拖拉機(jī)變速箱端面鉆孔專用機(jī)床設(shè)計(jì)（后端面）含8張CAD圖,拖拉機(jī),變速箱,端面,鉆孔,專用,機(jī)床,設(shè)計(jì),cad 分析熔于一冷雙組分金屬粉末層與恒熱流 美國(guó)，MO65211，哥倫比亞州，哥倫比亞大學(xué)，機(jī)械與航天工程系 陳鐵兵,張鈺 2005年2月1日收到，2005年7月18日接受，2005年10月11日在網(wǎng)上發(fā)表 摘要： 熔煉一冷雙組分金屬粉末層進(jìn)行調(diào)查分析. 粉末床考慮的是一個(gè)混合兩種金屬粉末的顯著不同的熔點(diǎn). 收縮所致熔化,是考慮到在物理模型. 溫度分布在液體及固體階段得到利用精確解與積分近似解, 分別. 影響孔隙率,斯特凡數(shù)目,而冷的表面溫度和固液界面也進(jìn)行了研究. 目前的工作提供了強(qiáng)有力的基礎(chǔ),對(duì)復(fù)雜的立體選擇性激光燒結(jié)( SLS )過(guò)程可以 基礎(chǔ). 2005 Elsevier公司有限公司保留所有權(quán)利. 關(guān)鍵詞:熔化; 金屬; 粉層 1. 說(shuō)明 直接有選擇性的激光 焊接(SLS) 是涌現(xiàn)堅(jiān)實(shí)自由格式制造技術(shù)(SFF) 通過(guò)哪3-D 分開(kāi)被修造從基于金屬的粉末床以CAD 數(shù)據(jù)[ 1 ] 。被制造的層數(shù)被創(chuàng)造有選擇性地熔化粉末的薄層以掃描激光束。在焊接層數(shù)以后, 新層數(shù)粉末被放置得相似和3-D 部份可能被建立在層數(shù)由層數(shù)過(guò)程。 一張混雜的金屬粉末床, 包含二型金屬粉末擁有顯著不同熔點(diǎn), 廣泛地被使用在金屬直接SLS 粉末[ 2,3 ] 。高熔點(diǎn)粉末從未融解在焊接過(guò)程和戲劇中一個(gè)重大角色作為支持結(jié)構(gòu)必要避免"煮沸的" 現(xiàn)象, 哪些是球形的形成與近似激光束的直徑。材料分析特殊物質(zhì)物產(chǎn)和方法基于金屬的粉末系統(tǒng)為SLS 應(yīng)用由Storch 等[ 4 ] 并且Tolochko 等演講。 [ 5 ] 。根本問(wèn)題在直接SLS 周到地被回顧由Lu 等[ 6 ] 。在近的充分的密度的制造對(duì)象從金屬粉末, 直接SLS 體會(huì)通過(guò)熔化和resolidification 被被指揮的激光 導(dǎo)致射線。這是一個(gè)好起點(diǎn)調(diào)查被簡(jiǎn)化 1-D 模型得到更好的理解對(duì)熔化處理在直接SLS 在一更加復(fù)雜之前 3-D 模型被調(diào)查。 基本熔化和凝固已廣泛調(diào)查和詳細(xì)的評(píng)語(yǔ)可參。 [7.8]。熔化燒結(jié)的金屬粉末,是明顯不同于正常熔煉由于體積分?jǐn)?shù)的 天然氣在粉末明顯降低后熔化. 因此,有相當(dāng)密度的變化粉末床伴隨熔化過(guò)程.熔化和凝固一維半無(wú)限體密度變化下的邊界條件,對(duì)第一類已由zckert和德雷克[9] ,Crank[10] ,并卡斯勞Legates的[11]和charach和zarmi [12]. 命名： cp 比熱 (J kg
1 K
1) hsl 潛熱融化或凝固(J kg
1) k 導(dǎo)熱 (W m
1 K
1) Kg 因次氣體導(dǎo)熱 Ks 因次有效導(dǎo)熱燒粉 q00 熱流 (W m
2) s 固液界面位置 (m) S 量綱固液界面位置 s0 位置液面 (m) S0 因次液面位置 Sc 冷參數(shù) Ste 斯特凡人數(shù) t 時(shí)間(s) T 溫度 (K) w 速度液相 (m s
1) W 量綱流速的液相 z 坐標(biāo) (m) Z 因次坐標(biāo) 希臘符號(hào) α熱擴(kuò)散(m2 s
1) · 量綱熱擴(kuò)散 β 參數(shù)區(qū)分兩種情況下熔化 δ 熱穿透深度 (m) Δ 因次熱穿透深度 ε 體積氣體(安) (孔隙燒粉) θ因次溫度 ρ密度(kg m
