《（河南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 專題拓展 8.3 類比拓展探究型（試卷部分）課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（河南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 專題拓展 8.3 類比拓展探究型（試卷部分）課件.ppt（46頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第八章專題拓展8.3類比拓展探究型,中考數(shù)學(xué)(河南專用),解答題1.(2018湖北武漢,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90.(1)如圖1,分別過A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:△ABM∽△BCN;(2)如圖2,P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=∠C,tan∠PAC=,求tanC的值;(3)如圖3,D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE=AB,∠DEB=90,sin∠BAC=,=,直接寫出tan∠CEB的值.,好題精練,解析(1)證明:∵∠M=∠N=∠ABC=90,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90,∴∠MAB=∠NBC,∴△ABM∽△BCN.(2)過點(diǎn)P作PM⊥AP交AC于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥PC交BC于點(diǎn)N,則△PMN∽△APB.∴==tan∠PAC=,設(shè)PN=2t,則AB=t.∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易得△ABP∽△CBA,∴AB2=BPBC,∴(t)2=BP(BP+4t),∴BP=t,∴BC=5t,∴tanC=.,(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC==,∴tan∠BAC==.過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CH⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,∵∠DEB=90,∴CH∥AG∥DE,∴==,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,∴===,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,,∴==,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在Rt△CEH中,tan∠CEB==.,思路分析(1)利用同角的余角相等判斷出∠MAB=∠NBC,即可得出結(jié)論;(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判斷出△PMN∽△APB,得出==,設(shè)PN=2t,則AB=t,再判斷出△ABP∽△CBA,設(shè)PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP=t,則BC=5t,即可得出結(jié)論;(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判斷出==,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以===,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于m,n的等式,解得n=2m,最后得出結(jié)論.,方法指導(dǎo)幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法,本題涉及的相似三角形,要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似.同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征,根據(jù)特征尋方法.,2.(2018陜西,25,12分)問題提出(1)如圖①,在△ABC中,∠A=120,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值為.問題探究(2)如圖②,☉O的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點(diǎn),P是☉O上一動(dòng)點(diǎn),求PM的最大值.問題解決(3)如圖③所示,AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路,其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60,所對(duì)的圓心角為60.新區(qū)管委會(huì)想在路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F,也就是,分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸,因此,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本,要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值.(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)),解析(1)5.(2分)詳解:如圖,設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心,∴OA=OB=OC,又AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO,∵∠BAC=120,∴∠BAO=60,∴△ABO是等邊三角形,∴AB=OA=OB=5.即△ABC的外接圓半徑R的值為5.(2)如圖,連接MO,并延長(zhǎng)與☉O相交于點(diǎn)P,連接OA,OP.,∵M(jìn)是弦AB的中點(diǎn),∴OM⊥AB,AM=AB=12.在Rt△AOM中,OM==5.(4分)∵PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P時(shí),PM取得最大值,為18.(5分)(3)如圖,設(shè)P為上任意一點(diǎn),分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連接P1P2,分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F,連接PE,PF,,∴△PEF的周長(zhǎng)=P1E+EF+P2F=P1P2,對(duì)于點(diǎn)P及分別在AB、AC上的任意點(diǎn)E、F,有△PEF的周長(zhǎng)≥△PEF的周長(zhǎng)=P1P2.即△PEF周長(zhǎng)的最小值為P1P2的長(zhǎng).(7分)連接AP1,AP,AP2,則AP1=AP=AP2,∠P1AB=∠PAB,∠P2AC=∠PAC,∴∠P1AP2=2∠BAC=120,∴P1P2=AP1=AP.