基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯(lián)機(jī)器人外文文獻(xiàn)翻譯、中英文翻譯,基于,幾何,方法,法子,精確,分析,一類,自由度,平面,并聯(lián),機(jī)器人,外文,文獻(xiàn),翻譯,中英文 基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯(lián)機(jī)器人 Alexander Yu（a），Ilian A. Bonev（b），Paul Zsombor-Murray（a） （a）機(jī)械工程學(xué)院，McGill大學(xué)，817 Sherbrooke St.W ，蒙特利爾，加拿大H3A 2K6 （b）自動(dòng)化制造工程部，E′ cole de technologie supe′ rieure (E′ TS) （a）1100 Notre-Dame St.W.，蒙特利爾，魁北克，加拿大 H3C 1K3 2006年6月12收到; 2006年12月11收到訂正形式; 2007年3月16號(hào)被接受 2007年5月3日出現(xiàn)在網(wǎng)上 摘要 并聯(lián)機(jī)器人正越來(lái)越多地被用于工業(yè)的精確定位和調(diào)整。他們的優(yōu)點(diǎn)是剛性好，快速，準(zhǔn)確。隨著并聯(lián)機(jī)器人被廣泛使用，我們有必要制定一種方法來(lái)比較不同的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)方案。但是不存在一個(gè)簡(jiǎn)單的方法用來(lái)充分比較并聯(lián)機(jī)器人的精確度。過去已有某些被采用的指標(biāo)如靈活度，可達(dá)工作空間和總體調(diào)節(jié)指數(shù)，但當(dāng)它們用于既有平移又有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的機(jī)器人時(shí)表現(xiàn)都不完美。針對(duì)這些問題，本文提出了一種簡(jiǎn)單的幾何方法來(lái)精確計(jì)算由于驅(qū)動(dòng)元件的準(zhǔn)確性不夠而引起的局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。這個(gè)方法是針對(duì)一類三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人的，該類機(jī)器人的最大的工作空間是由圓弧和直線段構(gòu)成的，并且工作空間內(nèi)沒有奇異位置。三個(gè)特別設(shè)計(jì)的方案用于說(shuō)明這種方法。 2007 Elsevier Ltd. 版權(quán)所有。 關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)器人； 靈活度；工作空間； 位置； 精確性；誤差分析 1. 引言 并聯(lián)機(jī)器人一度是實(shí)驗(yàn)室里純學(xué)術(shù)的東西，但是在最近幾年它已經(jīng)被越來(lái)越多地用于工業(yè)上的定位和調(diào)整。由于當(dāng)今市場(chǎng)有這些快速和敏捷的機(jī)器人的需求，因此新的并聯(lián)機(jī)器人正在被設(shè)計(jì)和制造。但是，仍然有許多設(shè)計(jì)新的并聯(lián)機(jī)器人的關(guān)鍵問題沒有解決，如優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能標(biāo)指。怎么能證明一個(gè)新的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)是現(xiàn)有機(jī)器人的優(yōu)化方案呢？根據(jù)機(jī)器人的工作空間來(lái)評(píng)價(jià)該機(jī)器人的性能是否就足夠了呢？顯然，在當(dāng)前工業(yè)環(huán)境下，答案是否定的，因?yàn)樵谠S多應(yīng)用中定位精度已成為一個(gè)關(guān)鍵的問題。 有幾個(gè)很好的界定性能指標(biāo)已被廣泛的用于串聯(lián)和并聯(lián)的機(jī)器人。然而，最近的一項(xiàng)研究[ 1 ]再次審查這些指標(biāo)，并討論其用于有平移和旋轉(zhuǎn)自由度的并聯(lián)機(jī)器人的嚴(yán)重不一致性。該研究審查了最常見的指標(biāo)，優(yōu)化并聯(lián)機(jī)器人：靈活度[ 2 ] 和整體協(xié)調(diào)指數(shù)。