3) τ 因次時(shí)間 φ 體積低熔點(diǎn)粉末粉末混合物 標(biāo) g 燃?xì)? i 初次 l 液相 m 熔點(diǎn) p 制件 s 燒固(混合兩種固體粉末) 應(yīng)當(dāng)指出,在熔化補(bǔ)充下發(fā)生的邊界條件指定熱流而不指明 溫度. 古德曼和Shea [13]研究熔化和凝固的有限板在指定的熱流用 熱平衡積分法. 張等. [14]調(diào)查熔化問(wèn)題,一冷了半地區(qū)遭受恒熱流加熱. 張等. 〔15〕解決熔煉有限板的邊界條件中的第二類用一個(gè)半確切方法. 收縮形成的,由于密度變化,在凝固過(guò)程二維腔數(shù)值金泳三和RO 〔16〕,他的結(jié)論是密度變化發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用比對(duì)流的凝固過(guò)程. 張和Faghri[17]求解了潰壩熔化問(wèn)題,在一個(gè)半無(wú)限雙組份金屬粉末床受到一 不斷加熱熱流. 影響孔隙率的固體階段,初步阻力參數(shù)和量綱導(dǎo)熱氣體的影響. 由于補(bǔ)充了金屬粉末其實(shí)是一個(gè)逐層過(guò)程中, 因此,有必要對(duì)熔融混合金屬粉末床的厚度有限,在補(bǔ)充的過(guò)程. 本文 熔化的混合粉末床有限厚度遭受不斷加熱熱流將予以追究. 2. 物理模型 物理模型的熔化問(wèn)題是列圖. 1 . 粉末床有限厚度含有兩種金屬粉末的顯著不同的熔點(diǎn). 起始溫度粉末床下面,我的熔點(diǎn)低熔點(diǎn)粉末. 在時(shí)間t = 0 ,一恒熱流, q00 , 突然適用于頂面粉床 和底部表面的粉末床假定為絕熱. 由于起始溫度粉末床低于熔點(diǎn)的低熔點(diǎn)粉末 其熔化不同時(shí)開(kāi)始,加上熱供暖.只有經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的預(yù)熱, 在它的表面溫度粉末達(dá)到熔點(diǎn)低熔點(diǎn)粉末 將熔化的開(kāi)始. 粉末與高熔點(diǎn)永遠(yuǎn)融化在整個(gè)過(guò)程中. 因此,這個(gè)問(wèn)題可以分為兩個(gè)問(wèn)題:一個(gè)是熱傳導(dǎo)預(yù)熱期間和其他被熔化. 物理模型被視為一個(gè)傳導(dǎo)控制問(wèn)題. 在自然對(duì)流效應(yīng)液體地區(qū)由于溫差不考慮由于溫度 最高的是在液體表面并隨宜 2.1.時(shí)間預(yù)熱 預(yù)熱期間,純傳導(dǎo)傳熱發(fā)生在粉末混合物. 理事方程以及相應(yīng)的初始和邊界條件的預(yù)熱問(wèn)題 2.2. 熔化 熔化后開(kāi)始,在液相方面的理事方程： 其中W是速度液體表面所誘發(fā)的收縮. 因?yàn)橐后w是不可壓縮的收縮速度西經(jīng) Eq. (5) 是受到以下邊界條件： 理事方程式為固相,其相應(yīng)的邊界條件 溫度在固液界面滿意 能量平衡，在固液界面 基于質(zhì)量守恒定律,在固液界面上的收縮速度, W時(shí),固液界面速度,副/藥物療法, 有以下關(guān)系[17] : 2.3 . 非維管方程 確定了以下無(wú)量綱變量: 非維管方程以及相應(yīng)的初始和邊界條件的預(yù)熱問(wèn)題,成為 熔化,非維方程和相應(yīng)的邊界條件 3. 近似解 當(dāng)頂面的混合金屬粉末床受到恒定磁場(chǎng)加熱, 熱流將穿透的頂面,并進(jìn)行向下的底部表面. 深度上的熱流滲透到瞬間的時(shí)間定義為熱穿透深度, 以后,便再?zèng)]有熱傳導(dǎo). 古德曼和Shea [13]引入一個(gè)參數(shù), ， 分類兩宗熔煉有限板. 當(dāng)β是大于1 頂部表面溫度達(dá)到熔點(diǎn)在較短的時(shí)間比熱穿透深度到達(dá)底部 表面上顯示一個(gè)較短的預(yù)熱時(shí)間. 如果β小于1 , 表面溫度仍低于熔點(diǎn)時(shí),熱穿透深度已達(dá)底部表面. 預(yù)熱持續(xù)到頂部表面溫度達(dá)到熔點(diǎn)低熔點(diǎn)粉末. 參數(shù)β也可以用表示因次參數(shù)定義的情商. ( 13 ) ,即 由此可以看到,價(jià)值β是由四個(gè)基本無(wú)量綱參數(shù):斯特凡數(shù)Ste, 冷資深參數(shù)Sc,有效導(dǎo)熱系數(shù)的固相KS和體積分?jǐn)?shù)氣體ES在固相. 預(yù)熱和熔煉兩個(gè)二" 1和β " > 1將得到討論 FIG.3 . 影響孔隙的液相表面溫度(專題= 0.02 ) 3.1.1 預(yù)熱 3.1.1. β< 1 熱平衡缺一不可的方法[ 18,19 ] 被使用這里。集成熱傳導(dǎo)Eq 。(14) 以尊敬對(duì)Z 從0 對(duì)D, 積分方程被獲得。 hs(Z, s) 被承擔(dān)是第二程度多項(xiàng)式滿足邊界條件被指定的作用由Eqs 。(16)-(18) 。