《（全國(guó)通用）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt（96頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2014—2018年全國(guó)中考題組考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念,五年中考,1.(2018重慶,5,4分)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm,6cm和9cm,另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5cm,則它的最長(zhǎng)邊為()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm,答案C設(shè)所求最長(zhǎng)邊為xcm,由題意知兩個(gè)三角形相似,根據(jù)相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例,可列等式=,解得x=4.5,故選C.,2.(2017黑龍江哈爾濱,9,3分)如圖,在△ABC中,D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),連接AF交DE于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中一定正確的是()A.=B.=C.=D.=,答案C根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可知=,=,=,=,所以選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確.故選C.,3.(2017四川成都,8,3分)如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA=2∶3,則四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為()A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.∶,答案A由位似圖形的性質(zhì)知==,所以==.故選A.,4.(2015甘肅蘭州,5,4分)如圖,線(xiàn)段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1,2)、D(2,0),以原點(diǎn)為位似中心,將線(xiàn)段CD放大得到線(xiàn)段AB,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),由位似圖形的性質(zhì)知,==,得x=2.5,y=5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2.5,5).故選B.,5.(2016廣西南寧,21,8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;(2)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小為原來(lái)的,得到△A2B2C2,請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫(huà)出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.,解析(1)△A1B1C1為所求作三角形.(3分)(2)△A2B2C2為所求作三角形.根據(jù)勾股定理得:A2C2==,∴sin∠A2C2B2==.(8分),1.(2017陜西,8,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為()A.B.C.D.,考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定,答案B由題意得∠AFB=∠D=∠BAD=90,∴∠FAB+∠DAE=90,∠FAB+∠ABF=90,∴∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,則=,即==3,設(shè)AF=x(x>0),則BF=3x,在Rt△ABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=(負(fù)值舍去),所以3x=,即BF=.故選B.,2.(2017四川綿陽(yáng),6,3分)為測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度,小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理.她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺,先將鏡子放在腳下的地面上,然后后退,直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,標(biāo)記好腳掌中心位置為B,測(cè)得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50cm,鏡面中心C距旗桿底部D的距離為4m,如圖所示.已知小麗同學(xué)的身高是1.54m,眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x為4cm,則旗桿DE的高度等于()A.10mB.12mC.12.4mD.12.32m,答案B由題意可得∠ACB=∠ECD,∠ABC=∠EDC,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴=,∴ED=12m,故選B.,3.(2015內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)如圖,有一塊矩形紙片ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊,使得AD邊落在AB邊上,折痕為AE,再將△AED沿DE向右翻折,AE與BC的交點(diǎn)為F,則△CEF的面積為()A.B.C.2D.4,答案C在題中的第三個(gè)圖中,AD=6,AB=4,DE=6,因?yàn)锽F∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以=,即=,解得BF=4,所以CF=2,所以S△CEF=CECF=2.,4.(2018吉林,12,3分)如圖是測(cè)量河寬的示意圖,AE與BC相交于點(diǎn)D,∠B=∠C=90.