用各種條件指數(shù)應(yīng)用于機(jī)器人以找出其靈活度，以提高其準(zhǔn)確性，如兩種標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)或弗洛比尼斯指數(shù)，并通過計(jì)算機(jī)器人的全部工作空間來(lái)了解它的整體協(xié)調(diào)指數(shù)。[ 3 ]論文的結(jié)論是，這些指標(biāo)不應(yīng)當(dāng)用于混合自由度類型的并聯(lián)機(jī)器人（平移和旋轉(zhuǎn)） 。 當(dāng)作者設(shè)計(jì)了一個(gè)新的三自由度（ 3自由度）平面并聯(lián)機(jī)器人，他們用靈活度來(lái)比較類似的設(shè)計(jì) [ 4 ] 。這種是比較公平的，因?yàn)樵O(shè)計(jì)允許使用相同的層面。但是如果比較的是一個(gè)變化的單位（例如，從厘米級(jí)到毫米級(jí)） ，這些數(shù)字的指數(shù)將發(fā)生重大變化。更高價(jià)值的長(zhǎng)度單位實(shí)質(zhì)上將使機(jī)器人的靈活度接近0。如圖1所示。 靈活度指標(biāo)對(duì)使用部件的類型和部件的重要性非常敏感，因?yàn)殪`活度依賴于雅可比矩陣。這個(gè)矩陣混合了可變的功能，如平移和旋轉(zhuǎn)功能。一種可能的解決這一問題的辦法是增加了條件數(shù)，但是每個(gè)條件都是由特定的問題來(lái)描述的[ 1 ]。 整體協(xié)調(diào)指數(shù)（ GCI ）可以用來(lái)評(píng)估機(jī)器人在其工作空間里指標(biāo)，它可用于機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)。但是，仍然存在著兩個(gè)問題，這指數(shù)。首先，它仍是依賴于一些問題的條件，這些問題必須已被概括描述出來(lái)[ 1 ] 。其次，它是計(jì)算密集型的。 顯然，工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人最好的測(cè)量精度應(yīng)與局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，因?yàn)轵?qū)動(dòng)器誤差（輸入誤差） ，或一些廣義的誤差（例如，在特定工作空間里的均值和方差的誤差） 。一般方法可以在區(qū)間分析的基礎(chǔ)上近似計(jì)算這些誤差[ 5 ] 。但是，此方法計(jì)算密集型的，并沒有深入到此問題優(yōu)化設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。 圖 1 靈活度例子（a） PreXYT ， （b） HephAist并聯(lián)機(jī)器人（ c ）星三角并聯(lián)機(jī)器人。 圖2 （a） PreXYT （正在申請(qǐng)專利）（ b ） HephAist的NAF3型校準(zhǔn)臺(tái)（courtesy of HephAist Seiko Co., Ltd） 。 與此相反，本文提出了一種簡(jiǎn)單的幾何方法用于準(zhǔn)確的計(jì)算一類三自由度平面完全并聯(lián)機(jī)器人局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。該機(jī)器人的可達(dá)工作空間是由圓弧和直線組成的，并且工作空間內(nèi)沒有奇異位置。該方法不僅速度快于其他任何方法（針對(duì)特定類別的并聯(lián)機(jī)器人） ，而且也帶來(lái)了有價(jià)值的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。 這種做法體現(xiàn)在三個(gè)特別設(shè)計(jì)，這些設(shè)計(jì)中最佳微定位的位置在相對(duì)較大的工作空間里的位置頗有不同： 1. 一種新的并聯(lián)機(jī)器人，名為PreXYT ，由E′ cole de technologie supe′rieure (E′ TS)設(shè)計(jì)和建造，它具有獨(dú)特2-PRP/1-PPR配置（ P和R用于被動(dòng)棱柱和旋轉(zhuǎn)接頭，而P用于驅(qū)動(dòng)滑移鉸）。圖2（a）顯示的是PreXYT的CAD模型。 2. HephAist的3-PRP并聯(lián)機(jī)器人，由日本公司HephAist Seiko設(shè)計(jì) ，目前已投入商業(yè)使用。圖2顯示的是其工業(yè)模型的照片。 