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4.萬有引力理論的成就,一、計(jì)算天體的質(zhì)量,1.地球質(zhì)量的計(jì)算:(1)依據(jù):地球表面的物體,若不考慮地球自轉(zhuǎn),物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力,即mg=________。(2)結(jié)論:M=______,只要知道g、R的值,就可計(jì)算出地球的質(zhì)量。,2.太陽(yáng)質(zhì)量的計(jì)算:(1)依據(jù):質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),行星與太陽(yáng)間的萬有引力充當(dāng)向心力,即=_______。(2)結(jié)論:M=_______,只要知道行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r就可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量。,3.行星質(zhì)量的計(jì)算:與計(jì)算太陽(yáng)質(zhì)量一樣,若已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r,可計(jì)算行星的質(zhì)量M,公式是M=_________。,二、發(fā)現(xiàn)未知天體1.海王星的發(fā)現(xiàn):英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生_______和法國(guó)年輕的天文學(xué)家_______根據(jù)天王星的觀測(cè)資料,利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日,德國(guó)的_____在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星。,亞當(dāng)斯,勒維耶,伽勒,2.其他天體的發(fā)現(xiàn):近100年來,人們?cè)诤Ｍ跣堑能壍乐庥职l(fā)現(xiàn)了_______、鬩神星等幾個(gè)較大的天體。,冥王星,【思考辨析】(1)天王星是依據(jù)萬有引力定律計(jì)算的軌道而發(fā)現(xiàn)的。()(2)海王星的發(fā)現(xiàn)確立了萬有引力定律的地位。()(3)牛頓根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出了海王星的軌道。(),(4)地球表面的物體的重力必然等于地球?qū)λ娜f有引力。()(5)若只知道某行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑,則可以求出太陽(yáng)的質(zhì)量。()(6)若知道某行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度,則可以求出太陽(yáng)的質(zhì)量。(),提示:(1)。人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算的軌道發(fā)現(xiàn)的是海王星等,不是天王星。(2)√。海王星的發(fā)現(xiàn)有力證實(shí)了萬有引力定律的正確性。(3)。計(jì)算出海王星軌道的是亞當(dāng)斯和勒維耶。(4)。地球表面的物體的重力一般小于地球?qū)λ娜f有引力,忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí),地球表面的物體的重力才等于地球?qū)λ娜f有引力。,(5)。只知道某行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑,不能求出太陽(yáng)的質(zhì)量。(6)√。由G=mvω及v=ωr得M=,故若知道某行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度,則可以求出太陽(yáng)的質(zhì)量。,一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算【典例】(2018全國(guó)卷Ⅱ)2018年2月,我國(guó)500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”,其自轉(zhuǎn)周期T=5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體,已知萬有引力常量為6.6710-11Nm2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為,A.5109kg/m3B.51012kg/m3C.51015kg/m3D.51018kg/m3,【素養(yǎng)解讀】,【正確解答】選C。星體自轉(zhuǎn)的最小周期發(fā)生在其赤道上的物質(zhì)所受向心力正好全部由引力提供時(shí),根據(jù)牛頓第二定律:;又因?yàn)閂=πR3、ρ=;聯(lián)立可得ρ=≈51015kg/m3,選項(xiàng)C正確。,【核心歸納】1.天體密度的計(jì)算:計(jì)算天體密度的基本思路:若天體的半徑為R,則天體的密度ρ=(1)將M=代入上式得:ρ=。,(2)將M=代入上式得:ρ=當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí),其軌道半徑r等于天體半徑R,則ρ=,2.天體質(zhì)量的計(jì)算:,【易錯(cuò)提醒】(1)利用=mg求天體的質(zhì)量時(shí),g是所求天體表面的重力加速度,且計(jì)算的前提是忽略了天體的自轉(zhuǎn)。(2)由F引=F向求得的質(zhì)量為中心天體的質(zhì)量,而不是做圓周運(yùn)動(dòng)的天體的質(zhì)量。,【過關(guān)訓(xùn)練】1.(2017北京高考)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù),不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A.地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期,C.月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D.地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離,【解析】選D。不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下,在地球表面,重力等于萬有引力,能計(jì)算出地球的質(zhì)量;人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),,又有v=,已知速度及周期時(shí),聯(lián)立可求得地球的質(zhì)量;月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),在已知周期和地月間距離的情況下,可,以求出地球的質(zhì)量;地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),我們只能求出中心天體太陽(yáng)的質(zhì)量,不能求出地球的質(zhì)量,故選D。,2.已知金星和地球的半徑分別為R1、R2,金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2,則金星與地球的質(zhì)量之比為(),【解析】選A。根據(jù)星球表面物體重力等于萬有引力,即mg=,得M=,所以有,故A正確,B、C、D錯(cuò)誤。,3.(多選)一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌道半徑為r,衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,已知地球的半徑為R,地球表面的重力加速度為g,引力常量為G,則地球的質(zhì)量可表示為(),【解析】選A、C。根據(jù)得,M=選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤;在地球的表面附近有mg=則M=選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.