然后hs(Z, s) 可能是堅(jiān)定的 Eqs 。(16)-(18) 并且(28) 可能被替代入 Eq 。(27) 和然后普通的微分方程為熱量滲透深度,Δ, 被獲得能容易地被解決。 當(dāng)熱量滲透深度到達(dá)底部表面, 即, Δ = 1, 溫度發(fā)行在粉末床是 圖4. 多孔性的作用在液體階段在表面溫度(Ste =0.15) 。 哪些成為下個(gè)階段的最初的情況預(yù)熱。在上升暖流滲透深度伸手可及的距離以后底部, 問(wèn)題成為傳導(dǎo)問(wèn)題在一塊有限平板。有些類似于那描述了早先, 粉末的溫度是 預(yù)熱時(shí)間, sm, 可能由設(shè)置獲得 hs(0, s) = 0 在Eq 。(34), 即, T溫度發(fā)行在s = sm 被給 哪些是最初的情況為熔化。 3.1.2. β> 1 當(dāng)β是大于1, 熔化開(kāi)始在之前滲透深度到達(dá)底部和因此, 預(yù)熱時(shí)間, sm, 對(duì)應(yīng)的熱量滲透深度、Dm, 和溫度發(fā)行在時(shí)間sm 是[ 17] 那里Eq 。(38) 是表面溫度在上面粉末床。 熔化的解答 溫度發(fā)行在液體 熔化開(kāi)始當(dāng)表面溫度粉末床到達(dá)低熔化的熔點(diǎn)點(diǎn)粉末。液體層數(shù)被形成作為結(jié)果熔化, 溫度發(fā)行不取決于Δ 的價(jià)值。它可能是由Eqs 的一種確切的解答獲得。(19)-(21) 并且 (24) [ 17 ], 即。 那里S0 是液體表面的無(wú)維的地點(diǎn)。 3.2.2. 溫度發(fā)行在固體(β < 1) 熱漲潮擊穿了整個(gè)粉末床在熔化的開(kāi)始之前。缺一不可的近似解答罐頭并且被使用獲得溫度發(fā)行在固相。集成的Eq 。(22) 與尊敬對(duì)Z 在間隔時(shí)間(S, 1), 你可能獲得 然后溫度發(fā)行在固相能被獲得 替代Eq 。(40) 入Eq 。(39), 一個(gè)普通的差別等式關(guān)于a 被獲得 固液 接口的地點(diǎn)可能被獲得由替代的Eqs 。(38) 和(40) 入Eq 。(25), 即, Eqs 。(40)-(42) 能由Runge-Kutta 解決方法。 3.2.3. 溫度發(fā)行在固體(β > 1) 熔化開(kāi)始在熱漲潮到達(dá)底部之前粉末床, 如此問(wèn)題熔化半無(wú)限二組分粉末床。解答為熔化一張無(wú)限粉末床包含a 二粒金屬粉末混合物由張[ 17 ] 獲得了。溫度發(fā)行在液體階段由Eq 測(cè)量。(38) 。度發(fā)行在堅(jiān)實(shí)區(qū)域被獲得由[ 17 ], 堅(jiān)實(shí)液體接口的地點(diǎn)并且被獲得由[ 17 ], 熱量滲透深度滿足等式 在那時(shí)候熱量滲透深度到達(dá)底下表面, 即, D = 1, 溫度發(fā)行在固體是 圖5. 多孔性的作用在液體階段在液體表面和液體堅(jiān)實(shí)接口的地點(diǎn)(Ste = 0.02) 。 熱量滲透深度到達(dá)對(duì)的時(shí)間底部, τΔ=1, 被獲得從 當(dāng)τ > τΔ=1, 問(wèn)題成為熔化在有限平板。溫度發(fā)行在固體, hs(Z, s), 并且液體堅(jiān)實(shí)接口地點(diǎn), S 可能被獲得由解決的Eqs 。(22)-(24) 使用積分式近似方法相同與β < 事例; 1. 4.結(jié)果和討論 分析解答的檢驗(yàn)是由舉辦結(jié)果與數(shù)字比較結(jié)果被獲得從陳和張[ 20 ], 調(diào)查二維熔化和resolidification 二組分金屬粉末層數(shù)在SLS 過(guò)程中服從對(duì)移動(dòng)的激光束。為了使用二維代碼在Ref 。[ 20 ] 解決熔化在粉末層數(shù)服從了對(duì)恒定的熱漲潮, 高斯激光束由恒定的熱化替換了熱漲潮在整個(gè)粉末床的上面和 激光 掃描速度調(diào)整到零數(shù)字解答。參量被使用在本論文是轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的參量在Ref 。[ 20 ] 為代碼檢驗(yàn)的目的。比較液體表面和液體的瞬間地點(diǎn)堅(jiān)實(shí)接口由分析和數(shù)字獲得解答被顯示在圖2 。它能被看見(jiàn)預(yù)熱時(shí)間由分析獲得和數(shù)字解答幾乎是相同。地點(diǎn)液體表面和液體堅(jiān)實(shí)接口被獲得分析和數(shù)字解答行動(dòng)在非常相似趨向。