測(cè)得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=m.,答案100,解析易知△ABD∽△ECD,∴=,又∵BD=120m,DC=60m,EC=50m,∴AB=100m.,5.(2018內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在?ABCD中,AC是一條對(duì)角線(xiàn),EF∥BC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接DF.若S△AEF=1,則S△ADF的值為.,答案,解析∵3AE=2EB,∴=,又EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴==,∵S△AEF=1,∴S△ABC=.在?ABCD中,S△ACD=S△ABC=,∴S△ADF=S△ACD=.,6.(2018江西,14,6分)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線(xiàn),BD交AC于點(diǎn)E.求AE的長(zhǎng).,解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.∴∠CBD=∠D,=.∴BC=CD.∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,∴=,∴AE=4.,7.(2018湖北武漢,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90.(1)如圖1,分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為M、N,求證:△ABM∽△BCN;(2)如圖2,P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=∠C,tan∠PAC=,求tanC的值;(3)如圖3,D是邊CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),AE=AB,∠DEB=90,sin∠BAC=,=,直接寫(xiě)出tan∠CEB的值.,解析(1)證明:∵∠M=∠N=∠ABC=90,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90,∴∠MAB=∠NBC,∴△ABM∽△BCN.(2)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP交AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PC交BC于點(diǎn)N,則△PMN∽△APB.∴==tan∠PAC=,設(shè)PN=2t,則AB=t.∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易得△ABP∽△CBA,∴AB2=BPBC,∴(t)2=BP(BP+4t),∴BP=t,∴BC=5t,∴tanC=.,(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC==,∴tan∠BAC==.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE交EB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,∵∠DEB=90,∴CH∥AG∥DE,∴==,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,∴===,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,,∴==,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在Rt△CEH中,tan∠CEB==.,8.(2017湖北武漢,23,10分)已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.(1)如圖1,若∠ABC=∠ADC=90,求證EDEA=ECEB;(2)如圖2,若∠ABC=120,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積;(3)如圖3,另一組對(duì)邊AB,DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)(用含n的式子表示).,解析(1)證明:∵∠ADC=90,∠EDC+∠ADC=180,∴∠EDC=90,又∠ABC=90,∴∠EDC=∠ABC,又∠E為公共角,∴△EDC∽△EBA,∴=,∴EDEA=ECEB.(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,交AE于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB,交EB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.在Rt△CDF中,cos∠FDC=,∴=,又CD=5,∴DF=3,∴CF==4,,又S△CDE=6,∴EDCF=6,∴ED==3,∴EF=ED+DF=6.∵∠ABC=120,∠G=90,∠G+∠BAG=∠ABC,∴∠BAG=30,在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG==6,∵CF⊥AD,AG⊥EB,∴∠EFC=∠G=90,又∠E為公共角,∴△EFC∽△EGA,∴=,∴=,∴EG=9,∴BE=EG-BG=9-6,∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CED=BEAG-6=(9-6)6-6,=75-18.(3)AD=.詳解:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD,交AE于點(diǎn)H,則CH=4,DH=3,∴EH=n+3,∴tan∠E=.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF,交DF于點(diǎn)G,設(shè)AD=5a,則DG=3a,AG=4a,∴FG=FD-DG=5+n-3a,由CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F知△AFG∽△CEH,∴=,∴=,∴=,∴a=,∴AD=.,9.(2016福建福州,25,12分)如圖,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC邊上截取AD=BC,連接BD.