《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)---第三版-李子奈---課后習(xí)題--答案.doc》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)---第三版-李子奈---課后習(xí)題--答案.doc（61頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

****************************************************************************************************************************************************** 第一章 緒論 （一）基本知識(shí)類(lèi)題型 1-1． 什么是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)？ 1-3． 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法與一般經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法有什么區(qū)別？ 它在經(jīng)濟(jì)學(xué)科體系中的作用和地位是什么？ 1-6．計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究的對(duì)象和內(nèi)容是什么？計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型研究的經(jīng)濟(jì)關(guān)系有哪兩個(gè)基 本特征？ 1-7．試結(jié)合一個(gè)具體經(jīng)濟(jì)問(wèn)題說(shuō)明建立與應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的主要步驟。 1-9．計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型主要有哪些應(yīng)用領(lǐng)域？各自的原理是什么？ 1-12．模型的檢驗(yàn)包括幾個(gè)方面？其具體含義是什么？ 1-17．下列假想模型是否屬于揭示因果關(guān)系的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型？為什么？ ⑴ St = 112.0 + 0.12Rt 其中 St 為第 t 年農(nóng)村居民儲(chǔ)蓄增加額（億元）、 Rt 為第 t 年城鎮(zhèn) 居民可支配收入總額（億元）。 ⑵ St -1 = 4432.0 + 0.30Rt 其中 St -1 為第（ t -1）年底農(nóng)村居民儲(chǔ)蓄余額（億元）、Rt 為 第 t 年農(nóng)村居民純收入總額（億元）。 1-18．指出下列假想模型中的錯(cuò)誤，并說(shuō)明理由： （1） RSt = 8300.0 - 0.24 RI t + 112.IVt 其中， RSt 為第 t 年社會(huì)消費(fèi)品零售總額（億元）， RI t 為第 t 年居民收入總額（億元）（城鎮(zhèn)居民可支配收入總額與農(nóng)村居民純收入總額之和）， IVt 為第 t 年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額 1 （億元）。 （2） Ct = 180 + 1.2Yt 其中， C 、Y 分別是城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出和可支配收入。 （3） ln Yt = 1.15 + 1.62 ln Kt - 0.28ln Lt 其中， Y 、 K 、 L 分別是工業(yè)總產(chǎn)值、工業(yè)生產(chǎn)資金和職工人數(shù)。 1-19．下列假想的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是否合理，為什么？ （1） GDP = a + bi GDPi + e 其中， GDPi (i = 1,2,3) 是第 i 產(chǎn)業(yè)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。 （2） S1 = a + bS2 + e 其中， S1 、 S2 分別為農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民年末儲(chǔ)蓄存款余額。 （3） Yt = a + b1 I t + b 2 Lt + e 其中， Y 、 I 、 L 分別為建筑業(yè)產(chǎn)值、建筑業(yè)固定資產(chǎn)投資和職工人數(shù)。 （4） Yt = a + bPt + e 其中， Y 、 P 分別為居民耐用消費(fèi)品支出和耐用消費(fèi)品物價(jià)指數(shù)。 （5）財(cái)政收入 = f (財(cái)政支出) + e （6）煤炭產(chǎn)量 = f (L, K, X1 , X 2 ) + e 其中， L 、 K 分別為煤炭工業(yè)職工人數(shù)和固定資產(chǎn)原值， X 1 、 X 2 分別為發(fā)電量和鋼鐵產(chǎn) 量。 1-20．模型參數(shù)對(duì)模型有什么意義？ 2 習(xí)題參考答案 第一章 緒論 1-1．什么是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)？ 答：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，是以揭示經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中客觀(guān)存在的數(shù)量關(guān)系為內(nèi)容 的分支學(xué)科，是由經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)三者結(jié)合而成的交叉學(xué)科。 1-6．計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究的對(duì)象和內(nèi)容是什么？計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型研究的經(jīng)濟(jì)關(guān)系有哪兩個(gè)基 本特征？ 3 答：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究對(duì)象是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，是研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的具體數(shù)量規(guī)律（或者說(shuō)，計(jì)量 經(jīng)濟(jì)學(xué)是利用數(shù)學(xué)方法，根據(jù)統(tǒng)計(jì)測(cè)定的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)反映經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本質(zhì)的經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系進(jìn) 行研究）。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的內(nèi)容大致包括兩個(gè)方面：一是方法論，即計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法或理論計(jì) 量經(jīng)濟(jì)學(xué)；二是應(yīng)用，即應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；無(wú)論是理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)還是應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，都 包括理論、方法和數(shù)據(jù)三種要素。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型研究的經(jīng)濟(jì)關(guān)系有兩個(gè)基本特征：一是隨機(jī)關(guān)系；二是因果關(guān)系。 1-9．