它采取完全地熔化整個(gè)的時(shí)間粉末層數(shù)被獲得從分析解答是大約4% 長(zhǎng)比那被獲得從數(shù)字解答。 多孔性, 冷資深 的作用, 無(wú)維導(dǎo)熱性和Stefan 編號(hào)在表面液體表面的溫度、地點(diǎn), 和地點(diǎn)粉末床的固液 接口將被調(diào)查。圖3 展示怎么表面溫度被多孔性影響在液體階段為Ste = 0.02 和幾個(gè)不同的冷資深 的參量。收縮的作用由固定隔絕冷資深 參量, 固相的多孔性, 和無(wú)維的導(dǎo)熱性。它能被看見(jiàn)那表面溫度增加當(dāng)多孔性在液體階段增量。這是因?yàn)橛行У纳仙鱾鲗?dǎo)性減少隨著容量分?jǐn)?shù)的增加氣體。當(dāng)Sc = 0.1, 預(yù)熱時(shí)間是更短的與比較當(dāng)Sc = 3.0 。作用收縮在表面溫度為Ste = 0.15 被顯示在圖4 。如同我們能看, 多孔性增量液體階段導(dǎo)致更高的表面溫度并且更加高級(jí)的Sc 要求更長(zhǎng)的預(yù)熱時(shí)間。當(dāng)Sc = 3.0, 你可能觀察期間熔化的過(guò)程顯著被變短當(dāng) Ste 增量從0.02 到0.15 。圖5 顯示地點(diǎn) 固液 接口和液體表面對(duì)應(yīng)對(duì)圖3 的條件。堅(jiān)實(shí)液體接口快速地行動(dòng)當(dāng)更多氣體被駕駛從液體。因而斷定對(duì)應(yīng)的地點(diǎn)液體表面移動(dòng)向下重大由于混雜的金屬粉末床的收縮。 固液 接口和液體的地點(diǎn)浮出水面對(duì)應(yīng)于圖4 的條件被顯示在圖6 。多孔性減退在液體階段并且加速固液 接口的行動(dòng)和液體表面向下。 圖7 顯示最初冷資深 的作用表面溫度為Ste = 0.02 。它能被看見(jiàn)預(yù)熱時(shí)間增加當(dāng)冷資深 參量, Sc, 被增加從0.1 到0.5 。同樣趨向被觀察當(dāng)Sc 增加從1.0 到3.0 。最初冷資深 的作用在表面溫度為Ste = 0.15 被顯示在圖8 。比較對(duì)事例Ste = 0.02, 預(yù)熱時(shí)期為 Ste = 0.15 顯著被變短。同時(shí), 預(yù)熱時(shí)間為Ste = 0.15 增量當(dāng)Sc 被增加從1.0 到3.0 。無(wú)花果。7(a) 和8(a) 表明更低的液體表面溫度可能被獲得如果更大的最初的冷資深 的價(jià)值被使用; 但是, 這些變動(dòng)不是明顯的從無(wú)花果。7(b) 和 8(b) 。 圖9 顯示固液 接口的地點(diǎn)并且液體表面對(duì)應(yīng)于條件圖7 。它能被看見(jiàn)在圖9(a), 存在更加了不起的最初冷資深 減少移動(dòng)的速度 固液 接口堅(jiān)固。在之前熱量滲透深度到達(dá)底部, 固液 接口寧可慢慢地行動(dòng), 液體堅(jiān)實(shí)接口快速地行動(dòng)在上升暖流以后滲透深度到達(dá)了底部。在a 更高的冷資深 的參量, 熔化發(fā)生在之后熱量滲透深度到達(dá)了底部依照被顯示在圖9(b) 。這些現(xiàn)象的原因是那預(yù)熱帶來(lái)平均溫度整個(gè)粉末床非常緊挨低熔化的粉末的熔點(diǎn)以便熔化的過(guò)程能非常迅速進(jìn)行。關(guān)系在之間 固液 接口和液體表面, 然而, 只是同樣為所有冷資深 的參量從它依靠氣體的容量分?jǐn)?shù)在固體并且液體階段(參見(jiàn)Eq 。(26)) 。地點(diǎn) 固液 接口和液體表面對(duì)應(yīng)對(duì)圖的條件8 并且被密謀在圖10 。一個(gè)相似的趨向可能并且被觀察在圖9 。 為了防止燒結(jié)部分氧化的空氣,蘇等. [21]使用氬氣作為保護(hù)氣體的粉床. 相比空氣,有因次導(dǎo)熱Kg=3.7 氬具有更低因次導(dǎo)熱對(duì)Kg=2.5 . 表面溫度不同量綱導(dǎo)熱系數(shù)在不同的訪問(wèn)是顯示圖. 11 . 可以看出,預(yù)熱時(shí)間隨導(dǎo)熱性的氣體,是減少兩 訪問(wèn)值分別為0.02和0.15 . 但是,兩者的表面溫度不同的氣體是微不足道. 效果因次導(dǎo)熱性的氣體對(duì)所在地的固液界面和液體 面及相應(yīng)條件的無(wú)花果. 11列圖. 12 . 當(dāng)訪問(wèn) Ste= 0.02速度的固液界面增加時(shí),氬氣作為保護(hù)氣體. 