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烏魯木齊地區(qū)2017年高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)理科試卷 第I卷（選擇題 共60分） 一、 選擇題（每小題5分，共12小題） 1. 已知集合，，則 2. 復(fù)數(shù) 3. 如圖所示，程序框圖輸出的結(jié)果是 4. 已知等差數(shù)列中，公差，，且成等比數(shù)列，則數(shù)列 前項(xiàng)和為 5. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為 6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為 7. 在某次結(jié)對(duì)子活動(dòng)中，有八位同學(xué)組成了四對(duì)“互助對(duì)子”，他們排成一排合影留念，則使得每對(duì)“互助對(duì)子”中的兩位同學(xué)都相鄰的排列方法種數(shù)為 A. 2520 B. 384 C. 48 D. 24 8. 若，則下列結(jié)論正確的是 9.設(shè)函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 10.已知球外接于正四面體，小球與球內(nèi)切于點(diǎn),與平面相切，球的表面積為，則小球的體積為 11.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則直線的斜率可以是 12.設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次分別為，則 第II卷（非選擇題 共90分） 二、填空題（每小題5分，共4個(gè)小題） 13.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____ 14.已知單位向量與的夾角為，則______ 15.在平面直角坐標(biāo)系，已知雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)M作一條漸近線的平行線交另一條漸近線于點(diǎn)A，若的面積為1，則其離心率為 16. 已知數(shù)列滿足，，則_____ 三、解答題（第17-21題每小題12分） 17.如圖，在△中，，是邊上的中線 （I）求證：； （II）若，求的長(zhǎng) 18.如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、上的點(diǎn)，且，將△，△分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn) （I）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求證 （II）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積 19.某地十余萬(wàn)考生的成績(jī)中，隨機(jī)地抽取了一批考生的成績(jī)，將其分為6組：第一組，第二組，…，第六組，作出頻率分布直方圖，如圖所示 （I）用每組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的數(shù)據(jù)，估算這批考生的平均成績(jī) （II）現(xiàn)從及格（超過(guò)60分）的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取了70名學(xué)生（其中女生有34名），已知成績(jī)“優(yōu)異”（超過(guò)90分）的女生有1名，能否有95%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異與性別有關(guān)？ 附： 0.01 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 20.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，且 （I）求直線的斜率； （II）若△的面積為，求拋物線的方程 21.已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間 （II）若函數(shù)的圖像在處的切線與其只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值 22. 在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，射線與曲線交于三點(diǎn)（異于點(diǎn)） （I）求證： （II）當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求與的值 23.設(shè) （I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （II）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍 烏魯木齊地區(qū)2017年高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn) 理科數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分． 選擇題答案：BACA CBBD DADC 1．選B.【解析】∵，∴．故選B． 2．選A.【解析】∵.故選A． 3．選C.【解析】由題意知，第一次循環(huán)；第二次循環(huán)；第三次循環(huán)；…；第十次循環(huán)，結(jié)束循環(huán)，輸出的值為．故選C． 4．選A．【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，由成等比數(shù)列，得，即，得（舍）或，則，所以．故選A． 5．選C．【解析】∵，，∴零點(diǎn)在上，故選C． 6．選B．【解析】由三視圖知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，四棱柱的高為，，∴.故選B． 7．選B．【解析】依題意，所求種數(shù)為，故選B． 8．選D．【解析】 ，∴,故選D． 9．選D．【解析】作圖，數(shù)形結(jié)合，選D． 10．選A．【解析】設(shè)小球的半徑為，球的半徑為，正四面體的高為，則由題意得，，即，又球的表面積為，即，則，所以，則小球的體積．故選A． 11．選D．【解析】設(shè)由題意得，，∵，，即，由，得， 所以直線的斜率．故選D． 12．選C．【解析】如圖，與的圖像 有公共的對(duì)稱中心，由圖像知它們?cè)趨^(qū)間上有八個(gè)交 點(diǎn)，分別為四對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，每一對(duì)的橫坐標(biāo)之和為，故所有的橫 坐標(biāo)之和為．故選C． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分. 13．填．【解析】設(shè)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖 所示，平移直線，可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)， 取最小值. 14．填．【解析】． 15．填．【解析】設(shè)，直線為，與另一條漸近線的交點(diǎn)滿足得即 ∴，，易知， ∴，而在雙曲線上 ∴，∴，故，又，∴，而，即，∴，∴． 16．填．【解析】由已知得：， 又，故，，． 三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，說(shuō)明過(guò)程或演算步驟． 17.（12分） （Ⅰ）由正弦定理得：，， 即，， 又∵是邊上的中線且，∴ …6分 （Ⅱ）∵，由（Ⅰ）,∴, 由余弦定理得…12分 18.（12分） （Ⅰ）折疊前有，折疊后有， 又，所以平面，∴； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得面，又由，所以, 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則 , 得,,, 設(shè)平面的法向量為，由得， 設(shè)直線與平面所成角為，得， 所以直線與平面所成角的正弦值為. …12分 19． （12分） （Ⅰ） ∴ …6分 （Ⅱ）依題意，， ∴，∵， ∴ …12分 20．(12分) （Ⅰ）過(guò)兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，易知， ∵,∴,∴為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)， ∴是的中位線，∴，而，∴， ∴，，∴，而 ∴； …6分 （Ⅱ）∵為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)， ∴,∴,∴,∴拋物線的方程為． …12分 21． （12分） （Ⅰ） 當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增， 當(dāng)時(shí)，，或 ∴的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為； …5分 （Ⅱ）∵，∴處的切線為，依題意方程僅有一個(gè)根， 即僅有一個(gè)零點(diǎn)； 而，，由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，在上遞增， ∴此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)， 即的圖象在處的切線與其只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 又∵，∴當(dāng)或時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，∵的對(duì)稱軸 ∴， 取，當(dāng)時(shí)，； ∴，∴在上也存在一個(gè)零點(diǎn)， ∴時(shí)不止一個(gè)零點(diǎn)， 即時(shí)的圖象在處的切線與其不止一個(gè)公共點(diǎn) 綜上所述：. …12分 22．（10分） （Ⅰ）由已知： ∴ …5分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的極角分別為，代入曲線的方程得點(diǎn)的極徑分別為： ∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，則直線的斜率為，方程為，與軸交與點(diǎn)； 由，知為其傾斜角，直線過(guò)點(diǎn)， ∴ …10分 23．（10分） （Ⅰ）， 當(dāng)時(shí)，由得； 當(dāng)時(shí)，由得； 當(dāng)時(shí)，由得； 綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； …5分 （Ⅱ）∵，∴， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. …10分