答：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型主要有以下幾個(gè)方面的用途：①結(jié)構(gòu)分析，即研究一個(gè)或幾個(gè)經(jīng) 濟(jì)變量發(fā)生變化及結(jié)構(gòu)參數(shù)的變動(dòng)對(duì)其他變量以至整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生何種的影響；其原理是 彈性分析、乘數(shù)分析與比較靜力分析。②經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，即用其進(jìn)行中短期經(jīng)濟(jì)的因果預(yù)測(cè)；其 原理是模擬歷史，從已經(jīng)發(fā)生的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中找出變化規(guī)律；③政策評(píng)價(jià)，即利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模 型定量分析政策變量變化對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)運(yùn)行的影響，是對(duì)不同政策執(zhí)行情況的“模擬仿真”。 ④檢驗(yàn)與發(fā)展經(jīng)濟(jì)理論，即利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型和實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料實(shí)證分析某個(gè)理論假說(shuō)的正確 與否；其原理是如果按照某種經(jīng)濟(jì)理論建立的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型可以很好地?cái)M合實(shí)際觀(guān)察數(shù)據(jù)， 則意味著該理論是符合客觀(guān)事實(shí)的，否則則表明該理論不能說(shuō)明客觀(guān)事實(shí)。 1-10．答： 5 第二章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：一元線(xiàn)性回歸模型 一、內(nèi)容提要 本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸 函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開(kāi)始，建立了回歸分析的基本思想。總體回 歸函數(shù)是對(duì)總體變量間關(guān)系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設(shè)下得到，但它只是 建立在理論之上，在現(xiàn)實(shí)中只能先從總體中抽取一個(gè)樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對(duì)總 體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計(jì)推斷。 本章的一個(gè)重點(diǎn)是如何獲取線(xiàn)性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS） 的學(xué)習(xí)與掌握。同時(shí)，也介紹了極大似然估計(jì)法（ML）以及矩估計(jì)法（MM）。 本章的另一個(gè)重點(diǎn)是對(duì)樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即進(jìn)行所 謂的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)包括兩個(gè)方面，一是先檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與樣本點(diǎn)的“擬合優(yōu)度”， 第二是檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個(gè)層次：第一，檢 驗(yàn)解釋變量對(duì)被解釋變量是否存在著顯著的線(xiàn)性影響關(guān)系，通過(guò)變量的 t 檢驗(yàn)完成；第二， 檢驗(yàn)回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過(guò)參數(shù)估計(jì)值的“區(qū)間檢驗(yàn)”完成。 本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設(shè)。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)以 及對(duì)參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析以及所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷都是建立在這些基本假設(shè)之上的。 其二，參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析，包括小樣本性質(zhì)與大樣本性質(zhì)，尤其是無(wú)偏性、有效性 與一致性構(gòu)成了對(duì)樣本估計(jì)量?jī)?yōu)劣的最主要的衡量準(zhǔn)則。Goss-markov 定理表明 OLS 估計(jì)量 是最佳線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量。其三，運(yùn)用樣本回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，包括被解釋變量條件均值與個(gè) 值的預(yù)測(cè)，以及預(yù)測(cè)置信區(qū)間的計(jì)算及其變化特征。 二、典型例題分析 例 6．對(duì)于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式 St = a + bYt + mt 使用美國(guó) 36 年的年度數(shù) 據(jù)得如下估計(jì)模型，括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差： ?t 384.105 0.067 t S = + Y (151.105) (0.011) R2 ＝0.538 s? = 199.023 （1） b 的經(jīng)濟(jì)解釋是什么？ （2）a 和 b 的符號(hào)是什么？為什么？實(shí)際的符號(hào)與你的直覺(jué)一致嗎？如果有沖突的話(huà)， 你可以給出可能的原因嗎？ （3）對(duì)于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？ （4）檢驗(yàn)是否每一個(gè)回歸系數(shù)都與零顯著不同（在 1%水平下）。同時(shí)對(duì)零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值、其分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行陳述。你的結(jié)論是什么？ 解答： （1） b 為收入的邊際儲(chǔ)蓄傾向，表示人均收入每增加 1 美元時(shí)人均儲(chǔ)蓄的預(yù)期平均變 化量。 （2）由于收入為零時(shí)，家庭仍會(huì)有支出，可預(yù)期零收入時(shí)的平均儲(chǔ)蓄為負(fù)，因此a 符 號(hào)應(yīng)為負(fù)。儲(chǔ)蓄是收入的一部分，且會(huì)隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期 b 的符號(hào)為正。 實(shí)際的回歸式中， b 的符號(hào)為正，與預(yù)期的一致。但截距項(xiàng)為負(fù)，與預(yù)期不符。這可能與 由于模型的錯(cuò)誤設(shè)定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲(chǔ)蓄形為，省略該變量將對(duì) 截距項(xiàng)的估計(jì)產(chǎn)生影響；另一種可能就是線(xiàn)性設(shè)定可能不正確。 （3）擬合優(yōu)度刻畫(huà)解釋變量對(duì)被解釋變量變化的解釋能力。模型中 53.8%的擬合優(yōu)度， 表明收入的變化可以解釋儲(chǔ)蓄中 53.8 %的變動(dòng)。 （4）檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)采用 t 檢驗(yàn)，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零。雙變量 情形下在零假設(shè)下 t 分布的自由度為 n-2=36-2=34。由 t 分布表知，雙側(cè) 1%下的臨界值位于 2.750 與 2.704 之間。斜率項(xiàng)計(jì)算的 t 值為 0.067/0.011=6.09，截距項(xiàng)計(jì)算的 t 值為 384.105/151.105=2.54?？梢?jiàn)斜率項(xiàng)計(jì)算的 t 值大于臨界值，截距項(xiàng)小于臨界值，因此拒絕 斜率項(xiàng)為零的假設(shè)，但不拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。 三、習(xí)題 6 （一）基本知識(shí)類(lèi)題型 2-1．解釋下列概念： 1) 總體回歸函數(shù) 11) 最大似然法 2) 樣本回歸函數(shù) 12) 估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差 3) 隨機(jī)的總體回歸函數(shù) 13) 總離差平方和 4) 線(xiàn)性回歸模型 14) 回歸平方和 5) 隨機(jī)誤差項(xiàng)（ui）和殘差項(xiàng)（ei） 15) 殘差平方和 6) 條件期望 16) 協(xié)方差 7) 非條件期望 17) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 8) 回歸系數(shù)或回歸參數(shù) 18) t 檢驗(yàn) 9) 回歸系數(shù)的估計(jì)量 19) F 檢驗(yàn) 10) 最小平方法 2-2．判斷正誤并說(shuō)明理由： 1) 隨機(jī)誤差項(xiàng)ui和殘差項(xiàng)ei是一回事 2) 總體回歸函數(shù)給出了對(duì)應(yīng)于每一個(gè)自變量的因變量的值 3) 線(xiàn)性回歸模型意味著變量是線(xiàn)性的 4) 在線(xiàn)性回歸模型中，解釋變量是原因，被解釋變量是結(jié)果 5) 隨機(jī)變量的條件均值與非條件均值是一回事 2-3．回答下列問(wèn)題： 1) 線(xiàn)性回歸模型有哪些基本假設(shè)？違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是否就不可估計(jì)？ 2) 總體方差與參數(shù)估計(jì)誤差的區(qū)別與聯(lián)系。 3) 隨機(jī)誤差項(xiàng)ui和殘差項(xiàng)ei的區(qū)別與聯(lián)系。 4) 根據(jù)最小二乘原理，所估計(jì)的模型已經(jīng)使得擬合誤差達(dá)到最小，為什么還要討論模型的擬合優(yōu)度問(wèn)題？ 5) 為什么用決定系數(shù)R2評(píng)價(jià)擬合優(yōu)度，而不用殘差平方和作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)？ 6) R2 檢驗(yàn)與 F 檢驗(yàn)的區(qū)別與聯(lián)系。 7) 回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別與聯(lián)系。 7 8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？說(shuō)明它們有何區(qū)別？ 9) 為什么要進(jìn)行解釋變量的顯著性檢驗(yàn)？ 10) 是否任何兩個(gè)變量之間的關(guān)系，都可以用兩變量線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行分析？ 2-2．下列方程哪些是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？為什么？ ⑴ y t = a + b x t t = 1,2, , n ⑵ y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n ⑶ y t + mt t = 1,2, , n = a + b x t ⑷ y = a + b x t + m t t = 1,2, , n t ⑸ y t = a + b x t t = 1,2, , n ⑹ y = a + b x t t = 1,2, , n t ⑺ y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n ⑻ y = a + b x t + m t = 1,2, , n t t 其中帶“＾”者表示“估計(jì)值”。 （二）基本證明與問(wèn)答類(lèi)題型 2-4．對(duì)于一元線(xiàn)性回歸模型，試證明： （1） E( yi ) = a + bxi （2） D( yi ) = s 2 8 （3） Cov( yi , y j ) = 0 i j 2-12．線(xiàn)性回歸模型 y t = a + b x t + mt t = 1,2, , n 的 0 均值假設(shè)是否可以表示為 1 n mt = 0 ？為什么？ n t =1 （三）基本計(jì)算類(lèi)題型 2-21．下面數(shù)據(jù)是對(duì) X 和 Y 的觀(guān)察值得到的。 ∑Yi=1110； ∑Xi=1680； ∑XiYi=204200 ∑Xi2=315400； ∑Yi2=133300 假定滿(mǎn)足所有的古典線(xiàn)性回歸模型的假設(shè)，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的標(biāo)準(zhǔn)差？（3） r2？（4）對(duì)B1、B2分別建立 95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設(shè)：B2=0 嗎？ 四、習(xí)題參考答案 2-1．答： ⑴總體回歸函數(shù)是指在給定 X i 下的Y 的分布的總體均值與 X i 有函數(shù)關(guān)系。 ⑵樣本回歸函數(shù)指對(duì)應(yīng)于某個(gè)給定的 X 的Y 值的一個(gè)樣本而建立的回歸函數(shù)。 ⑶ 隨機(jī)的總體回歸函數(shù)指含有隨機(jī)誤差項(xiàng)的總體回歸函數(shù)，形如： Yi = b1 + b2 X i + ui ⑷線(xiàn)性回歸模型指對(duì)參數(shù) b 為線(xiàn)性的回歸，即 b 只以它的 1 次方出現(xiàn)，對(duì) X 可以是或 不是線(xiàn)性的。 ⑸隨機(jī)誤差項(xiàng)也稱(chēng)誤差項(xiàng)，是一個(gè)隨機(jī)變量，針對(duì)總體回歸函數(shù)而言。 14 ⑹殘差項(xiàng)是一隨機(jī)變量，針對(duì)樣本回歸函數(shù)而言。 ⑺條件期望又稱(chēng)條件均值，指 X 取特定 X i 值時(shí)的Y 的期望值。 ⑼回歸系數(shù)（或回歸參數(shù)）指 b1 、 b2 等未知但卻是固定的參數(shù)。 ⑽回歸系數(shù)的估計(jì)量指用 b1 、 b2 等表示的用已知樣本所提供的信息去估計(jì)出來(lái)的量。 ⒀估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差指度量一個(gè)變量變化大小的標(biāo)準(zhǔn)。 ⒁總離差平方和用 TSS 表示，用以度量被解釋變量的總變動(dòng)。 ⒂回歸平方和用 ESS 表示，用以度量由解釋變量變化引起的被解釋變量的變化。 ⒃殘差平方和用 RSS 表示，用以度量實(shí)際值與擬合值之間的差異，是由除解釋變量以外的其他因素引起的。 ⒄協(xié)方差用 Cov（X，Y）表示，是用來(lái)度量 X、Y 二個(gè)變量同時(shí)變化的統(tǒng)計(jì)量。 2-2．答：錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)。（理由見(jiàn)本章其他習(xí)題答案） 15 2-14．答：線(xiàn)性回歸模型： yt = a + b xt + mt 中的 0 均值假設(shè) E(u 2 ) = 0 不可以表示為： 1 n mt = 0 ，因?yàn)榍罢弑硎救⊥晁目赡艿臉颖窘M合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個(gè)樣本的 n t =1 平均值。 