3. 星三角并聯(lián)機(jī)器人是另外一種在法國(guó)LIRMM設(shè)計(jì)的3-PRP并聯(lián)機(jī)器人 [ 6 ] 。這種機(jī)器人是雙三角并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案 [ 7 ] 。 其余內(nèi)容安排如下。下一節(jié)介紹了擬議的幾何方法。然后，第3節(jié)介紹了所有三個(gè)并聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和直接運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，其精確度將是本文研究重點(diǎn)。第4節(jié)簡(jiǎn)要敘述了這三個(gè)機(jī)器人幾何形狀不變的工作空間。第5節(jié)適用于擬議的幾何方法計(jì)算局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。最后一節(jié)給出了結(jié)論。 2. 幾何方法計(jì)算輸出誤差 考慮三自由度完全平行平面機(jī)器人在一個(gè)理想的（名義上）狀態(tài)下。設(shè)x， y和Φ表示移動(dòng)平臺(tái)的假設(shè)位置和假設(shè)方向，ρ1、ρ2和ρ3表示活動(dòng)關(guān)節(jié)的變量。由于驅(qū)動(dòng)器的誤差是±ε ，實(shí)際活動(dòng)關(guān)節(jié)變量的范圍大概在[ρ1-ε，ρ2+ε]。因此，移動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際位置和方向分別是x+Δx，y+Δy，和Φ+ΔΦ。現(xiàn)在的問題是給動(dòng)機(jī)器人的公稱尺寸（x，y，Φ，ρ1，ρ2，ρ3）和公差范圍 ±ε，怎樣確定最大位置誤差和最大方向誤差。例如，最大位置誤差 δmax=max?x2+?y2 ，最大方向誤差σmax=max?Φ。 為了計(jì)算這些誤差，我們基本上需要找到活動(dòng)關(guān)節(jié)的變量中存在誤差的值。最大的錯(cuò)誤是假設(shè)無(wú)論什么類型的機(jī)器人，無(wú)論機(jī)器人的尺寸如何，當(dāng)機(jī)器人的活動(dòng)關(guān)節(jié)變量受最大輸入誤差影響時(shí)，產(chǎn)生最大位置誤差，如誤差是+ε或-ε。事實(shí)上，在[ 8 ] ，這是代數(shù)證明的最大方向角的三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人，在兩條支鏈平行時(shí)，在兩條支鏈平行時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)第1類（串聯(lián)）或第2類（并聯(lián)）奇異，這就是間隔輸入誤差。同樣，有人證明，并非所有活動(dòng)關(guān)節(jié)變量必須在間隔輸入誤差里才會(huì)產(chǎn)生最大位置誤差。 當(dāng)然，雖然也有例外，三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人用于精確定位操作遠(yuǎn)離第1類奇異點(diǎn)，當(dāng)然也遠(yuǎn)離第2類奇異（如果存在） 。另外，無(wú)論機(jī)器人得兩條支鏈?zhǔn)欠衿叫卸己苋菀淄茢喑鼍植孔畲蠓较蛘`差，并且很容易設(shè)計(jì)出這種沒有奇異點(diǎn)的機(jī)器人。因此，實(shí)際上當(dāng)八個(gè)活動(dòng)關(guān)節(jié)變量中有一個(gè)的輸入誤差是+ε或-ε時(shí)，這種三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人會(huì)產(chǎn)生局部最大方向誤差。 現(xiàn)在，找到局部最大位置誤差相當(dāng)于找到距離移動(dòng)平臺(tái)通常位置最遠(yuǎn)的不確定區(qū)域的中心點(diǎn)。這種不確定區(qū)域基本上是機(jī)器人通過改變活動(dòng)鉸鏈所能到達(dá)的最大工作空間，距離是[ρi-ε，ρi+ε] 。顯然正因?yàn)檫@一點(diǎn)，我們正在尋求在邊界的最大工作空間。 在[ 9 ]中有一個(gè)計(jì)算邊界的幾何算法 ，但我們不會(huì)在這里討論細(xì)節(jié)。我們只需要提及的是組成這一邊界部份的曲線的形態(tài)，至少有一條支鏈會(huì)出現(xiàn)第1類奇異（這不在我們的研究范圍之內(nèi)） ，或者解耦度較低。