(1)通過(guò)計(jì)算,判斷AD2與ACCD的大小關(guān)系;(2)求∠ABD的度數(shù).,解析(1)∵AD=BC=,∴AD2==.∵AC=1,∴CD=1-=,∴AD2=ACCD.(2)∵AD2=ACCD,AD=BC,∴BC2=ACCD,即=.又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴=.又AB=AC,∴BD=BC=AD.∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.,設(shè)∠A=∠ABD=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180,解得x=36.∴∠ABD=36.,1.(2015天津,16,3分)如圖,在△ABC中,DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長(zhǎng)為.,答案,解析∵DE∥BC,∴=,∴=,∴=,∴DE=.,2.(2018安徽,17,8分)如圖,在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的1010網(wǎng)格中,已知點(diǎn)O,A,B均為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn).(1)在給定的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,將線(xiàn)段AB放大為原來(lái)的2倍,得到線(xiàn)段A1B1(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1).畫(huà)出線(xiàn)段A1B1;(2)將線(xiàn)段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線(xiàn)段A2B1.畫(huà)出線(xiàn)段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是個(gè)平方單位.,解析(1)線(xiàn)段A1B1如圖所示.(3分)(2)線(xiàn)段A2B1如圖所示.(6分)(3)20.(8分)提示:根據(jù)(1)(2)可知四邊形AA1B1A2是正方形,邊長(zhǎng)為=2,∴以A,A1,B1,A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積為(2)2=20(個(gè)平方單位).,3.(2018陜西,20,7分)周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬.測(cè)量時(shí),他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹(shù),將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線(xiàn).已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測(cè)得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測(cè)量示意圖如圖所示.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息,求河寬AB.,解析∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90.∵∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,(3分)∴=.(5分)∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.∴=,∴AB=17m.∴河寬AB為17m.(7分),4.(2015寧夏,20,6分)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1;(2)以M點(diǎn)為位似中心,在網(wǎng)格中畫(huà)出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2,使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2∶1.,解析(1)如圖所示.(3分)(2)如圖所示.(6分),答案D∵四邊形ABCD是平行四邊形,E是AB的中點(diǎn),∴==,∴=,=,∴=.,2.(2017重慶A卷,8,4分)若△ABC∽△DEF,相似比為3∶2,則對(duì)應(yīng)高的比為()A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶9,答案A相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比,所以選A.,3.(2018遼寧沈陽(yáng),16,3分)如圖,△ABC是等邊三角形,AB=,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)H是線(xiàn)段AD上一點(diǎn),連接BH、CH,當(dāng)∠BHD=60,∠AHC=90時(shí),DH=.,答案,4.(2017四川綿陽(yáng),18,3分)如圖,過(guò)銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,在AF上取點(diǎn)M,使得AM=AF,連接CM并延長(zhǎng)交直線(xiàn)DE于點(diǎn)H.若AC=2,△AMH的面積是,則的值是.,答案8-,解析過(guò)H作HG⊥AC于點(diǎn)G,如圖.∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠CAF.∵DE∥BF,∴∠EAF=∠AFC,∴∠CAF=∠AFC,∴CF=CA=2.∵AM=AF,∴AM∶MF=1∶2.∵DE∥BF,∴===,,∴AH=1,S△AHC=3S△AHM=,∴2GH=,∴GH=,∴在Rt△AHG中,AG==,∴GC=AC-AG=2-=,∴==8-.,5.(2014黑龍江哈爾濱,20,3分)如圖,在△ABC中,4AB=5AC,AD為△ABC的角平分線(xiàn),點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,EF⊥AD于點(diǎn)F,點(diǎn)G在AF上,FG=FD,連接EG交AC于點(diǎn)H,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),則的值為.,答案,解析∵EF⊥AD,FG=FD,∴EF垂直平分GD,∴EG=ED,∴∠EGD=∠EDG,∴∠AGH=∠ADB,又∵∠BAD=∠HAG,∴△ABD∽△AHG,∴=.