20 第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線(xiàn)性回歸模型 一、內(nèi)容提要 本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的 情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計(jì)、模型的檢驗(yàn)以及模型在預(yù)測(cè)方 面的應(yīng)用等方面。只不過(guò)為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗(yàn)方面有所擴(kuò)充。 本章仍重點(diǎn)介紹了多元線(xiàn)性回歸模型的基本假設(shè)、估計(jì)方法以及檢驗(yàn)程序。與一元回 歸分析相比，多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個(gè)解釋變量間不存在（完全）多重共線(xiàn)性 這一假設(shè)；在檢驗(yàn)部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另一方面引入了對(duì)多個(gè)解釋變量是 否對(duì)被解釋變量有顯著線(xiàn)性影響關(guān)系的聯(lián)合性 F 檢驗(yàn)，并討論了 F 檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的 內(nèi)在聯(lián)系。 本章的另一個(gè)重點(diǎn)是將線(xiàn)性回歸模型拓展到非線(xiàn)性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線(xiàn)性模型如 何轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸模型的常見(jiàn)類(lèi)型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。 本章第三個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)是關(guān)于模型的約束性檢驗(yàn)問(wèn)題，包括參數(shù)的線(xiàn)性約束與非線(xiàn)性約 束檢驗(yàn)。參數(shù)的線(xiàn)性約束檢驗(yàn)包括對(duì)參數(shù)線(xiàn)性約束的檢驗(yàn)、對(duì)模型增加或減少解釋變量的檢 驗(yàn)以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)與 鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)兩種類(lèi)型的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)都是以 F 檢驗(yàn)為主要檢驗(yàn)工具，以受約束模型與無(wú)約 束模型是否有顯著差異為檢驗(yàn)基點(diǎn)。參數(shù)的非線(xiàn)性約束檢驗(yàn)主要包括最大似然比檢驗(yàn)、沃爾 德檢驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。它們?nèi)砸怨烙?jì)無(wú)約束模型與受約束模型為基礎(chǔ)，但以最大似然 原理進(jìn)行估計(jì)，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個(gè)數(shù)為自由度的 c 2 分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量的分布特征。非線(xiàn)性約束檢驗(yàn)中的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)在后面的章節(jié)中多次使用。 二、典型例題分析 例 1．某地區(qū)通過(guò)一個(gè)樣本容量為 722 的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動(dòng)力受教育的一個(gè)回歸方程為 edu = 10.36 - 0.094sibs + 0.131medu + 0.210 fedu R2=0.214 式中，edu 為勞動(dòng)力受教育年數(shù)，sibs 為該勞動(dòng)力家庭中兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，medu 與 fedu 分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問(wèn) （1）sibs 是否具有預(yù)期的影響？為什么？若 medu 與 fedu 保持不變，為了使預(yù)測(cè)的受教育水平減少一年，需要 sibs 增加多少？ （2）請(qǐng)對(duì) medu 的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉尅? （3）如果兩個(gè)勞動(dòng)力都沒(méi)有兄弟姐妹，但其中一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為 12 年，另一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為 16 年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？ 解答： （1）預(yù)期 sibs 對(duì)勞動(dòng)者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個(gè)孩子接受教育的時(shí)間會(huì)越短。 根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs 前的參數(shù)估計(jì)值-0.094 表明，在其他條件不變的情況下，每增加 1 個(gè)兄弟姐妹，受教育年數(shù)會(huì)減少 0.094 年，因此，要減少 1 年受教育的時(shí)間，兄弟姐妹需增加 1/0.094=10.6 個(gè)。 （2）medu 的系數(shù)表示當(dāng)兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時(shí)，母親每增加 1 年受教育的機(jī)會(huì)，其子女作為勞動(dòng)者就會(huì)預(yù)期增加 0.131 年的教育機(jī)會(huì)。 （3）首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為 10.36+0.13112+0.21012=14.452 10.36+0.13116+0.21016=15.816 因此，兩人的受教育年限的差別為 15.816-14.452=1.364 例 2．以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷(xiāo)售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷(xiāo)售額（X1）與利潤(rùn)占銷(xiāo)售額的比重（X2）為解釋變量，一個(gè)有 32 容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下： Y = 0.472 + 0.32 log(X1 ) + 0.05X 2 (1.37) (0.22) (0.046) R2 = 0.099 其中括號(hào)中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。 （1）解釋 log(X1)的系數(shù)。如果 X1 增加 10%，估計(jì) Y 會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì)上是一個(gè)很大的影響嗎？ （2）針對(duì) R&D 強(qiáng)度隨銷(xiāo)售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖 X1 而變化的假設(shè)。分別在 5%和 10%的顯著性水平上進(jìn)行這個(gè)檢驗(yàn)。 （3）利潤(rùn)占銷(xiāo)售額的比重 X2 對(duì) R&D 強(qiáng)度 Y 是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？ 