當(dāng)Ste= 0.15 , 速度的固液界面更快Kg =2.5 前的熱穿透深度達(dá)到筆 他底部的粉層. 相比于Kg=3.7 所花費(fèi)的時(shí)間的熱穿透深度達(dá)到底部的粉層較長(zhǎng)Kg =2.5 . 一旦熱穿透深度到達(dá)底部的粉層, 熔化過(guò)程既Kg=3.7 ,Kg=2.5 全速自更 熱能可以用來(lái)供應(yīng)潛伏的熔化. 圖6. 多孔性的作用在液體階段在液體表面和液體堅(jiān)實(shí)接口的地點(diǎn)(Ste = 0.15) 。 圖7. 冷資深 的作用在表面溫度(Ste = 0.02) 。 圖8. 冷資深 的作用在表面溫度(Ste = 0.15) 。 圖9. 冷資深 的作用在液體表面和液體堅(jiān)實(shí)接口的地點(diǎn)(Ste = 0.02) 。 圖10. 冷資深 的作用在液體表面和液體堅(jiān)實(shí)接口的地點(diǎn)(Ste = 0.15) 。 圖11. 氣體無(wú)維的導(dǎo)熱性的作用在表面溫度。 5 . 結(jié)論 熔煉一冷雙組分金屬粉末層受到一恒定熱流加熱調(diào)查分析. 收縮所致熔煉,也會(huì)一并考慮. 增加的斯特凡數(shù)量和貨值冷人數(shù)加速熔化過(guò)程. 熔融的粉層充滿氬較低因次導(dǎo)熱也是調(diào)查,以避免 氧化. 熔煉有限粉末床不同于熔化半無(wú)限板自固液界面熔煉 在有限粉末床動(dòng)作快,在一個(gè)半無(wú)限板. 物理模型與這個(gè)調(diào)查結(jié)果提供了強(qiáng)有力的基礎(chǔ),而進(jìn)一步調(diào)查的復(fù)雜三維 選擇性激光燒結(jié)( SLS )過(guò)程中,可以根據(jù). 鳴謝 支持這項(xiàng)工作由辦公室和海軍研究公司( ONR )的資助下,一些n00014 - 04 - 1 - 0303非常認(rèn)同. 參考 [1] J.G. Conley, H.L. Marcus, Rapid prototyping and solid freeform fabrication, Journal of Manufacturing Science and Engineering 119 (1997) 811–816. [2] T. Manzur, T. DeMaria, W. Chen, C. Roychoudhuri, Potential Role of High Powder 激光 Diode in Manufacturing, SPIE Photonics West Conference, San Jose, CA, 1996. [3] D.E. Bunnell, Fundamentals of Selective 激光 Sintering of Metals, Ph.D. Dissertation, University of Texas at Austin, 1995. [4] S. Storch, D. Nellessen, G. Schaefer, R. Reiter, Selective 激光 sintering: qualifying analusis of metal based powder systems for automotive application, Rapid Prototyping journal 9 (2003) 240–251. [5] N.K. Tolochko, A.K. Arshinov, A.V. Gusarov, V.I. Titov T. Laoui, L. Froyen, Mechanisms of selective 激光 sintering and heat transfer in Ti powder, Rapid Prototyping Journal 9 (2003) 314–326. [6] L. Lu, J. Fuh, Y.S. Wong, 激光-Induced Materials and Processes for Rapid Prototyping, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2001. [7] R. Viskanta, Phase change heat transfer, in: Solar Heat Storage: Latent Heat Materials, CRC Press, FL, 1983. [8] L.C. Yao, J. Prusa, Melting and freezing, Advances in Heat Transfer 25 (1989) 