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第八節(jié)解三角形的應(yīng)用,第三章三角函數(shù)與解三角形,,考綱要求,能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.,,課前自修,知識梳理,一、實(shí)際問題中的相關(guān)術(shù)語、名稱1．方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角[如圖(1)].2．方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45，西偏北60等．3．仰角與俯角：指視線與水平線的夾角，視線在水平線上方的角叫仰角．視線在水平線下方的角叫俯角[如圖(2)]．,(3),4．坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)[如圖(3)，角θ為坡角].坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比,二、正、余弦定理可以解決的實(shí)際問題距離或?qū)挾?有障礙物)、高度(底部或頂部不能到達(dá))、角度(航?；蚝娇斩ㄎ?、面積等．,基礎(chǔ)自測,1．如右圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)()A．α，a，bB．a(chǎn)，b，γC．α，β，aD．α，β，b,解析：由于A與B不可到達(dá)，故不易測量α，β，而a，b，γ容易測出．故選B.答案：B,2．如圖所示，為測量一棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度h為()A．(15＋3)mB．(30＋15)mC．(30＋30)mD．(15＋30)m,,3．(2012杭州市模擬)如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D.測得∠BCD＝75，∠BDC＝60，CD＝30m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB＝______m.,4．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為____________．,,考點(diǎn)探究,,考點(diǎn)一,高度問題,【例1】在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處，測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10m至點(diǎn)D處，測得頂端A的仰角為4θ，求θ的大小和建筑物AE的高度．,,思路點(diǎn)撥：根據(jù)幾個(gè)已知的仰角，把其他幾個(gè)角表示出來，設(shè)AE＝h，可以在三個(gè)直角三角形和兩個(gè)斜三角形中解決問題，因此方法較多．自主解答：,點(diǎn)評：高度的測量借助于兩個(gè)或者多個(gè)三角形進(jìn)行，基本思想是把測量的高所在線段納入到一個(gè)(或兩個(gè))可解三角形中.測量底部不可到達(dá)的物體的高度，通常在基線上選取兩個(gè)觀測點(diǎn)，在同一平面內(nèi)至少測量三個(gè)數(shù)據(jù)(角邊角)，解兩個(gè)三角形，運(yùn)用解方程思想解決問題．,變式探究,1．從某電視塔的正東方向A處，測得塔頂仰角是60；從電視塔的西偏南30的B處，測得塔頂仰角為45，A，B間的距離是35m，則此電視塔的高度______m(結(jié)果保留根號)．,,,考點(diǎn)二,距離問題,【例2】某市電力部門在抗洪救災(zāi)的某項(xiàng)重建工程中，需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測量A，B兩地距離.現(xiàn)測量人員在相距km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長度大約應(yīng)該是A，B距離的倍．問：施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線？,思路點(diǎn)撥：連接AB，這樣，所求線段就在△ABC和△ABD中，再依據(jù)題設(shè)條件求出這兩個(gè)三角形中的某一個(gè)三角形的兩條邊，就可以使用余弦定理求得AB的距離．自主解答：,點(diǎn)評：距離的測量問題，關(guān)鍵是把測量目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中，若三角形可解，則至少要知道這個(gè)三角形的一條邊長．本題中把測量目標(biāo)納入到△ABC或者△ABD皆可，再通過△ACD和△BCD求出邊長，這樣，再利用余弦定理就可以解決問題．,變式探究,2．如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問：乙船每小時(shí)航行多少海里？,,,,考點(diǎn)三,角度問題,【例3】(2011北京市海淀區(qū)模擬)如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問：乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)．參考數(shù)據(jù)：sin41≈，sin15＝,變式探究,3．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以每小時(shí)10海里的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以每小時(shí)10海里的速度從B處向北偏東30方向逃竄．問：緝私船沿什么方向能最快追上走私船？,,,,課時(shí)升華,應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形的應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析：審題，理解題意，分清已知與未知，根據(jù)題意作出示意圖；(2)建模：確定實(shí)際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程(組)；(3)求解：選擇正弦、余弦定理及面積公式等有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．,,感悟高考,品味高考,1．(2011上海卷)在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為______千米．,,2．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．,高考預(yù)測,1．(2012韶關(guān)市調(diào)研)為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測算A，B兩點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105，∠BCA＝45，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(),A．50mB．50mC．25mD.m,,,,,2．已知A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40處，A，B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為____________km.,解析：如圖，由題意可得，∠ACB＝120，AC＝2，AB＝3.設(shè)BC＝x，則由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BCACcos120，即32＝22＋x2－22xcos120，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1(舍去x＝－－1)．答案：－1,,,,感謝您的使用，退出請按ESC鍵,本小節(jié)結(jié)束,