∵4AB=5AC,AH=AC,∴=,∴=,∴=.∴=.,6.(2016江蘇南京,15,2分)如圖,AB、CD相交于點(diǎn)O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位線(xiàn),且EF=2,則AC的長(zhǎng)為.,答案,解析∵EF是△ODB的中位線(xiàn),∴OE=OD=,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,∴=,∴=,∴AC=.,7.(2016湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,則BD長(zhǎng)為.,答案2,解析如圖,連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.∵∠ABC=90,AB=3,BC=4,∴AC=5,∵CD=10,DA=5,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90,∴∠ACB+∠DCE=90,∵∠ACB+∠BAC=90,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90,∴△ABC∽△CED,∴==,即==,∴CE=6,DE=8.在Rt△BED中,BD===2.,8.(2015重慶,15,4分)已知△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為4∶1,則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)邊上的高之比為.,答案4∶1,解析兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比,所以答案是4∶1.,9.(2015江蘇連云港,25,10分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90,BC=3,D為AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),AC=3CD.過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.(1)求BDcos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的長(zhǎng).,解析(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90,∵∠ACB=∠DCH,∴△ABC∽△DHC,∴=.∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中,cos∠HBD=,∴BDcos∠HBD=BH=4.(4分)(2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD.(6分)∴=.由(1)知△ABC∽△DHC,,∴==,∴AB=3DH.∴=,DH=2,∴AB=6.(10分)解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA.∴=,BD2=CDAD,∴BD2=CD4CD=4CD2.∴BD=2CD.(6分)∵△CDB∽△BDA,∴=,∴=,∴AB=6.(10分),10.(2015福建福州,25,13分)如圖①,在銳角△ABC中,D,E分別為AB,BC中點(diǎn),F為AC上一點(diǎn),且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于點(diǎn)M.(1)求證:DM=DA;(2)點(diǎn)G在BE上,且∠BDG=∠C,如圖②,求證:△DEG∽△ECF;(3)在圖②中,取CE上一點(diǎn)H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的長(zhǎng).,解析(1)證明:∵DM∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)證明:∵D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),∴DE∥AC.∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.又∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.∴△DEG∽△ECF.,(3)解法一:如圖a所示,圖a∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,∴△BDG∽△BED.∴=,即BD2=BEBG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH∽△ECF.∴=,即EF2=EHEC.,∵DE∥AC,DM∥EF,∴四邊形DEFM是平行四邊形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如圖b,在DG上取一點(diǎn)N,使DN=FH.圖b∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE∥AC,DM∥EF,,∴四邊形DEFM是平行四邊形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如圖c,取AC中點(diǎn)P,連接PD,PE,PH,則PE∥AB.,圖c,∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP∽△CFH.∴=.∴△CEF∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH∥DG.∵D,P分別為AB,AC的中點(diǎn),∴DP∥GH,DP=BC=BE.∴四邊形DGHP是平行四邊形.∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如圖d,作△EHF的外接圓交AC于另一點(diǎn)P,連接PE,PH.,圖d則∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE∥AB.∵DE∥AC,∴四邊形ADEP是平行四邊形.∴DE=AP=AC.∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.,解法五:如圖e,取AC中點(diǎn)P,連接PE,PH,則PE∥AB.圖e∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP∽△CFH.∴=.