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中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,1,控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)抽象。要對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行定量（精確）地分析和設(shè)計(jì)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。物理量：高度、速度、溫度、壓力、流量、電壓、電流。數(shù)學(xué)表達(dá)式：代數(shù)方程、微分方程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量對(duì)時(shí)間的變化率，反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。用微分方程描述,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,2,建模方法：分析法、實(shí)驗(yàn)法,◆分析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律（定律、經(jīng)驗(yàn)公式）和結(jié)構(gòu)參數(shù)，寫出系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系式（運(yùn)動(dòng)方程式）。,利用物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流、電壓定律、能量守恒定律和熱力學(xué)定律等。,,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,3,◆實(shí)驗(yàn)法（黑箱法、辨識(shí)法）：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識(shí)出數(shù)學(xué)模型或用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。,系統(tǒng)辨識(shí)（數(shù)學(xué)建模）是一門獨(dú)立學(xué)科,模型驗(yàn)證：將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近。,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,4,本章內(nèi)容概要,第一節(jié)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-拉氏變換及其應(yīng)用第二節(jié)控制系統(tǒng)微分方程的建立第三節(jié)傳遞函數(shù)第四節(jié)控制系統(tǒng)建模示例第五節(jié)控制系統(tǒng)的方框圖及其等效變換第六節(jié)信號(hào)流圖,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,5,第一節(jié)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-拉氏變換及其應(yīng)用,一、拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t0時(shí)，f(t)分段連續(xù)則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作控制工程上函數(shù)都滿足拉氏變換要求：能量有限,,,,,,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,6,3、指數(shù)函數(shù)：,4、冪函數(shù)：,1、脈沖函數(shù)：,2、階躍函數(shù)：,二、常用函數(shù)的拉式變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,7,三、拉氏變換的基本定理,1.線性定理：,2.延遲定理：,3.微分定理：,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,8,零初始條件：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都等于零,在零初始條件下，,5.初值定理：若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的初值為,4.積分定理：,三、拉氏變換的基本定理,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,9,注意：在運(yùn)用終值定理前必須先判定終值定理中的條件是否都滿足，比如,在虛軸上有極點(diǎn),在右半平面上有極點(diǎn),6.終值定理：若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的終值為,以上函數(shù)不能使用終值定理,前提：sF(s)在包含虛軸的右半平面內(nèi)解析（無極點(diǎn)）,三、拉氏變換的基本定理,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,10,F(s)化成下列因式分解形式：,四、拉氏反變換,◆F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可（留數(shù)法）展開為,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,11,例2.1求的反拉氏變換,四、拉氏反變換,將F(s)的分母因式分解為,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,12,例2.2求的原函數(shù),將F(s)的分母因式分解為,四、拉氏反變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,13,四、拉氏反變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,14,,,,◆F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為,其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。,四、拉氏反變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,15,例求的原函數(shù),四、拉氏反變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,16,四、拉氏反變換,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,17,線性微分方程的求解方法：,解析法、拉普拉斯變換法、計(jì)算機(jī)輔助求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。,,（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。,,（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。,,五、用拉氏變換求解微分方程,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,18,例2.5設(shè)線性微分方程為,式中，為單位階躍函數(shù)，初始條件為，，試求該微分方程的解。,解：,（1）對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換得,,（2）將初始條件代入上式，得,五、用拉氏變換求解微分方程,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,19,（3）對(duì)式（1）進(jìn)行分解：,式中,對(duì)Y（S）進(jìn)行拉式反變換（查表）,五、用拉氏變換求解微分方程,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,20,一.建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,第二節(jié)控制系統(tǒng)微分方程的建立,,，,都是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù)。如果微分方程的系數(shù)都不隨時(shí)間的變化而變化，稱為定常系統(tǒng)；,如果微分方程的系數(shù)都不隨空間位置的變化而變化，稱為集中參數(shù)系統(tǒng)。,由線性定常集中參數(shù)元件構(gòu)成的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng),中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,21,線性定常系統(tǒng)微分方程的建立步驟,第二步：按照信號(hào)傳遞的順序，根據(jù)各變量所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程。需考慮相鄰元件間的負(fù)載效應(yīng)，必要時(shí)考慮做線性化處理。,第一步：確定系統(tǒng)（或元件）的輸入量、輸出量。,利用適當(dāng)?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,第三步：消去中間變量，導(dǎo)出只含有輸入量和輸出量的系統(tǒng)微分方程。