當(dāng)這些曲線是由直線段或圓弧組成時(shí)，這將是非常容易距離移動(dòng)平臺(tái)通常位置最遠(yuǎn)的不確定區(qū)域的中心點(diǎn)。這一點(diǎn)將會(huì)是最大工作空間的交匯點(diǎn)。 下面，將三個(gè)例子加以研究，以說(shuō)明擬議的幾何方法。 3 。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 從圖3a-c可以看出，基礎(chǔ)參考系Oxy固定在地面上，定義一個(gè)每個(gè)平面都是水平運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)器人。同樣，移動(dòng)參照系Cx’ y’是固定在移動(dòng)平臺(tái)上的，并且與Oxy在同一平面內(nèi)。定義Ai是轉(zhuǎn)動(dòng)支鏈i的轉(zhuǎn)軸點(diǎn)（本文中，i=1，2，3），并且在Oxy平面內(nèi)。 從圖3a和b中可以看出，基礎(chǔ)y軸沿著A2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向 ，而運(yùn)動(dòng)的x’ 軸沿著線A2A3的方向。從圖3a中可以看出，原點(diǎn)C與A1點(diǎn)重合。而在圖3b中，原點(diǎn)C 的擺放可以使A1沿著y’ 軸移動(dòng)。S是A2和A3兩點(diǎn)的平行移動(dòng)路徑之間的距離。而在HephAist的調(diào)整平臺(tái)，H是基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸與A1移動(dòng)路徑之間的距離。 從圖3中可以看出，設(shè)Oi是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。令O點(diǎn)與O1點(diǎn)重合，令基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸與線O1O2重合。令移動(dòng)平臺(tái)上三條交叉線的交點(diǎn)是C點(diǎn)，讓C點(diǎn)隨著Ai點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)。這三條線之間的夾角相同。最后，移動(dòng)坐標(biāo)系y’ 軸與線A1C重合。 圖。 3 。示意圖（a） PreXYT （正在申請(qǐng)專利） ， （b） HephAist的并聯(lián)機(jī)器人和（ c ）星三角并聯(lián)機(jī)器人。 令ρi是活動(dòng)鉸鏈的距離，定義如下。以PreXYT和HephAist的調(diào)整平臺(tái)（圖3a和b ）為例，ρ1是基礎(chǔ)坐標(biāo)系y軸到A1點(diǎn)的距離 ，而ρ2和ρ3是基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸分別到A2和A3的距離。最后，對(duì)于星三角機(jī)器人（圖3C） ，ρi是Oi到Ai的距離。事實(shí)上，對(duì)于星三角機(jī)器人，從機(jī)械設(shè)計(jì)上保證了Ai不能與Oi重合。 3.1. PreXYT 給定活動(dòng)鉸鏈變量，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動(dòng)平臺(tái)的位置和方向。方向角也是很容易得到的,如： Φ=tan-1 ρ3-ρ2s （1） 而移動(dòng)平臺(tái)的位置如下確定 x=ρ1 （2） y=ρ2+ρ1(ρ_3-ρ_2s) （3） 從這個(gè)例子可以看到，直接運(yùn)動(dòng)學(xué)PreXYT非常簡(jiǎn)單，部分解耦。 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析也是很簡(jiǎn)單的。根據(jù)移動(dòng)平臺(tái)位置和方向可以如下獲得活動(dòng)鉸鏈變量： ρ1=x （4） ρ2=y-x tanΦ （5） ρ3=y+s-xtanΦ （6） Obviously, PreXYT has no singularities (provided that s is non-zero). 顯然， PreXYT沒有奇異點(diǎn)（前提是S是非零） 。 3.2 。 HephAist的并聯(lián)機(jī)器人 給定活動(dòng)鉸鏈變量，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動(dòng)平臺(tái)的位置和方向。