解答： （1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時(shí)，log(x1)變化 1 個(gè)單位，Y 變化的單位數(shù)，即DY=0.32Dlog(X1)0.32(DX1/X1)=0.32100%，換言之，當(dāng)企業(yè)銷(xiāo)售 X1 增長(zhǎng) 100%時(shí)，企業(yè)研發(fā)支出占銷(xiāo)售額的比重 Y 會(huì)增加 0.32 個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果 X1 增加 10%，Y 會(huì)增加 0.032 個(gè)百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。 （2）針對(duì)備擇假設(shè) H1： b1 > 0 ，檢驗(yàn)原假設(shè) H0： b1 = 0 。易知計(jì)算的 t 統(tǒng)計(jì)量的值 為 t=0.32/0.22=1.468。在 5%的顯著性水平下，自由度為 32-3=29 的 t 分布的臨界值為 1.699 （單側(cè)），計(jì)算的 t 值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著 R&D 強(qiáng)度不隨銷(xiāo)售額的增加而變化。在 10%的顯著性水平下，t 分布的臨界值為 1.311，計(jì)算的 t 值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著 R&D 強(qiáng)度隨銷(xiāo)售額的增加而增加。 （3）對(duì) X2，參數(shù)估計(jì)值的 t 統(tǒng)計(jì)值為 0.05/0.46=1.087，它比在 10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對(duì) Y 在統(tǒng)計(jì)上沒(méi)有顯著的影響。 例 3．下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的 4 個(gè)模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)值（括號(hào)內(nèi)為 p-值）（如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒(méi)有此變量）。數(shù)據(jù)為美國(guó) 40 個(gè)城市的數(shù)據(jù)。模型如下： hou sin g = b0 + b1density + b2 value + b3income + b4 popchang + b5unemp + b6localtax + b7 statetax + m 式中 housing——實(shí)際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density——每平方英里的人口密度，value— —自由房屋的均值（單位：百美元），income——平均家庭的收入（單位：千美元），popchang ——1980~1992 年的人口增長(zhǎng)百分比，unemp——失業(yè)率，localtax——人均交納的地方稅，statetax——人均繳納的州稅 變量 模型 A 模型 B 模型 C 模型 D C 813 (0.74) -392 (0.81) -1279 (0.34) -973 (0.44) Density 0.075 (0.43) 0.062 (0.32) 0.042 (0.47) Value -0.855 (0.13) -0.873 (0.11) -0.994 (0.06) -0.778 (0.07) Income 110.41 (0.14) 133.03 (0.04) 125.71 (0.05) 116.60 (0.06) Popchang 26.77 (0.11) 29.19 (0.06) 29.41 (0.001) 24.86 (0.08) Unemp -76.55 (0.48) Localtax -0.061 (0.95) Statetax -1.006 (0.40) -1.004 (0.37) RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 R2 0.349 0.338 0.322 0.312 s? 2 1.488e+6 1.424e+6 1.418e+6 1.399e+6 AIC 1.776e+6 1.634e+6 1.593e+6 1.538e+6 （1）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?A 中的每一個(gè)回歸系數(shù)在 10%水平下是否為零（括號(hào)中的值為雙邊備擇 p- 值）。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？ （2）在模型A中，在 10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè)H0：bi =0(i=1,5,6,7)。說(shuō)明被擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說(shuō)明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說(shuō)明你的結(jié)論。 （3）哪個(gè)模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。 （4）說(shuō)明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號(hào)是“錯(cuò)誤的”。說(shuō)明你的預(yù)期符號(hào)并解釋原因。確認(rèn)其是否為正確符號(hào)。 解答： （1）直接給出了 P-值，所以沒(méi)有必要計(jì)算 t-統(tǒng)計(jì)值以及查 t 分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。 由于表中所有參數(shù)的 p-值都超過(guò)了 10%，所以沒(méi)有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會(huì)得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時(shí)一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang 的 p-值僅比 0.1 稍大一點(diǎn)，在略掉 unemp、localtax、statetax 的模型 C 中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。 （ 2 ）針對(duì)聯(lián)合假設(shè) H0 ： bi =0(i=1,5,6,7) 的備擇假設(shè)為 H1 ： bi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一個(gè)不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0，實(shí)際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，非約束模型為模型A， 約束模型為模型D，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為 F = (RSSR - RSSU ) /(kU - kR ) = (5.038e + 7 - 4.763e + 7) /(7 - 3) = 0.462 RSSU /(n - kU -1) (4.763e + 7) /(40 - 8) 顯然，在 H0 假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿(mǎn)足 F 分布，在 10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的 F 分布的臨界值位于 2.09 和 2.14 之間。顯然，計(jì)算的 F 值小于臨界值，我們不能拒絕 H0，所以βi(i=1,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。 (3）模型 D 中的 3 個(gè)解釋變量全部通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。盡管 R2 與殘差平方和較大，但相對(duì)來(lái)說(shuō)其 AIC 值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。 （4）隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會(huì)隨之增加。