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1,第2部分有限元分析及應(yīng)用FiniteElementAnalysisandApplications,2,第6章有限元法的基本概念,3,在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常會(huì)遇到兩類典型的問(wèn)題。第一類問(wèn)題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。這類問(wèn)題稱為離散系統(tǒng)。如下圖所示平面桁架結(jié)構(gòu)，是由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。,6.1工程和科學(xué)中典型問(wèn)題,4,第二類問(wèn)題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問(wèn)題，熱傳導(dǎo)問(wèn)題等。由于建立基本方程所研究的對(duì)象通常是無(wú)限小的單元，這類問(wèn)題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場(chǎng)問(wèn)題。,盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解答。對(duì)于許多實(shí)際的工程問(wèn)題，還無(wú)法給出精確的解答。為解決這個(gè)困難，工程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多近似方法。,6.1工程和科學(xué)中典型問(wèn)題,5,6.2場(chǎng)問(wèn)題的一般描述,實(shí)例：二維熱傳導(dǎo)（穩(wěn)態(tài)）問(wèn)題,原理：從兩個(gè)方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量Q平衡,基本方程：邊界條件：,6,6.3場(chǎng)問(wèn)題的求解策略及方法,6.3.1求解策略1、直接法：求解基本方程和相應(yīng)定解條件的解；2、間接法：基于變分原理，構(gòu)造基本方程及相應(yīng)定解條件的泛函形式，通過(guò)求解泛函的極值來(lái)獲得原問(wèn)題的近似解。即將微分形式轉(zhuǎn)化與其等價(jià)的泛函變分的積分形式。6.3.2求解方法1、解析或半解析法：2、數(shù)值法：A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法；B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法）、有限元法等。,7,數(shù)值計(jì)算方法分類,8,先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié)點(diǎn)相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合近似代替每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來(lái)表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問(wèn)題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即單元?jiǎng)偠确匠蹋┙柚诰仃嚤硎?，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。,6.4有限元法基本思想,9,,有限元法基本思想,10,節(jié)點(diǎn)位移向量表示：節(jié)點(diǎn)力向量表示：節(jié)點(diǎn)1沿x方向的位移、其余節(jié)點(diǎn)位移全為0時(shí)軸向壓力為：,,,,,,實(shí)例1:(1)求右圖離散結(jié)構(gòu)2的點(diǎn)位移,11,,,,,同理，節(jié)點(diǎn)2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方向相反，x和y方向的分量分別記為：,,,注：表示第e個(gè)單元的第j個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，而其它自由度上的位移為零時(shí)，第i個(gè)自由度上所受的力。常稱其為單元的剛度系數(shù)。,,實(shí)例1:(2)單元分析,節(jié)點(diǎn)1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為：,12,單元2節(jié)點(diǎn)力平衡方程,,,,實(shí)例1:(2)單元分析,同理可求分別作單位位移時(shí)相應(yīng)的剛度系數(shù)，考慮到節(jié)點(diǎn)的實(shí)際受力為和實(shí)際位移為，則據(jù)各個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力平衡得：,13,結(jié)合前式推導(dǎo)得：,,實(shí)例1:(3)整體分析,整體分析：作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力平衡，即,14,,整體矩陣記為：,求解上述整體方程，可得問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)位移。,實(shí)例1:(4)引入約束求解,將代入可得整體方程,15,實(shí)例2連續(xù)問(wèn)題,例：求等截面直桿在自重作用下的拉伸。圖(a)中單位桿長(zhǎng)重量為q，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面面積為A，彈性模數(shù)為E。,16,實(shí)例2,材料力學(xué)方法求解直桿拉伸：考慮微段dx，內(nèi)力N=q(L-x)dx的伸長(zhǎng)為：x截面上的位移：根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里應(yīng)變：應(yīng)力：,17,,,,,,,,,,,i,L,1,i,L,+,圖2-3,i+1,i,i-1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,),L,L,(,,q,1,i,i,+,+,1、離散化,2、外載荷集中到結(jié)點(diǎn)上，即把陰影部分的重量作用在結(jié)點(diǎn)i上,實(shí)例2（1）結(jié)構(gòu)離散,有限單元法求解直桿拉伸：直接公式法,18,,實(shí)例2（2）單元分析,3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù),19,4、以i結(jié)點(diǎn)為對(duì)象，列力的平衡方程令將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得,用結(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程，其中i=1，2，…n有n個(gè)方程未知數(shù)也有n個(gè)，解方程組，得出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算應(yīng)力。,實(shí)例2（2）單元分析,20,假設(shè)線單元數(shù)為3個(gè)的情況，平衡方程有3個(gè)：i=1時(shí)，i=2時(shí),i=3時(shí)，聯(lián)立解得：,與材料力學(xué)的精確解答在結(jié)點(diǎn)處完全相同。