∴△CEF∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E分別是AB,BC的中點(diǎn),∴DE=AC=PC.∴△DEG≌△PCH.,∴CH=EG.∴EH=BG=1.,11.(2015安徽,23,14分)如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線(xiàn),過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線(xiàn),兩垂線(xiàn)交于點(diǎn)G,連接GA、GB、GC、GD、EF,若∠AGD=∠BGC.(1)求證:AD=BC;(2)求證:△AGD∽△EGF;(3)如圖2,若AD、BC所在直線(xiàn)互相垂直,求的值.,解析(1)證明:由題意知GE是AB的垂直平分線(xiàn),∴GA=GB.同理GD=GC.在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC.(5分)(2)證明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.在△AGB和△DGC中,=,∠AGB=∠DGC,∴△AGB∽△DGC.(8分)∴=.又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.(10分)(3)如圖1,延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,則AH⊥BH.,圖1,由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC.在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,∴∠AGB=∠AHB=90,(12分)∴∠AGE=∠AGB=45,∴=.又△AGD∽△EGF,∴==.(14分)(本小題解法有多種,如可按圖2和圖3作輔助線(xiàn)求解,過(guò)程略)圖2圖3,A組2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念,三年模擬,1.(2018甘肅定西一模,8)已知兩點(diǎn)A(5,6)、B(7,2),先將線(xiàn)段AB向左平移一個(gè)單位,再以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將其縮小為原來(lái)的后,得到線(xiàn)段CD,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(2,3)B.(3,1)C.(2,1)D.(3,3),答案A∵線(xiàn)段AB向左平移了一個(gè)單位,∴A點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,6),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為,即(2,3).故選A.,2.(2018黑龍江哈爾濱模擬,8)如圖,已知DE∥BC,EF∥AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是()A.=B.=C.=D.=,答案C∵EF∥AB,∴=,=,故A、D不符合題意;又由EF∥AB可得,==,∴=,故B不符合題意;∵DE∥BC,∴=,故C符合題意.因此選C.,3.(2017吉林長(zhǎng)春,8)如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別在AD和BC上,AB∥EF∥DC,且DE=3,DA=5,CF=4,則FB等于()A.B.C.5D.6,答案B∵AB∥EF∥DC,∴=,∵DE=3,DA=5,CF=4,∴=,∴CB=,∴FB=CB-CF=-4=.故選B.,4.(2016天津河西,6)下列說(shuō)法中正確的有()①位似圖形都相似;②兩個(gè)等腰三角形一定相似;③兩個(gè)相似多邊形的面積比為4∶9,則周長(zhǎng)的比為16∶81;④若一個(gè)三角形的三邊分別比另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)2cm,則這兩個(gè)三角形一定相似.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),答案A易知①正確,②錯(cuò)誤;兩個(gè)相似多邊形的面積比為4∶9,則周長(zhǎng)的比為2∶3,③錯(cuò)誤;兩個(gè)三角形的三邊不一定成比例,④錯(cuò)誤.故選A.,1.(2018天津南開(kāi)一模,10)如圖,平行四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),已知△DEF的面積為S,則四邊形ABCE的面積為()A.8SB.9SC.10SD.11S,考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定,答案B∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴S△DEF∶S△BCF=,又∵E是AD中點(diǎn),∴DE=AD=BC,∴DE∶BC=DF∶BF=1∶2,∴S△DEF∶S△BCF=1∶4,∴S△BCF=4S,易知EF∶FC=1∶2,∴S△DCF=2S,∴=2(S△DCF+S△BCF)=12S,∴四邊形ABCE的面積為9S.故選B.,2.(2017天津紅橋,9)如圖,已知△ABC與△ADE中,∠C=∠AED=90,點(diǎn)E在AB上,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC∽△DAE的是()A.∠B=∠DB.=C.AD∥BCD.∠BAC=∠D,答案A∵∠C=∠AED=90,∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE,故選項(xiàng)A符合題意;∵∠C=∠AED=90,=,∴△ABC∽△DAE,故選項(xiàng)B不符合題意;∵AD∥BC,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠AED=90,∴△ABC∽△DAE,故選項(xiàng)C不符合題意;∵∠BAC=∠D,∠C=∠AED=90,∴△ABC∽△DAE,故選項(xiàng)D不符合題意.故選A.,3.(2016遼寧撫順,9)如圖,在?ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接EC,BD,相交于點(diǎn)F,則△BEF與△DCF的面積比為()A.B.C.D.,答案C∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E是AB的中點(diǎn),∴BE=AB=CD,∵BE∥CD,∴∠BEF=∠DCE,又∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△DCF,∴==.