(8分)∴要使P1P2最短,只要AP最短即可.設(shè)O為所在圓的圓心,連接OB、OC、OP、OA,且OA與相交于點(diǎn)P,,則AP+PO≥AO.∴AP≥AP.(9分)連接BC,易證△ACB為直角三角形,且∠ABC=30,∠ACB=90,∴BC=ACtan60=3km.∵∠BOC=60,OB=OC,∴BO=BC=3km,∠OBC=60,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90.在Rt△ABO中,AO===3km.(11分)∴AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.∴P1P2的最小值為AP=(3-9)km.∴PE+EF+FP的最小值為(3-9)km.(12分),思路分析(1)設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等可證△ABO是等邊三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM有最大值,根據(jù)垂徑定理可得AM=AB=12,再根據(jù)勾股定理求得OM=5,進(jìn)而由PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分別以AB、AC所在的直線為對(duì)稱軸,作出P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為P1,關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為P2,易得△PEF的周長(zhǎng)為P1P2的長(zhǎng),根據(jù)P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA與交于點(diǎn)P,此時(shí)使得線段PE、EF、FP之和最短,然后先判定△ABC為直角三角形,求出BC的長(zhǎng),在Rt△ABO中由勾股定理求出AO的長(zhǎng),進(jìn)而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,難點(diǎn)分析本題難點(diǎn)在于第(3)問如何確定P點(diǎn)的位置及何時(shí)PE+EF+FP取得最小值.讀懂題目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段OA的長(zhǎng)度求出AP的最小值.,3.(2017四川成都,27,10分)問題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),∠BAD=∠BAC=60,于是==;圖1遷移應(yīng)用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120,D,E,C三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD.,圖2,①求證:△ADB≌△AEC;②請(qǐng)直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式;拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F,連接CE,CF.圖3①證明:△CEF是等邊三角形;②若AE=5,CE=2,求BF的長(zhǎng).,解析遷移應(yīng)用①證明:∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,∴AD=AE,AB=AC,又∵∠DAE=∠BAC=120,∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,即∠DAB=∠EAC.∴△ADB≌△AEC(SAS).②DC=AD+BD.詳解:由問題背景可知,在△ADE中,有DE=AD,由①可知,BD=EC,∴DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸①證明:如圖所示,連接BE.,∵C,E關(guān)于BM對(duì)稱,∴BE=BC,FE=FC,∠EBF=∠CBF,∠EFB=∠CFB,∵四邊形ABCD是菱形,且∠ABC=120,∴AB=BC=BE.過B作BG⊥AE,則AG=GE,∠ABG=∠GBE,∴∠GBF=∠GBE+∠EBF=∠ABC=120=60.∴∠CFB=∠EFB=30,即∠EFC=60.∴△CEF為等邊三角形.②∵AE=5,∴GE=GA=,,∵EF=CE=2,∴GF=GE+EF=,在Rt△GBF中,∵∠GFB=30,∴BF===3.,思路分析遷移應(yīng)用:①根據(jù)SAS證全等.②由問題背景可知,DE=AD,由①可得,EC=BD,∴DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸:①要證明△CEF為等邊三角形,根據(jù)對(duì)稱性可知,FE=FC,∠EFB=∠CFB,那么我們只需證明∠EFB=30即可.②在①的基礎(chǔ)上,易得GE=AE=,EF=2,則GF=GE+EF=.在Rt△GBF中,BF==3.,4.(2017江西,23,12分)我們定義:如圖1,在△ABC中,把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180)得到AB,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC,連接BC.當(dāng)α+β=180時(shí),我們稱△ABC是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△ABC邊BC上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.特例感知(1)在圖2,圖3中,△ABC是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC;②如圖3,當(dāng)∠BAC=90,BC=8時(shí),則AD長(zhǎng)為.猜想論證(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.,拓展應(yīng)用(3)如圖4,在四邊形ABCD中,∠C=90,∠D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”?若存在,給予證明,并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng);若不存在,說明理由.圖4,解析(1)①.(1分)②4.(3分)(2)猜想:AD=BC.(4分)證明:證法一:如圖,延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接BE,CE.∵AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”,∴BD=CD,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴EC∥BA,EC=BA,∴∠ACE+∠BAC=180.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,BA=BA,AC=AC,,∴∠ACE=∠BAC,EC=BA.∴△ACE≌△CAB.∴AE=CB.(6分)∵AD=AE,∴AD=BC.(7分)證法二:如圖,延長(zhǎng)BA至F,使AF=BA,連接CF.∴∠BAC+∠CAF=180.