方向角度的方程和方程（1）非常相似。移動(dòng)平臺(tái)的位置是A_2A_3與過A_1且與A_2A_3正交的線的交點(diǎn)。因此可以由方程計(jì)算出x和y： x=dρ1s+h-ρ2ρ3-ρ2s2+ρ3-ρ22 （7） y=s2ρ2+hρ3-ρ22+sρ1(ρ3-ρ2)s2+ρ3-ρ22 （8） 我們可以看到，直接運(yùn)動(dòng)學(xué)HephAist的并聯(lián)機(jī)器人更為復(fù)雜而且耦合度高。 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是比較容易解決的。根據(jù)移動(dòng)平臺(tái)的位置和方向，可以獲得活動(dòng)鉸鏈變量： ρ1=x-h-ytanΦ （9） ρ2=y-x tanΦ （10） ρ3=y+s-xtanΦ （11） 由方程（（7）-（11））定義（假設(shè)s是50），很顯然，這并聯(lián)機(jī)器人也沒有奇異點(diǎn)。注意 ，這是很大的優(yōu)勢(shì)，通常大多數(shù)平面并聯(lián)機(jī)器人都有奇異點(diǎn)。 3.3 。星三角并聯(lián)機(jī)器人 給定活動(dòng)鉸鏈變量，通過這種直接的運(yùn)動(dòng)中使用的方法，如[ 10 ]中，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動(dòng)平臺(tái)的位置和方向。在圖4中，通過下列幾何的基礎(chǔ)上定義的第一次費(fèi)爾馬點(diǎn)可以很容易的獲得C點(diǎn)的位置。 圖。 4 。星三角并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解 由于三角形A1A2A3中，沒有任何一個(gè)角大于120度 （因?yàn)辄c(diǎn)Ai無(wú)法移動(dòng)到三角形O1O2O3外面），等邊三角形在它外面。用Qi表示三角形最外層的角（見圖4 ）。然后使QiAi成120度并且相交于一點(diǎn)，即所謂的第一費(fèi)爾馬點(diǎn)。這一點(diǎn)是移動(dòng)支架的原點(diǎn)C。 雖然目前移動(dòng)平臺(tái)的位置是唯一的，但有兩種可能的方向角（Φ和Φ+180°） 。但是，很明顯只兩個(gè)方案中只有一個(gè)是是可行的（那個(gè)-90°<Φ<90°是可行的） 。 要找到C點(diǎn)的坐標(biāo)和方向角度θ ，必須進(jìn)行以下簡(jiǎn)單的計(jì)算。讓Qi表示Ai到Qi的矢量，ai=[xAiyAi]T表示O到Ai點(diǎn)的矢量。因此，Qi可以被很簡(jiǎn)單的寫成： qi≡xQiyQi=12aj+ak+32E(aj-ak) （12） 其中 E=-1001 （13） 而且（i，j，k）=（1，2，3），（2，3，1）或（3，1，2）。現(xiàn)在拿A1Q1和A2Q2來(lái)舉例說(shuō)明，它們的交點(diǎn)是C，坐標(biāo)如下： x=xA1yQ1-xQ1yA1xA2-xQ2-xA2yQ2-xQ2yA2xA1-xQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1 （14） y=xA1yQ1-xQ1yA1yA2-yQ2-xA2yQ2-xQ2yA2yA1-yQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1 （15） 移動(dòng)平臺(tái)的方向可通過測(cè)量線A_1C和基礎(chǔ)坐標(biāo)系y軸的夾角來(lái)獲得： Φ=a tan2y-yA1，x-xA1 （16） 這個(gè)裝置的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)也很容易解決的。讓矢量c=[x，y]T表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系原點(diǎn)O到移動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)C的距離。bi和pi分別表示沿著線OiAi和CAi的單位長(zhǎng)度。然后，它可以被很容易地表示： ρi=biTE(oi-c)biTEpi-d （17） 其中d是的三角形O1O2O3各頂點(diǎn)和相應(yīng)初始位置之間的線性調(diào)節(jié)器（見圖3c） 。 4 。