故選C.,4.(2017上海徐匯,13)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在邊CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,連接BE交邊AD于F,如果DE=1,那么AF=.,答案,解析∵四邊形ABCD為正方形,∴∠A=∠ADC=90,AB∥CD,∴∠EDF=180-∠ADC=90=∠A,∠ABF=∠DEF,∴△ABF∽△DEF,∴==3,∵AF+DF=AD=3,∴AF=AD=.,思路分析易得△ABF∽△DEF,所以==3,結(jié)合AF+DF=AD=3可求出AF的長(zhǎng)度.,5.(2017上海靜安,17)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD∶AE等于.,答案3∶2,解析∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,又∠BDC=∠DEC,∴△BDC∽△CED,∴===,∵DE∥BC,∴==.,6.(2016上海徐匯,14)如圖,在?ABCD中,AB=6,AD=4,∠BAD的平分線(xiàn)AE分別交BD、CD于F、E,那么=.,答案,解析在?ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AED=∠EAB,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠DAE=∠AED,∴DE=AD=4,又∵∠DFE=∠AFB,∴△DEF∽△BAF,∴===.,7.(2018甘肅定西一模,24)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中點(diǎn),DE⊥AM于點(diǎn)E.(1)求證:△ADE∽△MAB;(2)求DE的長(zhǎng).,解析(1)證明:由已知得,∠B=90,∠BAD=90,∠DEA=90,∴∠BAM+∠EAD=90,∠EDA+∠EAD=90,∴∠BAM=∠EDA,∴∠AMB=∠EAD,在△ADE和△MAB中,∴△ADE∽△MAB.(2)∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中點(diǎn),∴BM=3,∴AM==5,由(1)知,△ADE∽△MAB,∴=,∴=,解得DE=.,8.(2017上海青浦,23)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AB上,連接CF交線(xiàn)段BE于點(diǎn)G,CG2=GEGD.(1)求證:∠ACF=∠ABD;(2)連接EF,求證:EFCG=EGCB.,證明(1)∵CG2=GEGD,∴=.又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC,∴∠GDC=∠GCE.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC,∴∠ACF=∠ABD.(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE,∴=,即=,又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC,∴=,,∴FECG=EGCB.,思路分析(1)易得△GCD∽△GEC,所以∠GDC=∠GCE.根據(jù)AB∥CD得出∠ABD=∠BDC,進(jìn)而得出結(jié)論;(2)易得△BGF∽△CGE,得=,結(jié)合∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC,進(jìn)而得出結(jié)論.,9.(2016上海徐匯,23)如圖,在△ABC中,AC=BC,點(diǎn)D在邊AC上,AB=BD,BE=ED,且∠CBE=∠ABD,DE與CB交于點(diǎn)F.求證:(1)BD2=ADBE;(2)CDBF=BCDF.,證明(1)∵∠CBE=∠ABD,∴∠ABC=∠DBE,∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,∴∠A=∠DBE,∵AB=BD,∴∠A=∠ADB,∵BE=DE,∴∠DBE=∠BDE,∴∠A=∠ADB=∠DBE=∠BDE,∴△ABD∽△DEB,∴=,∴BD2=ADBE.(2)在△ABC與△DBE中,∴△ABC≌△DBE,∴∠C=∠E,BC=BE,,∵∠CFD=∠EFB,∴△CFD∽△EFB,∴=,∴=,∴CDBF=BCDF.,1.(2018天津紅橋一模,9)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中點(diǎn),在AB上取一點(diǎn)F,使△CBF∽△CDE,則BF的長(zhǎng)是()A.5B.8.2C.6.4D.1.8,B組2016—2018年模擬提升題組(時(shí)間:40分鐘分值:50分)一、選擇題(每小題3分,共9分),答案D∵在平行四邊形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中點(diǎn),∴CD=10,BC=6,DE=3.∵△CBF∽△CDE,∴BF∶DE=BC∶DC,∴BF=6103=1.8.故選D.,2.(2017上海普陀,5)如圖,在四邊形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列條件中不能判定△ADC和△BAC相似的是()A.∠DAC=∠ABCB.CA是∠BCD的平分線(xiàn)C.AC2=BCCDD.=,答案C∵∠ADC=∠BAC,∠DAC=∠ABC,∴△ADC∽△BAC,故A不符合題意;∵CA是∠BCD的平分線(xiàn),∴∠DCA=∠BCA,又∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故B不符合題意;∵=,∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故D不符合題意;由AC2=BCCD,∠ADC=∠BAC不能判定△ADC與△BAC相似,故C符合題意.故選C.,3.(2016四川成都,7)如圖,已知AB、CD、EF都與BD垂直,垂足分別是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的長(zhǎng)是()A.B.C.D.,答案C∵AB、CD、EF都與BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.,4.