1–96. [9] R.G. Zckert, R.M. Drake, Analysis of Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill, London, 1972. [10] J. Crank, The Mathematics of Diffusion, Clarendon Press, Oxford, 1956. [11] H.S. Carslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1959. [12] C. Charach, Y. Zarmi, Planar solidification in a finite slab: effect of density change, Journal of Applied Physics 70 (1991) 6687– 6693. [13] T.R. Goodman, J.J. Shea, The melting of finite slabs, Journal of Applied Mechanics (1960) 16–25. [14] Y. Zhang, Z.Q. Chen, Q.J. Wang, Analytical solution of melting in a subcooled semi-infinite solid with boundary conditions of the second kind, in: Proceedings of International Symposium on Manufacturing and Materials processing, Dubrovnik, Yugoslavia, 1990. [15] Y.W. Zhang, Y.Y. Jin, Z.Q. Chen, Z.F. Dong, M.A. Ebadian, An analytical solution to melting in a finite slab with a boundary condition of the second kind, ASME Journal of Heat Transfer 115 (1993) 463–467. [16] C.J. Kim, S.T. Ro, Shrinkage formation during the solidification process in an open rectangular cavity, ASME Journal of Heat Transfer 115 (1993) 1078–1081. [17] Y. Zhang, A. Faghri, Melting of a subcooled mixed powder bed with constant heat flux heating, International Journal of Heat and Mass Transfer 42 (1999) 775–788. [18] V.J. Lunardini, Heat Transfer in Cold Climates, Van Nostrand, Reinhold, NY, 1981. [19] V. Alexiades, A.D. Solomon, Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes, Hemisphere, New York, 1993. [20] T. Chen, Y. Zhang, Numerical simulation of two-dimensional melting and resolidification of a two-component metal powder layer in selective 激光 sintering process, Numerical Heat Transfer, Part A 46 (7) (2004) 633–649. [21] W.N. Su, P. Erasenthiran, P.M. Dickens, Investigation of fully dense 激光 sintering of tool steel powder using a pulsed Nd: YAG (neodymium-doped yttrium aluminum garnet) 激光, Journal of Mechanical Engineering Science 217 (2003) 127–138. T. Chen, Y. Zhang / Applied Thermal Engineering 26 (2006) 751–765 765