,第四步：規(guī)范、整理微分方程。輸出量放在方程右側(cè)，輸入量放在方程左側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階次按降冪排列。,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,22,例2.6如圖所示，寫出RLC電路的微分方程。,二階線性微分方程,解：明確輸入量，輸出量,各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式,消去中間變量，整理得到,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,23,例2.7已知RC濾波網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試寫出網(wǎng)絡(luò)輸入輸出間的微分方程。,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,,解該網(wǎng)絡(luò)由兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)而成。在列寫微分方程時(shí)，必須考慮后級(jí)電路是否對(duì)前級(jí)電路產(chǎn)生影響。,只有當(dāng)后一環(huán)節(jié)的輸入阻抗很大，對(duì)前面環(huán)節(jié)的影響可以忽略時(shí)，才可以單獨(dú)地分別列寫每個(gè)環(huán)節(jié)的方程。,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,24,在考慮負(fù)載效應(yīng)的情況下，微分方程的列寫步驟如下：,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,（1）根據(jù)基爾霍夫定律，寫出下面原始方程組,,（2）消去中間變量,，得,,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,25,列寫如圖所示電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓Ua為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ω為輸出量，列寫微分方程。圖中R、L分別是電樞電路的電阻和電感，ML為折算到電動(dòng)機(jī)上的等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩，視為干擾輸入。,例2.9電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī),,,電,樞,控,制,直,流,電,動(dòng),機(jī),原,理,圖,,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,26,解：,電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia，再由電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距M，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下兩個(gè)部分的平衡方程組成。電樞回路電壓平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,27,,①,ed是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓ua相反，即ed=keω②ke－電勢(shì)常數(shù)(Vs/rad),電樞回路電壓平衡方程：,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,28,,③,④,-電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距,-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù),電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：,Jm－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的）,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,29,③,④,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,ed=keω②,①,⑤,⑥,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,30,⑦,由⑥求出ia，代入⑤得：,為方便起見，上式可以記為：,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,31,⑧,在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感L較小，通常忽略不計(jì)。,令干擾力矩,一、建立控制系統(tǒng)微分方程的一般方法,如果電阻Ra和電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都可以忽略不計(jì)，⑧可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為,這樣的電機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)來使用,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,32,疊加原理表明：兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出等于各個(gè)外單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的輸出之和。且外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，其輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。,二、線性系統(tǒng)的基本特性,用線性微分方程描述的元件或系統(tǒng)，稱為線性元件或線性系統(tǒng)。,線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。疊加原理有兩重含義:可疊加性和齊次性,,,,,,,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,33,三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,1．問題的提出嚴(yán)格地講，一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)都會(huì)含有不同程度的非線性因素，如元件的死區(qū)、傳動(dòng)的間隙、輸出飽和等，然而許多非線性元件或系統(tǒng)在一定條件下可以近似地視為線性系統(tǒng)。,2．增量方程與非線性方程的線性化,系統(tǒng)中所包含的有關(guān)變量的非線性函數(shù)，只要在平衡工作點(diǎn)附近連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在，在平衡點(diǎn)附近做小范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以將此非線性函數(shù)以其自變量偏差的形式展開為泰勒級(jí)數(shù)。,對(duì)于線性系統(tǒng)而言。輸入輸出變量相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的變化增量仍滿足描述系統(tǒng)的微分方程關(guān)系。,如果此偏差很小，則可忽略級(jí)數(shù)中此偏差的高次項(xiàng)，而只保留一次項(xiàng)，用所得到線性化方程代替原來的非線性方程，這種線性化方法叫做小偏差線性化,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,34,三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,盡管相應(yīng)工作點(diǎn)通常不在坐標(biāo)原點(diǎn)，但是我們用各變量的增量表示該變量，可以認(rèn)為將坐標(biāo)原點(diǎn)移到了額定工作點(diǎn)。這樣在以增量表示的新坐標(biāo)系中，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)就等于零了，這是我們省略△,,設(shè)有一單變量非線性函數(shù),在平衡工作點(diǎn),附近將,按泰勒級(jí)數(shù)展開，即,,,,,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院,自動(dòng)控制原理,35,三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,例2.10設(shè)三相橋式晶閘管整流電路的輸入量為控制角,，輸出量為整流電壓,它們之間的關(guān)系是非線性的,,假如正常額定工作點(diǎn)為A,,此時(shí),設(shè)控制角以工作點(diǎn)A為基準(zhǔn)在小范圍內(nèi)變化控制角和整流電壓之間的關(guān)系可以線性化為：,,,,