,實(shí)例2（3）整體分析與求解,21,6.5有限元法的基本步驟,?所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模(問(wèn)題分析)?結(jié)構(gòu)離散?單元分析(位移函數(shù)、單剛方程)?整體分析與求解(總剛方程與求解)?結(jié)果分析及后處理,22,在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來(lái)源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺(jué)判斷。從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。1956年，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)題。把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術(shù)語(yǔ)。,6.6有限單元法的發(fā)展,23,數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。,有限單元法的發(fā)展,24,我國(guó)的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長(zhǎng)（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開(kāi)始的近十年期間，我國(guó)的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái)，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法。可廣泛應(yīng)用于各種微分方程描述的場(chǎng)問(wèn)題的求解。,有限單元法的發(fā)展,25,結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)是彈性力學(xué)，而方程求解的原理是泛函極值原理，實(shí)現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術(shù)，最后的技術(shù)載體是有限元分析軟件。因此學(xué)習(xí)時(shí)，必須掌握的基本內(nèi)容應(yīng)包括：1、基本變量和力學(xué)方程（即彈性力學(xué)的基本概念）;2、數(shù)學(xué)求解原理（即能量原理）;3、離散結(jié)構(gòu)和連續(xù)結(jié)構(gòu)的有限元分析實(shí)現(xiàn)（即有限元法的基本步驟）;4、有限元法的應(yīng)用（即有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域或工程問(wèn)題研究）;5、各種分析建模技巧及計(jì)算結(jié)果的評(píng)判;6、典型分析軟件的使用。注意：會(huì)使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具,6.7有限元法的基本內(nèi)容,26,在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離不開(kāi)有限元分析計(jì)算，F(xiàn)EA在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來(lái)越廣泛的重視。,6.8有限元法的應(yīng)用,27,應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器數(shù)字模型及FEA網(wǎng)格,28,應(yīng)用實(shí)例：制動(dòng)器性能分析,29,,,30,亞洲第一，世界第二起重船高70米起重3500噸,應(yīng)用實(shí)例：東海大橋和杭州灣大橋用起重船,31,應(yīng)用實(shí)例：起重機(jī)和扁擔(dān)梁模型,32,面板剛度提高2.8倍,質(zhì)量減少35%,整體厚度下降,應(yīng)用實(shí)例：面板剛性增強(qiáng)設(shè)計(jì),33,,,34,,,35,結(jié)構(gòu)離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元2）邊界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷。要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形----單元的幾何特性；2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同----單元的物理特性。,6.9有限元法的幾個(gè)基本概念,36,節(jié)點(diǎn)載荷,節(jié)點(diǎn)力,單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力。節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別；2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別。,單元與節(jié)點(diǎn),37,,,,,,,典型單元類型,38,用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場(chǎng)）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。選擇位移函數(shù)的一般原則：1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解,6.10插值函數(shù)（或位移函數(shù)）,39,6.11位移函數(shù)的構(gòu)造方法,(1)廣義坐標(biāo)法:一維單元位移函數(shù)：為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo),40,如一維單元:二維單元:注：Ni可為L(zhǎng)agrange、Hamiton多項(xiàng)式或形函數(shù)，在+1~-1間變化,(2)插值函數(shù)法:即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值基函數(shù)積的和。,6.12位移函數(shù)的構(gòu)造方法,41,影響有限元解的誤差：1）離散誤差2）位移函數(shù)誤差收斂準(zhǔn)則：1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項(xiàng)）；2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項(xiàng)）；3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）。注：上述四個(gè)條件稱為有限元解收斂于真實(shí)解的充分條件；前三個(gè)條件稱為必要條件。滿足四個(gè)條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三個(gè)條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個(gè)條件的單元稱為完備元。,6.13有限元法的收斂準(zhǔn)則,