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,BA=BA,AC=AC,∴∠CAB=∠CAF,AB=AF,∴△ABC≌△AFC,∴BC=FC.(6分),∵BD=CD,BA=AF,∴AD是△BFC的中位線,∴AD=FC,∴AD=BC.(7分)證法三:如圖,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAC的度數(shù),得到△AEC,此時(shí)AC與AC重合,設(shè)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,連接AD.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,由旋轉(zhuǎn)得∠BAC=∠EAC,∴∠BAC+∠EAC=180,∴E,A,B三點(diǎn)在同一直線上.(6分),∵AB=AB=AE,ED=DC,∴AD是△EBC的中位線,∴AD=BC,∴AD=BC.(7分)(注:其他證法參照給分)(3)存在.(8分)如圖,以AD為邊在四邊形ABCD的內(nèi)部作等邊△PAD,連接PB,PC,延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)F,則有∠ADP=∠APD=60,PA=PD=AD=6.,∵∠CDA=150,∴∠CDP=90.過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,易知四邊形PDCE為矩形,∴CE=PD=6,∴tan∠1===,∴∠1=30,∴∠2=60.(9分)∵PE⊥BC,且易知BE=EC,∴PC=PB,∠3=∠2=60,∴∠APD+∠BPC=60+120=180.又PA=PD,PB=PC,∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”.(10分)∵∠3=60,∠DPE=90,∴∠DPF=30.∵∠ADP=60,∴BF⊥AD,∴AF=AD=3,PF=AD=3.,在Rt△PBE中,PB====4.∴BF=PB+PF=7.在Rt△ABF中,AB===2.(11分)∵△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”,∴由(2)知,△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)為AB=.(12分)求解“旋補(bǔ)中線”補(bǔ)充解法如下:如圖,分別延長(zhǎng)AD,BC相交于點(diǎn)G,∵∠ADC=150,∠BCD=90,,∴∠GDC=30,∠GCD=90.∴在Rt△GDC中,GD==2=4.∴GC=GD=2,∴GA=6+4=10,GB=2+12=14.過A作AH⊥GB交GB于點(diǎn)H,在Rt△GAH中,AH=GAsin60=10=5,GH=AG=5.∴HB=GB-GH=14-5=9,∴在Rt△ABH中,AB===2.(10分)∵△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”,∴由(2)知,△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)為AB=.(12分)(注:其他解法參照給分),5.(2016四川達(dá)州,24,10分)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí),做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.(1)觀察猜想如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),①BC與CF的位置關(guān)系為.②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為(將結(jié)論直接寫在橫線上);(2)數(shù)學(xué)思考如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明;(3)拓展延伸如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若AB=2,CD=BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).,解析(1)①BC⊥CF.②BC=CD+CF.(2)結(jié)論①仍然成立,②不成立.①證明:∵∠BAC=∠DAF=90,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF,∴△ABD≌△ACF.∴∠ACF=∠ABD=180-45=135.∵∠ACB=45,∴∠BCF=90,即BC⊥CF.②結(jié)論為BC=CD-CF.證明:∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF.∵BC=CD-BD,∴BC=CD-CF.,(3)過點(diǎn)E作EM⊥CF于點(diǎn)M,作EN⊥BD于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H,如圖,∵AB=AC=2,∴BC=4,AH=BC=2.∵CD=BC,∴CD=1.∵∠BAC=∠DAF=90,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF,∴△ABD≌△ACF.∴∠ACF=∠ABC=45.∵∠ACB=45,,∴∠BCF=90.∴∠ABC=∠AGC=45.∴BC=CG=4.∵∠ADE=90,∴∠ADH+∠EDN=∠EDN+∠DEN=90.∴∠ADH=∠DEN.又∵∠AHC=∠DNE,AD=DE,∴△AHD≌△DNE.∴DN=AH=2,EN=DH=3.∴CM=EN=3,ME=CN=3,則GM=CG-CM=4-3=1.∴EG==.,6.(2015湖北隨州,24,10分)問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論;【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90,AB=AD,∠B+∠D=180,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD;【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條道路圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60,∠ADC=120,∠BAD=150,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F,且AE⊥AD,DF=40(-1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(zhǎng)(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73).,解析發(fā)現(xiàn)證明:將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90至△ADG,∴△ABE≌△ADG,∴∠BAE=∠DAG,∠B=∠ADG,AE=AG,BE=DG,∵∠EAF=45,∴∠BAE+∠FAD=45,∴∠FAG=45,在正方形ABCD中,∠B=∠ADC=90,∴∠ADG+∠ADF=180,即點(diǎn)G、D、F在一條直線上,在△EAF和△GAF中,∴△EAF≌△GAF,∴EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+FD.