有一星球X的密度與地球的密度相同,但它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍,則該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量的比值為()A.3B.27C.D.9,【解析】選B。在不考慮星球自轉(zhuǎn)的時(shí)候,星球表面物體的重力等于萬有引力,即=mg,故X星球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值又M=ρπR3,所以B正確。,2.(多選)利用下列哪種數(shù)據(jù),可以算出地球的質(zhì)量(引力常量G已知)()A.已知地面的重力加速度gB.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期TC.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和線速度vD.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T,【解析】選B、C、D。在地面附近重力近似等于萬有引力,即若想計(jì)算地球的質(zhì)量,需要知道g、R和G,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力,即故M=選項(xiàng)B、C正確;由選項(xiàng)D正確。,二天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算考查角度1天體運(yùn)動(dòng)的定性分析問題【典例1】人造地球衛(wèi)星以地心為圓心,做勻速圓周運(yùn)動(dòng),下列說法正確的是A.半徑越大,速度越小,周期越小B.半徑越大,速度越小,周期越大C.所有衛(wèi)星的速度均是相同的,與半徑無關(guān)D.所有衛(wèi)星的角速度均是相同的,與半徑無關(guān),【解析】選B。由萬有引力提供向心力可知,故半徑越大,速度越小,角速度越小,周期越大,故選項(xiàng)B正確。,【核心歸納】天體運(yùn)動(dòng)定性分析的方法設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)由r越大,天體的v越小。(2)由r越大,天體的ω越小。,(3)由r越大,天體的T越大。(4)由r越大,天體的an越小。以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定,越遠(yuǎn)越慢,越遠(yuǎn)越小”。,考查角度2天體運(yùn)動(dòng)的定量計(jì)算問題【典例2】海王星的發(fā)現(xiàn)是萬有引力定律應(yīng)用的一個(gè)非常成功的范例,但是在發(fā)現(xiàn)海王星后,人們又發(fā)現(xiàn)海王星的軌道與理論計(jì)算值有較大的差異,于是沿用了發(fā)現(xiàn)海王星的方法經(jīng)過多年的努力,才由美國(guó)的洛維爾天文臺(tái)在理論計(jì)算出的軌道附近天區(qū)內(nèi)找到了質(zhì)量比理論值小得多的冥王星。冥王星繞太陽(yáng)運(yùn)行半徑是40個(gè)天,文單位(地球和太陽(yáng)之間的距離為一個(gè)天文單位)。求冥王星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的線速度之比。,【正確解答】設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M,行星運(yùn)行的線速度為v,行星的質(zhì)量為m。根據(jù)F引=F向得對(duì)于這兩個(gè)星體GM是一樣的。答案:1∶2,【核心歸納】1.解決天體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路:一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng),所需要的向心力都由中心天體對(duì)它的萬有引力提供,所以研究天體時(shí)可建立基本關(guān)系式:=ma,式中a是向心加速度。,2.常用的關(guān)系式:(1)萬有引力全部用來提供行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。(2)mg=即gR2=GM,物體在天體表面時(shí)受到的引力等于物體的重力。該公式通常被稱為黃金代換式。,【過關(guān)訓(xùn)練】1.(2018江蘇高考)我國(guó)高分系列衛(wèi)星的高分辨對(duì)地觀察能力不斷提高。今年5月9日發(fā)射的“高分五號(hào)”軌道高度約為705km,之前已運(yùn)行的“高分四號(hào)”軌道高度約為36000km,它們都繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。與“高分四號(hào)”相比,下列物理量中“高分五號(hào)”較小的是()A.周期B.角速度C.線速度D.向心加速度,【解析】選A。衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),滿足由此可推出,半徑r越小,周期T越小,選項(xiàng)A正確,半徑r越小,角速度ω、線速度v、向心加速度a越大,選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。,2.“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器是我國(guó)嫦娥工程二期中的一個(gè)探測(cè)器,是中國(guó)第一個(gè)月球軟著陸的無人登月探測(cè)器。設(shè)“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng),它距月球表面的高度為h,已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R,引力常量為G,則衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度為多少?線速度為多少?,【解析】衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m,由萬有引力提供向心力知解得答案:,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.我國(guó)古代神話傳說中:地上的“凡人”過一年,天上的“神仙”過一天。如果把看到一次日出就當(dāng)作“一天”,某衛(wèi)星的運(yùn)行半徑為月球繞地球運(yùn)行半徑的,則該衛(wèi)星上的宇航員24h內(nèi)在太空中度過的“天”數(shù)約為(已知月球的運(yùn)行周期為27天)()A.1B.8C.16D.24,【解析】選B。根據(jù)天體運(yùn)動(dòng)的公式解得衛(wèi)星運(yùn)行的周期為3h,故24h內(nèi)看到8次日出,B項(xiàng)正確。,2.在同一軌道平面上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A、B、C,某時(shí)刻恰好在同一過地心的直線上,如圖所示,當(dāng)衛(wèi)星B經(jīng)過一個(gè)周期時(shí)(),A.A超前于B,C落后于BB.A超前于B,C超前于BC.A、C都落后于BD.各衛(wèi)星角速度相等,因而三顆衛(wèi)星仍在同一直線上,【解析】選A。由可得T=2π,故軌道半徑越大,周期越大。當(dāng)B經(jīng)過一個(gè)周期時(shí),A已經(jīng)完成了一個(gè)多周期,而C還沒有完成一個(gè)周期,所以選項(xiàng)A正確,B、C、D錯(cuò)誤。,【拓展例題】考查內(nèi)容:天體運(yùn)動(dòng)中的臨界問題【典例】一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量為G,若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對(duì)天體表面壓力恰好為零,則天體自轉(zhuǎn)周期為(),【正確解答】選D。物體隨天體一起自轉(zhuǎn),當(dāng)萬有引力全部提供向心力時(shí),物體對(duì)天體的壓力恰好為零,則選項(xiàng)D正確。,