《《一元函數(shù)的積分學(xué)》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《一元函數(shù)的積分學(xué)》PPT課件.ppt（49頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第三章一元函數(shù)的積分學(xué),內(nèi)容原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓一萊布尼茨公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法反常（廣義）積分定積分的應(yīng)用,要求1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法．,2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．3．會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積．旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會(huì)利用定積分求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題．,4．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分．,3.1不定積分,內(nèi)容重點(diǎn)：,1.不定積分、原函數(shù)的定義,2.不定積分的計(jì)算(主要是換元法和分部積分法),例,定義：,1、原函數(shù)與不定積分的概念,原函數(shù)存在定理：,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,注意：,(1)原函數(shù)不唯一;,(2)原函數(shù)之間的關(guān)系:,若和都是的原函數(shù)，,不定積分的定義：,,顯然，求不定積分得到一積分曲線族.,由不定積分的定義，可知,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,基本積分表?,是常數(shù));,說明：,簡寫為,2、基本積分表,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,3、不定積分的性質(zhì),湊微分法,說明,使用此公式的關(guān)鍵在于將,化為,4、不定積分的計(jì)算,★,即,一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,換元法,★,積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.,基本積分表?,由導(dǎo)數(shù)公式,積分得:,分部積分公式,或,1)v容易求得;,容易計(jì)算.,,,分部積分法,★,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)),若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.,若分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式,(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加C),3.2定積分,內(nèi)容重點(diǎn)：,1.定積分的定義,3.定積分的計(jì)算(主要是換元法和分部積分法),4.定積分的性質(zhì)及積分中值定理,5.定積分在幾何（求面積及旋轉(zhuǎn)體的體積）上的應(yīng)用,6.廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分的計(jì)算,2.變上限積分及其導(dǎo)數(shù),1、定積分定義,定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意：,定理1,定理2,存在定理,★,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,定積分的幾何意義,★,幾何意義：,2、定積分的性質(zhì),(設(shè)所列定積分都存在),(k為常數(shù)),,6.若在[a,b]上,則,推論1.若在[a,b]上,則,推論2.,7.設(shè),則,8.積分中值定理,則至少存在一點(diǎn),使,考察定積分,記,積分上限函數(shù),3、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),補(bǔ)充,★,定理3（微積分基本公式）,4、牛頓—萊布尼茨公式,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.,,定理,5、定積分的換元法和分部積分法,設(shè)函數(shù),單值函數(shù),滿足:,1),2),★,,定積分的換元公式,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,推導(dǎo),定積分的分部積分法,★,★,6、廣義積分,★,,無窮限的廣義積分,則定義,(c為任意取定的常數(shù)),只要有一個(gè)極限不存在,就稱,發(fā)散.,無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,并非不定型,,說明:上述定義中若出現(xiàn),它表明該反常積分發(fā)散.,引入記號(hào),則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:,,,,無界函數(shù)的反常積分,★,定義中C為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.,注意:若瑕點(diǎn),的計(jì)算表達(dá)式:,則也有類似牛–萊公式的,若b為瑕點(diǎn),則,若a為瑕點(diǎn),則,若a,b都為瑕點(diǎn),則,則,,可相消嗎?,微元法,7.定積分的應(yīng)用,★,這個(gè)方法通常叫做微元法．,應(yīng)用方向：,平面圖形的面積；體積。,,,,,曲邊梯形的面積,,曲邊梯形的面積,平面圖形的面積,1.直角坐標(biāo)系情形,★,,,,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．,,,,圓柱,圓錐,圓臺(tái),旋轉(zhuǎn)體的體積,★,,,,旋轉(zhuǎn)體的體積為,,平行截面面積為已知的立體的體積,,,如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.,立體體積,★,