類比引申:∠EAF=∠BAD,理由如下:如圖,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△ADG,使AB與AD重合,,∴△ABE≌△ADG,∴∠BAE=∠DAG,∠B=∠ADG,AE=AG,BE=DG,在四邊形ABCD中,∠B+∠ADF=180,∴∠ADG+∠ADF=180,即點(diǎn)G、D、F在一條直線上,在△EAF和△GAF中,∴△EAF≌△GAF,∴EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+FD.探究應(yīng)用:連接AF,延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)O,,在Rt△AOD中,易得∠ODA=60,∠OAD=30,又AD=80米,∴AO=40米,OD=40米,∵OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,∴AO=OF,∴∠OAF=45,∴∠DAF=45-30=15,∴∠EAF=90-15=75,∴∠EAF=∠BAD.由類比引申的結(jié)論可得EF=BE+DF=40(+1)=109米.,7.(2014江蘇鎮(zhèn)江,28,10分)我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折,會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.【發(fā)現(xiàn)與證明】?ABCD中,AB≠BC,將△ABC沿AC翻折至△ABC,連接BD.結(jié)論1:BD∥AC;結(jié)論2:△ABC與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.……請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個(gè)結(jié)論).【應(yīng)用與探究】在?ABCD中,已知∠B=30,將△ABC沿AC翻折至△ABC,連接BD.(1)如圖1,若AB=,∠ABD=75,則∠ACB=,BC=;(2)如圖2,AB=2,BC=1,AB與邊CD相交于點(diǎn)E,求△AEC的面積;(3)已知AB=2,當(dāng)BC長(zhǎng)為多少時(shí),△ABD是直角三角形?,解析【發(fā)現(xiàn)與證明】證明:如圖1,設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)F,∵△ABC沿直線AC翻折至△ABC,∴△ABC≌△ABC,∴∠ACB=∠ACB,BC=BC,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC,圖1∴BC=AD,∠ACB=∠CAD,,∴∠ACB=∠CAD=,∴AF=CF,(1分)∴BF=DF,∴∠CBD=∠BDA=.∵∠AFC=∠BFD,∴∠ACB=∠CBD,∴BD∥AC.(2分)【應(yīng)用與探究】(1)45;(3分)+.(4分)(2)過點(diǎn)C分別作CG⊥AB,CH⊥AB,垂足分別為G、H,∴CG=CH.在Rt△BCG中,∠BGC=90,BC=1,∠B=30,,∴CG=,BG=.∴CH=CG=.∵AB=2,∴AG=,由△AGC≌△AHC,得AH=AG=.設(shè)AE=x,則CE=x,由CE2=CH2+HE2,得x2=+,解得x=,則AE=.(5分)∴△ACE的面積=AECH=.(6分),按△ABD中的直角分類:①當(dāng)∠BAD=90時(shí),如圖3,∠ACB=30,BC=6;如圖4,∠BAC=30,BC=2;②當(dāng)∠ABD=90時(shí),如圖5,∠ACB=60,BC=4;③當(dāng)∠ADB=90時(shí),如圖6,∠ACB=90,BC=3.綜上,BC的長(zhǎng)為6,2,4或3.(10分圖3圖4,圖5圖6,8.(2016浙江湖州,24,10分)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120的平行四邊形ABCD(∠BAD=120)進(jìn)行探究:將一塊含60角的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點(diǎn)E,F(不包括線段的端點(diǎn)).(1)初步嘗試如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;(2)類比發(fā)現(xiàn)如圖2,若AD=2AB,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;(3)深入探究如圖3,若AD=3AB,深究得:的值為常數(shù)t,則t=.,解析(1)證明:①∵平行四邊形ABCD中,∠BAD=120,∴∠D=∠B=60.∵AD=AB,∴△ABC和△ACD為正三角形,∴∠B=∠CAD=60,∠ACB=60,BC=AC.(2分)∵∠ECF=60,∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60,∴∠BCE=∠ACF,(3分)∴△BCE≌△ACF(ASA).(4分)②∵△BCE≌△ACF,∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.(5分)(2)證明:設(shè)DH=x,由已知,得CD=2x,CH=x,∴AD=2AB=4x,∴AH=AD-DH=3x.∵CH⊥AD,∴AC==2x,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90,∴∠BAC=∠ACD=90,(6分),∴∠CAD=30,∴∠ACH=60.∵∠ECF=60,∴∠HCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF,∴∠HCF=∠ACE,(8分)∴△ACE∽△HCF,∴==2,∴AE=2FH.(9分)(3).(12分),9.(2016洛陽一模,22)在△ABC中,∠A=90,點(diǎn)D在線段BC上,∠EDB=∠C,BE⊥DE,垂足為E,DE與AB相交于點(diǎn)F.(1)當(dāng)AB=AC時(shí)(如圖1),①∠EBF=;②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(2)當(dāng)AB=kAC時(shí)(如圖2),求的值(用含k的式子表示).,圖1圖2,解析(1)①22.5.∵AB=AC,∠A=90,∴∠ABC=∠C=45,∵∠EDB=∠C,∴∠EDB=22.5,又∠E=90,∴∠EBD=67.5,∴∠EBF=67.5-45=22.5.(2分)②FD=2BE.證明:在△BEF和△DEB中,∵∠BED=∠FEB=90,∠EBF=∠EDB=22.5,∴△BEF∽△DEB,如圖,作BG平分∠ABC,交DE于G點(diǎn),∴BG=GD,△BGE是等腰直角三角形,設(shè)EF=x,BE=y,則BG=GD=y,FD=y+y-x.∵△BEF∽△DEB,∴=,即=,得x=(-1)y,∴FD=y+y-(-1)y=2y,∴FD=2BE.(7分),(2)如圖,過點(diǎn)D作DG∥AC,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,與BA交于點(diǎn)N,∵DG∥AC,∴∠GDB=∠C.∵∠EDB=∠C,∴∠EDB=∠GDE,,∵BE⊥DE,∴∠BED=∠DEG,又DE=DE,∴△DEG≌△DEB,∴BE=EG,∴BE=GB.易知∠BND=∠GNB=90,又∵∠EBF=∠NDF,∴△GBN∽△FDN,∴=,即=.∵DG∥AC,∴△BND∽△BAC,∴=,即==k,∴=.(10分),