(2018天津紅橋一模,15)如圖,DE是△ABC的中位線(xiàn),F是DE的中點(diǎn),CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于G,AB=6,則AG=.,二、填空題(每小題3分,共15分),答案2,解析過(guò)E作EM∥AB,與GC交于點(diǎn)M,易知△EMF≌△DGF,∴EM=GD,∵DE是△ABC的中位線(xiàn),∴CE=AC,又∵EM∥AG,∴△CME∽△CGA,∴EM∶AG=CE∶AC=1∶2,又∵EM=GD,,∴AG∶GD=2∶1.∵AD∶AB=1∶2,AD=AG+GD,又AB=6,∴AG=6=2.,5.(2018上海靜安一模,15)如圖,△ABC中,點(diǎn)D在邊AC上,∠ABD=∠C,AD=9,DC=7,那么AB=.,答案12,解析∵∠ABD=∠C,∠BAD=∠CAB,∴△ABD∽△ACB,∴=,即AB2=ACAD,∵AD=9,DC=7,∴AC=16,∴AB2=144,∴AB=12.,6.(2017天津紅橋,17)如圖,△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,AD=BD=3,CD=2,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿線(xiàn)段BA的方向移動(dòng)到點(diǎn)A處后停止,連接CE.若△ADE與△CDE的面積相等,則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是.,答案,解析在Rt△ACD中,AD=3,CD=2,則由勾股定理得AC===.易得當(dāng)DE∥AC時(shí),△ADE與△CDE的面積相等,此時(shí)△BDE∽△BCA,所以=,因?yàn)锳D=BD=3,CD=2,AC=,所以=,所以DE=.,7.(2017甘肅蘭州七里河,20)在矩形ABCD中,∠ABC的平分線(xiàn)BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的平分線(xiàn)EF與DC交于點(diǎn)F,若AB=9,DF=2FC,則BC=.(結(jié)果保留根號(hào)),答案6+3,解析延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,∵矩形ABCD中,∠ABC的平分線(xiàn)BE與AD交于點(diǎn)E,∴∠ABE=∠EBC=45,又AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB=45,∴AB=AE=9,在直角三角形ABE中,BE==9,∵∠BED的平分線(xiàn)EF與DC交于點(diǎn)F,∴∠BEG=∠DEF,,∵AD∥BC,∴∠G=∠DEF,∴∠BEG=∠G,∴BG=BE=9,由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,∴===,設(shè)CG=x,則DE=2x,AD=9+2x=BC,∵BG=BC+CG,∴9=9+2x+x,解得x=3-3,∴BC=9+2(3-3)=6+3.,8.(2016上海閔行,10)如圖,在△ABC中,∠ACB=90,點(diǎn)F在AC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且FD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,如果AD=6,AB=10,ED=2,那么FD=.,答案12,解析∵FD⊥AB,∴∠BDE=∠ADF=90,∵∠ACB=90,∠CEF=∠BED,∴∠F=∠B,∴△ADF∽△EDB,∴=,即=,解得DF=12.,9.(2018吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模,16)如圖,在邊長(zhǎng)均為1的小正方形網(wǎng)格紙中,△OAB的頂點(diǎn)O,A,B均在格點(diǎn)上,且O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上.(1)以O(shè)為位似中心,將△OAB放大,使得放大后的△OA1B1,與△OAB對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比為2∶1,畫(huà)出△OA1B1(所畫(huà)△OA1B1與△OAB在原點(diǎn)兩側(cè));(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo):(3)直接寫(xiě)出tan∠OA1B1的值.,三、解答題(共26分),解析(1)如圖,△OA1B1即為所求.(2)A1(4,0),B1(2,-4).(3)如圖,tan∠OA1B1===2.,10.(2018上海崇明二模,23)如圖,AM是△ABC的中線(xiàn),點(diǎn)D是線(xiàn)段AM上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合).DE∥AB交BC于點(diǎn)K,CE∥AM,連接AE.(1)求證:=;(2)求證:BD=AE.,證明(1)∵DE∥AB,∴∠ABC=∠EKC,∵CE∥AM,∴∠AMB=∠ECK,∴△ABM∽△EKC,∴=,∵AM是△ABC的中線(xiàn),∴BM=CM,∴=.(2)∵CE∥AM,∴=,又∵=,∴DE=AB,又∵DE∥AB,,∴四邊形ABDE是平行四邊形,∴BD=AE.,11.(2016安徽安慶,23)如圖①,平行四邊形ABCD中,AB=AC,CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.(1)求證:△BCE∽△AFC;(2)連接BF,分別交CE、CD于G、H(如圖②),求證:EG=CG;(3)在圖②中,若∠ABC=60,求.,解析(1)證明:∵CE⊥AB,CF⊥AC,∴∠BEC=∠ACF=90,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CB,∴∠CAF=∠ACB,又∵AB=AC,∴∠EBC=∠ACB=∠CAF,∴△BCE∽△AFC.(2)證明:由(1)知△BCE∽△AFC,∴==,∵AD∥BC,AB∥CD,∴==,∴BE=CH,∵AB∥CD,∴∠BEG=∠HCG,∠EBG=∠CHG,在△BGE與△HGC中,∴△BGE≌△HGC,∴EG=CG.,(3)∵∠ABC=60,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,∵CE⊥AB,∴BE=AE=AB,∵BE=CH,AB=CD,∴CH=DH=CD=AB,∵AB∥DH,∴BH=FH,由(2)知BG=GH,∴BG∶GF=1∶3.,