恒方向工作空間分析 不變方向（位置）工作的平面并聯(lián)機(jī)器人[ 9 ]存在一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算方法。雖然，計(jì)算恒定方向工作的三個(gè)機(jī)器人時(shí)沒有必要精確計(jì)算。這個(gè)工作空間的分析表明，這些機(jī)器人沒有簡(jiǎn)單的關(guān)系，精確的工作空間形狀和尺寸。 為了能夠公平比較，這將假定只有限個(gè)制約工作機(jī)器人驅(qū)動(dòng)器的限制。在這種情況下，恒定方向工作的所有三個(gè)平面并聯(lián)機(jī)器人可以很容易達(dá)到如圖5所示的幾何形狀，那里的恒定方向工作空間顯示為一塊區(qū)域。 很顯然，導(dǎo)向工作的PreXYT的工作空間為任何非零方向大于恒定方向工作的HephAist機(jī)器人的工作空間。此外，導(dǎo)向工作的PreXYT機(jī)器人始終有兩到三個(gè)運(yùn)動(dòng)方向 ，而位置不變的恒定方向工作的HephAist的機(jī)器人是非常不同的。這意味著，局部地區(qū)每個(gè)點(diǎn)在某一范圍內(nèi)至少有一個(gè)方向，Φ∈-Φmax，Φmax，并且比PreXYT更大 。然而，所謂的最大的工作空間（所有能到達(dá)的位置）HephAist的并聯(lián)機(jī)器人要大得多的。 不幸的是，圖5c不能明確表明恒定方向工作的平面星三角并聯(lián)機(jī)器人的工作空間是否大于其他兩個(gè)機(jī)器人，因?yàn)榉较虿灰粯?，也沒有限制的驅(qū)動(dòng)器。事實(shí)上，在零方向，導(dǎo)向工作的PreXYT工作空間大于星三角并聯(lián)機(jī)器人，但是除了某些特定的方向角，情況就會(huì)反過來(lái)。然而，很明顯，星三角并聯(lián)機(jī)器人的最大工作空間大于PreXYT （這是一個(gè)正方形，其副作用是致i動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)）。 直觀地看，一個(gè)機(jī)器人的工作空間越大，它的定位精度就越低。但是，如果只考慮最大位置度誤差（如文中所做） ，而沒有考慮它是否在準(zhǔn)確定義的最大工作空間內(nèi)，就會(huì)出現(xiàn)極端的現(xiàn)象，它將會(huì)在下一節(jié)中出現(xiàn)。 5 。誤差分析 因?yàn)橛糜诒容^的原因，將被認(rèn)為所有這三個(gè)并聯(lián)機(jī)器人使用相同的驅(qū)動(dòng)器，其行程為500毫米。設(shè)這些驅(qū)動(dòng)器的精確度是ε=0.05毫米，這意味著如果活動(dòng)鉸鏈i的形式參數(shù)是Qi，那 么它的實(shí)際參數(shù)再[ρi-ε，ρi+ε]范圍內(nèi)。設(shè)星三角并聯(lián)機(jī)器人的偏距是100毫米?；谶@些假設(shè)，它現(xiàn)在將顯示，可以使用簡(jiǎn)單幾何方法來(lái)分析最大的方向和位置誤差。 圖5 恒方向工作空間（a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯(lián)機(jī)器人和（ c ）星三角并聯(lián)機(jī)器人。 5.1. PreXYT 5.1.1 。最大方向度誤差 圖6a顯示，很明顯，最大方向度誤差并不取決于名義位置的移動(dòng)平臺(tái)并且最大方向度誤差發(fā)生在2號(hào)和3號(hào)驅(qū)動(dòng)器各自在ρ_2和ρ_3的位置（取決于名義方向角的符號(hào)，這將是兩個(gè)組合） 。為了分析方向度誤差，應(yīng)分析一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)的類似三角形。跳過詳細(xì)分析，可以表示最大方向角： σmax=sin-12εcosΦs2+s tanΦ-2ε2 （18） Φ是名義上的方向角。圖7顯示了PreXYT用作表示的名義方向角時(shí)的最大的方向誤差。顯然，這清楚地表明，當(dāng)Φ增加， σmax下降。 5.1.2 。最大位置度誤差 再次談到圖6a，陰影區(qū)域是活動(dòng)鉸鏈的角度在[ρi-ε，ρi+ε]范圍內(nèi)的最大工作空間。事實(shí)上，這是該地區(qū)在C點(diǎn)。其幾何計(jì)算[ 9 ]是相當(dāng)簡(jiǎn)單的，三自由度并聯(lián)機(jī)器人的腿關(guān)節(jié)有兩個(gè)平動(dòng)關(guān)節(jié)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。