǎn)剛度和離軸剛度。柔性關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)變量是L，B，T，和R。在上一節(jié)中我們對(duì)每個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了討論。
確定優(yōu)化設(shè)計(jì)的成本函數(shù)，以盡量減少對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和離軸剛度的最大化。方程（10）顯示的是柔性關(guān)節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)的成本函數(shù)。
(10)
其中C1，C2，C3，C4是使設(shè)計(jì)更優(yōu)化，降低成本，包括一些制約因素的變量系數(shù)。例如，軸的最大應(yīng)力應(yīng)小于屈服應(yīng)力，系統(tǒng)的規(guī)模和離軸剛度也有限制。
(11)
S是安全系數(shù)，f1最大應(yīng)力約束，σyield是彎曲關(guān)節(jié)的屈服強(qiáng)度，θzd是所需的Z軸旋轉(zhuǎn)角度。
(12)
θzd是轉(zhuǎn)角約束，Sf2是安全系數(shù)，Mz驅(qū)動(dòng)力矩。
(14)
KX和kθx是X軸和旋轉(zhuǎn)X軸的剛度值。
設(shè)計(jì)結(jié)果
用拉格朗日函數(shù)，二次規(guī)劃序列完成的優(yōu)化設(shè)計(jì)，這種方法一般保證局部最小值。圖9顯示的是收斂輪廓的成本函數(shù)，成本函數(shù)值逐漸收斂到一定值。圖10表明，最終的代價(jià)函數(shù)值的各個(gè)初始點(diǎn)收斂到相同的值，這證明了優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)到最低分。
圖9 收斂型成本函數(shù)
因此，初始點(diǎn)對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行了檢查。表3顯示了優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量集。然而，考慮到制造成本的影響以及對(duì)設(shè)計(jì)變量的選擇，表4、表5顯示了柔性關(guān)節(jié)模型的特點(diǎn)。
表3 設(shè)計(jì)變量集
Design variables
Start points
Optimum results
Unit
S1
S2
S3
S4
Sopt
l
mm
25
30
40
50
42.10
b
mm
20
25
30
40
40.00
t
mm
1.5
1.8
2.0
2.5
1.92
ri
mm
55
60
70
75
61.56
表4 設(shè)計(jì)變量的最終尺寸
Final dimension
l (mm)
b (mm)
t (mm)
ri (mm)
Value
42.0
40.00
1.90
61.60
表5 彎曲關(guān)節(jié)的模擬特性
Start points
Optimum value
S1
S2
S3
S4
Sopt
Sdesign
kx (N/μm)
282.631
353.288
353.232
470.976
428.571
426.093
ky (N/μm)
282.631
353.288
353.232
470.976
428.571
426.093
kz (N/μm)
115.615
150.098
134.410
192.691
208.451
207.721
kθx (Nm/μrad)
2.15736
3.03916
4.19534
7.12071
0.92082
0.91806
kθy (Nm/μrad)
2.15736
3.03916
4.19534
7.12071
0.92082
0.91806
kθz (Nm/μrad)
0.584890
0.907587
0.915776
1.52629
0.01373
0.01349
σyield (MPa)
279.723
221.456
129.044
96.353
103.053
102.838
Active design variable
All
All
All
All
b
Non
Active constraints
g1, g2
g1, g2
g1, g2
g1, g2
g2
Non
Violated constraints
g1, g2, g3
g1, g2, g3
g2, g3
g2
Non
Non
實(shí)驗(yàn)
如圖11所示的柔性關(guān)節(jié)。Y軸直線電機(jī)的組裝與龍門階段的柔性關(guān)節(jié)固定在一起，彎曲關(guān)節(jié)的材料是鋁7075 T6，它有足夠的屈服強(qiáng)度，并且可加工性高。
為了檢查的柔性關(guān)節(jié)的特點(diǎn)，我們做了一個(gè)彎曲關(guān)節(jié)的模態(tài)分析的實(shí)驗(yàn)。分析了系統(tǒng)的固有頻率，驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。
圖12顯示了實(shí)驗(yàn)裝置的模態(tài)分析。移動(dòng)體的柔性接頭是一個(gè)脈沖輸入的沖擊錘，再用加速度計(jì)與彎曲聯(lián)合的振動(dòng)方向的脈沖輸入連接起來，通過把測量的加速度數(shù)據(jù)輸入動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀即可得到動(dòng)態(tài)信號(hào)的頻域。
圖12 實(shí)驗(yàn)裝置的模態(tài)分析
彎曲關(guān)節(jié)的模態(tài)分析如圖13，圖13顯示的頻率響應(yīng)是X方向彎曲關(guān)節(jié)的應(yīng)用脈沖輸入。它有兩個(gè)高峰期,第一個(gè)高峰是在Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)模式下產(chǎn)生的,柔性關(guān)節(jié)在Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)模式下的最低頻率是284赫茲；第二個(gè)最高峰是在X轉(zhuǎn)動(dòng)模式下產(chǎn)生的，它的最高頻率是2516赫茲。圖13 b顯示的是X軸的彎曲關(guān)節(jié)的脈沖時(shí)刻，它的脈沖時(shí)刻發(fā)生在X旋轉(zhuǎn)模式下，那么我們很難運(yùn)用X軸的脈沖時(shí)刻對(duì)Z軸進(jìn)行分析。模態(tài)分析結(jié)果如下表：
Contents
Unit
Analytical model
Experiment
Error (%)
X, Y
Hz
2790
2516
10.8
Z
Hz
1745
1820
4.12
θx, θy
Hz
2357
2220
6.17
θz
Hz
276
284
2.8
表6 模態(tài)分析的結(jié)果
表6是仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行的比較。實(shí)驗(yàn)和分析模型之間的最大誤差為10.8％，這是一個(gè)合理的結(jié)果。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的模態(tài)分析對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。
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