所以可以預(yù)期β3>0，事實(shí)上其估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會(huì)隨之增加，所以我們預(yù)期β 4>0，事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價(jià)格的上升，我們預(yù)期對(duì)住房的需求人數(shù)減少，即我們預(yù)期β3 估計(jì)值的符號(hào)為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺(jué)相符。出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型 A 是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。 4、在經(jīng)典線(xiàn)性模型基本假定下，對(duì)含有三個(gè)自變量的多元回歸模型： Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 + b3 X 3 + m 你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是 H0： b1 - 2b2 = 1 。 ? ? ? ? （1）用 b1 , b2 的方差及其協(xié)方差求出Var(b1 - 2b2 ) 。 （2）寫(xiě)出檢驗(yàn) H0： b1 - 2b2 = 1 的 t 統(tǒng)計(jì)量。 （3）如果定義 b1 - 2b2 = q ，寫(xiě)出一個(gè)涉及b0、q、b2和b3的回歸方程，以便能直接得 到q估計(jì)值q? 及其標(biāo)準(zhǔn)誤。 解答： （1）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知 ? ? ? ? ? ? Var(b1 - 2b2 ) = Var(b1 ) - 4Cov(b1 , b2 ) + 4Var(b2 ) （2）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知 ? ? ? ? ? ? b1 - 2b2 -1 t = ? ? 2 ) ，其中 se(b1 - 2b2 ) 為 (b1 - 2b2 ) 的標(biāo)準(zhǔn)差。 se(b1 - 2b （3）由 b1 - 2b2 = q 知 b1 = q + 2b2 ，代入原模型得 Y = b0 + (q + 2b2 ) X1 + b2 X 2 + b3 X 3 + m = b0 + qX1 + b2 (2X1 + X 2 ) + b3 X 3 + m 這就是所需的模型，其中q估計(jì)值q? 及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過(guò)對(duì)該模型進(jìn)行估計(jì)得到。 三、習(xí)題 （一）基本知識(shí)類(lèi)題型 3-1．解釋下列概念： 1) 多元線(xiàn)性回歸 6) 參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間 2) 虛變量 7) 被解釋變量預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 3) 正規(guī)方程組 8) 受約束回歸 4) 無(wú)偏性 9) 無(wú)約束回歸 5) 一致性 10) 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 3-2．觀(guān)察下列方程并判斷其變量是否呈線(xiàn)性？系數(shù)是否呈線(xiàn)性？或都是？或都不是？ 1) Yi = b0 + b1 X i3 + e i 2) Yi = b0 + b1 log X i + e i 3) logYi = b0 + b1 log X i + e i 4) Yi = b0 + b1 (b2 X i ) + e i b 5) Yi = b1 X0 i + e i 6) Y = 1 + b 0 (1 - X b1 ) + e i i i 7) Yi = b0 + b1 X1i + b2 X 2i 10 + e i 3-3．多元線(xiàn)性回歸模型與一元線(xiàn)性回歸模型有哪些區(qū)別？ 3-4．為什么說(shuō)最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量？多元線(xiàn)性回歸最小二乘估計(jì)的正 規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？ 3-5．多元線(xiàn)性回歸模型的基本假設(shè)是什么？試說(shuō)明在證明最小二乘估計(jì)量的無(wú)偏性和有效 性的過(guò)程中，哪些基本假設(shè)起了作用？ 3-6．請(qǐng)說(shuō)明區(qū)間估計(jì)的含義。 （二）基本證明與問(wèn)答類(lèi)題型 3-7．什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫(xiě)出模型： yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki + ui ， i = 1,2, , n 的正規(guī)方程組，及其推導(dǎo)過(guò)程。 3-8．對(duì)于多元線(xiàn)性回歸模型，證明： （1） ei = 0 （ ） ? = ( ? ? + ? = b 0 + b 1 x1i + b k xki )ei 0 2 yi ei 3-9．為什么從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型得到的預(yù)測(cè)值不是一個(gè)確定的值？預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間和置信 度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？ 3-10．在多元線(xiàn)性回歸分析中， t 檢驗(yàn)與 F 檢驗(yàn)有何不同？在一元線(xiàn)性回歸分析中二者是否 有等價(jià)的作用？ 3-11．設(shè)有模型： y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + u ，試在下列條件下： （1） b1 + b2 = 1 （2） b1 = b2 分別求出 b1 和 b2 的最小二乘估計(jì)量。 3-12．多元線(xiàn)性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 y i = b0 + b1 x1i + b2 x 2 i + + bk xki + mi i = 1,2,…,n (2.11.1) 的矩陣形式是什么？其中每個(gè)矩陣的含義是什么？熟練地寫(xiě)出用矩陣表示的該模型的普通 最小二乘參數(shù)估計(jì)量，并證明在滿(mǎn)足基本假設(shè)的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量是無(wú)偏和 有效的估計(jì)量。 3-13．有如下生產(chǎn)函數(shù)： ln X = 1.37 + 0.632 ln K + 0.452 ln L （0.257） (0.219) R2 = 0.98 Cov(bK , bL ) = 0.055 其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。請(qǐng)檢驗(yàn)以下零假設(shè)： （1）產(chǎn)出量的資本彈性和勞動(dòng)彈性是等同的； （2）存在不變規(guī)模收益，即a + b = 1 。 3-14．對(duì)模型 yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki + ui 應(yīng)用 OLS 法，得到回歸方程如下： ? ? ? ? + ? = b 0 + b 1 x1i + b 2 x2i + b k xki yi 要求：證明殘差 ei = yi - y?i 與 y?i 不相關(guān)，即： y?iei = 0 。 3-15． 3-16．考慮下列兩個(gè)模型： Ⅰ、 yi = b1 + b2 x2i + b3 x3i + ui Ⅱ、 ( yi - x2i ) = a1 + a2 x2i + a3 x3i + ui ? ? ，a?3 ? 要求：（1）證明：a?2 = b2 - 1 ，a?1 = b1 = b3 （2）證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即： u?i = u?i （3）在何種情況下，模型Ⅱ的擬合優(yōu)度 R22 會(huì)小于模型Ⅰ擬合優(yōu)度 R12 。 （三）基本計(jì)算類(lèi)題型 3-20．試對(duì)二元線(xiàn)性回歸模型：Yi = b0 + b1 X1i + b2 X 2i + ui ，（ i = 1,2, , n ）作回歸分 ? ? ? ； 析，要求：（1）求出未知參數(shù) b0 , b1 , b2 的最小二乘估計(jì)量 b0 , b1 , b2 （2）求出隨機(jī)誤差項(xiàng) u 的方差 s 2 的無(wú)偏估計(jì)量；（3）對(duì)樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；（4）對(duì)總體回歸方程的顯著性進(jìn)行 F 檢驗(yàn)； （5）對(duì) b1 , b2 的顯著性進(jìn)行 t 檢驗(yàn)； （6）當(dāng) X 0 = (1, X10 , X 20 ) 時(shí)，寫(xiě)出 E(Y0 | X 0 ) 和Y0的置信度為 95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。 3-21．下表給出三變量模型的回歸結(jié)果： 方差來(lái)源 平方和（SS） 自由度（d.f.） 平方和的均值(MSS) 來(lái)自回歸 65965 — — 來(lái)自殘差 — — — 總離差(TSS) 66042 14 要求：（1）樣本容量是多少？（2）求 RSS？ （3）ESS 和 RSS 的自由度各是多少？ （4）求 R2 和 R2 ？ （5）檢驗(yàn)假設(shè)： X 2 和 X 3 對(duì) Y 無(wú)影響。你用什么假設(shè)檢驗(yàn)？為什么？ （6）根據(jù)以上信息，你能否確定 X 2 和 X 3 各自對(duì) Y 的貢獻(xiàn)嗎？ 3-22．下面給出依據(jù) 15 個(gè)觀(guān)察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)： Y = 367.693 ， X 2 = 402.760 ， X 3 = 8.0 ， yi2 = 66042.269 x22i = 84855.096 ， x32i = 280.0 ， yi x2i = 74778.346 yi x3i = 4250.9 ， x2i x3i = 4796.0 其中小寫(xiě)字母代表了各值與其樣本均值的離差。 要求：（1）估計(jì)三個(gè)多元回歸系數(shù)； （2）估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出 R 2 與 R2 ？ （3）估計(jì) B2 、 B3 95%的置信區(qū)間；（4）在a = 5% 下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個(gè)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性（雙邊檢驗(yàn)）； （5）檢驗(yàn)在a = 5% 下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。 3-23．考慮以下方程（括號(hào)內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）： W?i = 8.562 + 0.364Pt + 0.004Pt-1 - 2.560Ut （0.080） (0.072) (0.658) n = 19 R2 = 0.873 其中：W —— t 年的每位雇員的工資和薪水 P —— t 年的物價(jià)水平 U —— t 年的失業(yè)率 要求：（1）對(duì)個(gè)人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；（盡量在做本題之前不參考結(jié)果） （2）討論 Pt -1 在理論上的正確性，對(duì)本模型的正確性進(jìn)行討論； Pt -1 是否應(yīng)從方程中 刪除？為什么？ 3-24．下表是某種商品的需求量、價(jià)格和消費(fèi)者收入十年的時(shí)間序列資料： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量 59190 65450 62360 64700 67400 64440 68000 72400 75710 70680 價(jià) 格 23.56 24.44 32.07 32.46 31.15 34.14 35.30 38.70 39.63 46.68 收入 76200 91200 106700 111600 119000 129200 143400 159600 180000 193000 要求：（1）已知商品需求量 Y 是其價(jià)格 X1 和消費(fèi)者收入 X 2 的函數(shù)，試求 Y 對(duì) X1 和 X 2 的最 ? ? ? ? 小二乘回歸方程：Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 （2）求 Y 的總變差中未被 X1 和 X 2 解釋的部分，并對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)； ? ? （3）對(duì)回歸參數(shù) b1 ， b2 進(jìn)行顯著性 t 檢驗(yàn)。 3-25．參考習(xí)題 2-28 給出的數(shù)據(jù)，要求： （1）建立一個(gè)多元回歸模型，解釋 MBA 畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結(jié)果； （2）如果模型中包括了 GPA 和 GMAT 分?jǐn)?shù)這兩個(gè)解釋變量，先驗(yàn)地，你可能會(huì)遇到什么 問(wèn)題，為什么？ （3）如果學(xué)費(fèi)這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，是否表示進(jìn)入最昂貴的商業(yè) 學(xué)校是值得的。學(xué)費(fèi)這個(gè)變量可用什么來(lái)代替？ 3-26．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水 平有關(guān)，對(duì) 18 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 學(xué)生 購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外 受教育年限 家庭月可支配收 序號(hào) 讀物支出 Y （元/ X1 （年） 入 X 2 （元/月） 1 450.5 4 171.2 2 507.7 4 174.2 3 613.9 5 204.3 4 563.4 4 218.7 5 501.5 4 219.4 6 781.5 7 240.4 7 541.8 4 273.5 8 611.1 5 294.8 9 1222.1 10 330.2 10 793.2 7 333.1 11 660.8 5 366.0 12 792.7 6 350.9 13 580.8 4 357.9 14 612.7 5 359.0 15 890.8 7 371.9 16 1121.0 9 435.3 17 1094.2 8 523.9 18 1253.0 10 604.1 要求： （1）試求出學(xué)生購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出 Y 與受教育年限 X1 和家庭收入水平 X 2 的估計(jì) ? ? ? ? 的回歸方程：Y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 （2）對(duì) b1 , b2 的顯著性進(jìn)行 t 檢驗(yàn)；計(jì)算 R2 和 R 2 ； （3）假設(shè)有一學(xué)生的受教育年限 X1 = 10 年，家庭收入水平 X 2 = 480元/月，試預(yù)測(cè)該學(xué)生全 年購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出，并求出相應(yīng)的預(yù)測(cè)區(qū)間（α=0.05）。 3-27．