最大工作空間的邊界是，當(dāng)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)器正處于一個(gè)極限點(diǎn)時(shí)，C點(diǎn)描述的曲線。請(qǐng)注意，對(duì)于一般3自由度平面并聯(lián)機(jī)器人的界限，最大的工作空間的邊界可能還包括其中一條支鏈?zhǔn)窃谄娈愇恢脮r(shí)的曲線，在奇異位置時(shí)計(jì)算很復(fù)雜。 圖。 6 。獲得的最大位置度誤差 （a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯(lián)機(jī)器人和（ c ）星三角并聯(lián)機(jī)器人。 圖。 7 。最大方向度誤差函數(shù)的名義方向角PreXYT 。 圖。 8 。最大位置度誤差函數(shù)的名義方向角PreXYT 。 但幸運(yùn)的是，所有三個(gè)并聯(lián)機(jī)器人的所有支鏈都沒有奇異位置（在不拆卸機(jī)器人的情況下）。 要找的最大位置度誤差，就應(yīng)該找到名義位置與最大工作空間邊界的最大距離。分析一個(gè)通用3自由度平面并聯(lián)機(jī)器人很困難，最大工作空間的邊界可能是橢圓的一個(gè)片斷或者是連續(xù)狀態(tài)。然而，三自由度并聯(lián)機(jī)器人的腿關(guān)節(jié)有兩個(gè)平動(dòng)關(guān)節(jié)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（或者是交叉形的）。而且由于這些環(huán)形交叉口的中心明顯在最大工作空間外（與驅(qū)動(dòng)器的行程相比ε非常?。?，最大位置度誤差發(fā)生在最大工作空間的一個(gè)角落。即，當(dāng)三個(gè)驅(qū)動(dòng)器正處于一個(gè)極限位置時(shí)。因此，只有8個(gè)可能性（8個(gè)角）應(yīng)檢查移動(dòng)平臺(tái)的每個(gè)名義位置和方向。 然而對(duì)PreXYT來(lái)說(shuō)，最大工作空間是一個(gè)平行四邊形，最大位置度誤差δmax較長(zhǎng)對(duì)角線的一半。因此，下面的簡(jiǎn)單方程表示PreXYT的最大位置度誤差： δmax=ε1+1+tanΦ2 （19） 請(qǐng)注意， PreXYT的最大位置度誤差并不取決于機(jī)器人的尺寸（驅(qū)動(dòng)器的距離和行程s） 。這一誤差在圖8中顯示為關(guān)于Φ的函數(shù)。 5.2 。 HephAist的并聯(lián)機(jī)器人 5.2.1 。最大方向度誤差 HephAist并聯(lián)機(jī)器人的最大方向角的解析表達(dá)式顯然和PreXYT的一樣 ，即方程（18）。 5.2.2 。最大位置度誤差 HephAist并聯(lián)機(jī)器人最大工作空間的邊界是由四個(gè)圓弧和兩個(gè)線段的一部分組成的（圖6b）?？梢钥闯?，最大位置度誤差出現(xiàn)時(shí)最大方向度誤差已經(jīng)出現(xiàn)了。因此，不難看出，要找出最大位置度誤差只有兩種配置需要測(cè)試：ρ1-ε，ρ2+ε，ρ3-ε和ρ1+ε，ρ2-ε，ρ3+ε。經(jīng)過進(jìn)一步分析后確定，如果Φ是確定的，那么最大位置度誤差發(fā)生在δmax和ρ1-ε處，否則最大位置度誤差發(fā)生在δmax和ρ1+ε處。從本質(zhì)上講，對(duì)于給定移動(dòng)平臺(tái)名義位置和方向的HephAist并聯(lián)機(jī)器人只要一次計(jì)算就能找到的最大位置度誤差。 通過一個(gè)解析表達(dá)式可以很容易的找到最大位置度誤差，就不在這里推導(dǎo)了。對(duì)于一個(gè)給定的名義位置和方向，我們只需要解決活動(dòng)鉸鏈的正確組合的正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，并且計(jì)算出名義位置和新位置的距離。利用這一過程，就能找到最大位置度誤差與名義位置和兩個(gè)給定方向之間的關(guān)系曲線（圖9）。 圖。 9清楚地表明， HephAist的并聯(lián)機(jī)器人的移動(dòng)平臺(tái)遠(yuǎn)離它的最大高度時(shí)，最大位置度誤差顯著上升。同樣明顯的是，從總體上來(lái)說(shuō)， HephAist的并聯(lián)機(jī)器人比PreXYT的最大位置度誤差要大。 5.3 。星三角并聯(lián)機(jī)器人 5.3.1 。最大方向度誤差 直觀來(lái)看，最大方向度誤差發(fā)生在ρ1-ε，ρ2-ε，ρ3-ε和ρ1+ε，ρ2+ε，ρ3+ε處。