根據(jù) 100 對(duì)( x1 ， y )的觀(guān)察值計(jì)算出： x12 = 12 xy = -9 y2 = 30 要求： （1）求出一元模型 y = b0 + b1 x1 + u 中的 b1 的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量； （2）后來(lái)發(fā)現(xiàn) y 還受 x2 的影響，于是將一元模型改為二元模型 y = a 0 + a1 x1 + a 2 x2 + v ， 收集 x2 的相應(yīng)觀(guān)察值并計(jì)算出： x22 = 6 x2 y = 8 x1 x2 = 2 求二元模型中的a1 ，a 2 的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量； ? 是否相等？為什么？ （3）一元模型中的 b1 與二元模型中的a?1 3-28．考慮以下預(yù)測(cè)的回歸方程： Y? = -120 + 0.10F + 5.33RS 2 = 0.50 t R t t 其中： Yt ——第 t 年的玉米產(chǎn)量（蒲式耳/畝） Ft ——第 t 年的施肥強(qiáng)度（磅/畝） RSt ——第 t 年的降雨量（英寸） 要求回答下列問(wèn)題： （1）從 F 和 RS 對(duì) Y 的影響方面，說(shuō)出本方程中系數(shù) 0.10 和 5.33 的含義； （2）常數(shù)項(xiàng) -120 是否意味著玉米的負(fù)產(chǎn)量可能存在？ （3）假定 b F 的真實(shí)值為 0.40 ，則估計(jì)值是否有偏？為什么？ （4）假定該方程并不滿(mǎn)足所有的古典模型假設(shè)，即并不是最佳線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)值，則是否意 味著 b RS 的真實(shí)值絕對(duì)不等于 5.33 ？為什么？ 3-29．已知線(xiàn)性回歸模型 Y = XB + U 式中 U ~ （0，s 2 I ）， n = 13 且 k = 3（ n 為樣本 容量， k 為參數(shù)的個(gè)數(shù)），由二次型 (Y - XB)(Y - XB) 的最小化得到如下線(xiàn)性方程組： ? ? 2 + ? = 3 b1 + 2b b3 ? ? ? = 9 2b1 + 5b2 + b3 ? ? + ? b1 + b2 6b3 = -8 要求：（1）把問(wèn)題寫(xiě)成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之； （2）如果 YY = 53 ，求s? 2 ； ? （3）求出 b 的方差—協(xié)方差矩陣。 3-30．已知數(shù)據(jù)如下表： Y X1 X 2 1 1 10 3 2 9 8 3 5 15 4 1 28 5 -6 要求：（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)以下回歸模型的方程（只估計(jì)參數(shù)不用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）： yi = a 0 + a1 x1i + u1i yi = l0 + l2 x2i + u2i yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + ui （2）回答下列問(wèn)題：a1 = b1 嗎？為什么？ l2 = b2 嗎？為什么？ （四）自我綜合練習(xí)類(lèi)題型 3-31．自己選擇研究對(duì)象(最好是一個(gè)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題)，收集樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件 （建議使用 Eviews3.1），完成建立多元線(xiàn)性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的全過(guò)程，并寫(xiě)出詳細(xì)研究報(bào)告。 四、習(xí)題參考答案 （一）基本知識(shí)類(lèi)題型 3-1．解釋下列概念（1）在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中往往存在一個(gè)被解釋變量受到多個(gè)解釋變量的影響的現(xiàn)象， 表現(xiàn)為在線(xiàn)性回歸模型中有多個(gè)解釋變量，這樣的模型被稱(chēng)為多元線(xiàn)性回歸模型，多元 指多個(gè)解釋變量。 CU = CC ? （2）形如 B 的關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的線(xiàn)性代數(shù)方程組稱(chēng)為正規(guī)方程組。 3-2．答：變量非線(xiàn)性、系數(shù)線(xiàn)性；變量、系數(shù)均線(xiàn)性；變量、系數(shù)均線(xiàn)性；變量線(xiàn) 性、系數(shù)非線(xiàn)性；變量、系數(shù)均為非線(xiàn)性；變量、系數(shù)均為非線(xiàn)性；變量、系數(shù)均為線(xiàn) 性。 3-3．答：多元線(xiàn)性回歸模型與一元線(xiàn)性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面：一是解 釋變量的個(gè)數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線(xiàn)性回歸模型比一元線(xiàn)性回歸模型 多了“解釋變量之間不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線(xiàn)性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 式的表達(dá)更復(fù)雜； 3-4．在多元線(xiàn)性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具備線(xiàn)性、無(wú)偏性、最小方差 性，同時(shí)多元線(xiàn)性回歸模型滿(mǎn)足經(jīng)典假定，所以此時(shí)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線(xiàn)性無(wú) 偏估計(jì)量，又稱(chēng) BLUE 估計(jì)量。對(duì)于多元線(xiàn)性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組， 3-5．答：多元線(xiàn)性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、 解釋變量的非隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng) ui 服從 均值為 0 方差為s 2 的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無(wú)偏性中，利用了解釋 變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定；在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。 3-6．答：區(qū)間估計(jì)是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（從一組樣本觀(guān)測(cè)值算得的）作 為近似值的精確程度和誤差范圍。 （二）基本證明與問(wèn)答類(lèi)題型 3-7．答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱(chēng)為正規(guī)方程組。 正規(guī)方程組的非矩陣形式如下： ? 0 +? ? ? ? y i - (b b1 x?1i + b2 x?2i + + bk x?ki ) = 0 y i x1i - (b0 + b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )x1i ? + ? ? ? y i x2i - (b0 b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )x2i ? ? ? ? y i xki - + (b0 b1 x1i + b2 x2i + + bk xki )xki 正規(guī)方程組的矩陣形式如下：  = 0 = 0 = 0 CU = CC ? B 推導(dǎo)過(guò)程略。 3-16．解： （1）證明：由參數(shù)估計(jì)公式可得下列參數(shù)估計(jì)值 x2i ( yi - x2i ) x2i x3i a?2 = x3i ( yi - x2i ) x32i x22i x 2i x3i x2i x3i x32i x2i yi x2i x3i x22i x2i x3i