進(jìn)一步檢查發(fā)現(xiàn)，最大的方向度誤差發(fā)生在，Φ≥0時(shí)ρ1-ε，ρ2-ε，ρ3-ε，Φ≤0時(shí)ρ1+ε，ρ2+ε，ρ3+ε處。 數(shù)值分析表明，在星三角并聯(lián)機(jī)器人的工作空間中對(duì)任何名義的位置和方向來(lái)說(shuō)，最大方向度誤差幾乎是相同的。因此，只有均值和方差是這里的最大方向度誤差，而不是表現(xiàn)出輪廓線，或是曲線： Φ=0°時(shí)， σmaxmean=14.117°×10-3 σmaxvar=9.71°×10-27 Φ=15°時(shí) σmaxmean=13.228°×10-3 σmaxvar=6.86°×10-27 請(qǐng)注意，最大位方向度誤差很可能是關(guān)于名義方向角Φ的函數(shù)，這將解釋幾乎為零的方差。需要作進(jìn)一步分析，以驗(yàn)證這一有趣的假設(shè)，這將極大地簡(jiǎn)化了最大方向角的計(jì)算。 應(yīng)當(dāng)指出的是，星三角并聯(lián)機(jī)器人的最大方向度誤差是其他兩個(gè)平行的機(jī)器人的近兩倍。 5.3.2 。最大位置度誤差 如前所述，最大位置度誤差將出現(xiàn)在所有驅(qū)動(dòng)器正處于極端的位置（最大工作空間的轉(zhuǎn)彎處，如圖6c所顯示的）。只要有一種舍棄8種配置中幾種的方法，就可以簡(jiǎn)單地測(cè)試所有這些配置，并且不需要擔(dān)心計(jì)算時(shí)間。的確，對(duì)于每一個(gè)配置來(lái)說(shuō)，通過正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（14）和（15）可以達(dá)到相同的位置。然后這一位置和名義位置的距離可以用于計(jì)算，最大位置度誤差是所有8個(gè)距離中最大的距離。 星三角機(jī)器人的最大位置度誤差的等高線圖（圖10）清楚地表明，其平均最大位置度誤差與PreXYT 是類似的。然而，這不是什么在圖1中建議的巧妙方法，這說(shuō)明靈巧度的不足保證了其精確度。 圖。 9 。HephAist的并聯(lián)機(jī)器人的最大位置度誤差的等高線圖（在μm級(jí)別）：（a）Φ=0°和（b）Φ=15°。 圖。 10 。星三角并聯(lián)機(jī)器人最大位置度誤差（在μm級(jí)別）的等高線圖：（a）Φ=0°和（b）Φ=15°。 顯然，對(duì)一個(gè)特定的工作空間來(lái)說(shuō)，一個(gè)更詳細(xì)的比較應(yīng)基于均值和方差的最大位置和最大方向角。由于這些設(shè)備是最有可能像圓片一樣對(duì)齊，這樣的工作空間可能是一個(gè)直徑300毫米的圓形區(qū)域，在這圓形區(qū)域中±5度角內(nèi)的任何方向角都是可能的。但是，這并不是主題，本文并不會(huì)詳細(xì)敘述。 6 。結(jié)論 本文是失敗古典精度指標(biāo)的直接響應(yīng)，如局部靈巧指標(biāo)，在處理并聯(lián)機(jī)器人的平移和取向的自由度，在優(yōu)化設(shè)計(jì)和比較。而不是使用非物理概念，如靈活性，作者提出了簡(jiǎn)單的幾何辦法來(lái)精確的確定在某一特定的名義位置和方向時(shí)的由于驅(qū)動(dòng)器誤差而引起的最大位置度誤差和最大的方向度誤差。顯然，這種方法還可以提供最大線速度和最大角速度。 這種方法只適用于簡(jiǎn)單的三自由度平面完全并聯(lián)機(jī)器人，并且沒有奇異位置。不過，這種機(jī)器人肯定是最佳的微定位和調(diào)整儀器。作者說(shuō)明擬議幾何方法中引用了三個(gè)特殊的例子，其中有一個(gè)是商用的。簡(jiǎn)單的比較揭示了大多數(shù)商用設(shè)計(jì)上的缺點(diǎn)。 鳴謝 作者要感謝Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC)和Fonds Que′becO_is de la recherche sur la nature et les technologies (FQRNT)的經(jīng)濟(jì)支持。 翻譯人：蔣林 翻譯文獻(xiàn): Geometric approach to the accuracy analysis of a class of 3-DOF planar parallel robots。Available online at www.sciencedirect.com。Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364–375。