數(shù)字信號(hào)處理題解及電子ppt課件
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第7章 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),7.1 FIR DF 設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法 7.2 窗函數(shù) 7.3 FIR DF 設(shè)計(jì)的頻率抽樣法 7.4 FIR DF 設(shè)計(jì)的切比雪夫最佳一致逼近法 7.5 幾種簡(jiǎn)單形式的濾波器 7.6 簡(jiǎn)單整系數(shù)濾波器 7.7 差分濾波器,1,IIR數(shù)字濾波器:,有極點(diǎn),也有零點(diǎn),因此可以借用經(jīng)典的連續(xù)濾波器的設(shè)計(jì)方法,且取得非常好的效果,如好的衰減特性,準(zhǔn)確的邊緣頻率。由于FIR數(shù)字濾波器,只有零點(diǎn)而沒(méi)有極點(diǎn),所以沒(méi)辦法借用連續(xù)濾波器的設(shè)計(jì)方法。其思路是: 直接從頻域出發(fā),即以某種準(zhǔn)則逼近理想的頻率特性,且保證濾波器具有線性相位。,2,7.1 Fourier 級(jí)數(shù)法(窗函數(shù)法),1. 由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的 ;,2. 由 得到因果、 有限長(zhǎng)的單位抽樣響應(yīng) ;,3. 對(duì) 加窗得到較好的頻率響應(yīng)。,理想頻率響應(yīng),一、思路與方法:,3,設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1,相頻為零:,,則:,特點(diǎn): 無(wú)限長(zhǎng) 非因果 偶對(duì)稱,4,于是:,注意: 是因果的,且是線性相位的,即,?,這樣:,5,于是:,使用了矩形窗,,上式的的表達(dá)式及設(shè)計(jì) 的思路可推廣到高通、帶阻及帶通濾波器,也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實(shí)際上,給定一個(gè) ,只要能積分得到 ,即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器 。,6,高通:,令:,相當(dāng)于用一個(gè)截止頻率在 處的低通濾波器 (實(shí)際上是全通濾波器)減去一個(gè)截止頻率 在 處的低通濾波器。,7,令:,相當(dāng)于用一個(gè)截止頻率在 處的低通濾波器 減去一個(gè)截止頻率在 處的低通濾波器。,帶通:,8,令:,:窗函數(shù),自然截短即是矩形窗。 當(dāng)然也可以用其它形式的窗函數(shù)。,帶阻:,9,例1.設(shè)計(jì)低通 FIR DF, 令歸一化截止頻 率 =0.125, M=10,20,40, 用矩形窗截短。,結(jié)果如右圖,10,接上例:M=10 分別用矩形窗 和Hamming 窗,使用Hamming 窗后,阻帶衰減變好,但過(guò)渡帶變寬。,11,例: 理想差分器及其設(shè)計(jì),令:,理想差分器的頻率特性:,理想微分器的頻率特性:,12,奇對(duì)稱,純虛函數(shù),,13,實(shí)際相頻特性,,有關(guān)各種差分器的性能,本 章將繼續(xù)討論,,,幅頻: 1 矩形窗 2 哈明窗,14,例: 設(shè)計(jì) Hilbert 變換器,思考:能否用上一章的方法設(shè)計(jì)差分器和Hilbert變換器?,,15,優(yōu)點(diǎn):1. 無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題; 2. 容易做到線性相位; 3. 可以設(shè)計(jì)各種特殊類型的濾波器; 4. 方法特別簡(jiǎn)單。,缺點(diǎn):1. 不易控制邊緣頻率; 2. 幅頻性能不理想; 3. 較長(zhǎng);,二、 FIR DF 設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法的特點(diǎn):,改進(jìn):1. 使用其它類型的窗函數(shù); 2. 改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。,16,三、關(guān)于對(duì) 截短的討論,17,18,,最小,所以,有限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)是在最小平方意 義上對(duì)原信號(hào)的逼近。傅立葉級(jí)數(shù)是正交 變換,這也體現(xiàn)了正交變換的性質(zhì)。,19,,窗函數(shù)法,20,7.2 窗函數(shù),窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號(hào)處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對(duì)窗函數(shù)提出那幾方面的要求?,關(guān)鍵是要搞清楚使用窗函數(shù)后所產(chǎn)生的影響:一個(gè)域相乘,在另一個(gè)域是卷積。,21,對(duì)窗函數(shù)的技術(shù)要求: 1. 3 dB 帶寬 :主瓣歸一化幅度降到- 3 dB 時(shí)的帶寬;或直接用 。令 則 的單位為 ;,2. 邊瓣最大峰值 ( dB),3. 邊瓣譜峰衰減速度 ( dB/oct),,22,常用窗函數(shù):,1. 矩形窗,2. 三角窗Bartlett窗,3.漢寧窗Hanning,4.漢明窗Hamming,,,,,23,窗函數(shù),24,窗函數(shù),25,7.3 FIR DF設(shè)計(jì)的頻率抽樣法,窗函數(shù)法:給定連續(xù)的理想的 ,用,得到因果的、具有線性相位的 FIR DF,,逼近,26,,離散化,直接賦值,,27,可指定:,如何指定,?,28,轉(zhuǎn)移函數(shù)、頻率響應(yīng)和給定的 的關(guān)系:,用DFT系數(shù)作為權(quán)函數(shù)來(lái)表示設(shè)計(jì)出的,29,30,用插值的方法得到所要的濾波器:,插值函數(shù),權(quán)重,,,線性相位,,,應(yīng)為實(shí)數(shù),,31,為偶數(shù):,為奇數(shù):,其它賦值方法見(jiàn)書。當(dāng)然,阻帶內(nèi)應(yīng)指定為零。另外,為了得到好的幅頻響應(yīng),在1和0之間加過(guò)渡點(diǎn),如0.5 。,32,7.4 用Chebyshev 最佳一致逼近設(shè)計(jì) FIR DF 7.4.1 最佳一致逼近定理 7.4.2 利用最佳一致逼近理論設(shè)計(jì) FIR DF 7.4.3 關(guān)于誤差函數(shù)的極值特性 7.4.4 FIR DF 的四種表示形式 7.4.5 設(shè)計(jì)舉例 7.4.6 濾波器階次估計(jì),33,上述兩種方法(窗函數(shù)法和頻率抽樣法)設(shè)計(jì) 的 FIR DF 的頻率響應(yīng)都不理想,即通帶不夠 平,阻帶衰減不夠大,過(guò)渡帶過(guò)寬,頻率邊緣 不能精確指定。因此我們要尋找新的設(shè)計(jì)方法。 此方法即是Chebyshev 最佳一致逼近 法。該方 法在數(shù)字信號(hào)處理中占有重要的定位,是設(shè)計(jì) FIR DF 最理想的方法。但是,該方法的原理稍為復(fù)雜。,34,給定理想的 , 設(shè)計(jì) , 使 是對(duì) 的“最佳”逼近。,對(duì)函數(shù) 逼近的方法:,目標(biāo):,35,插值法:尋找 階多項(xiàng)式 ,使其 在 個(gè)點(diǎn) 上滿足:,頻率抽樣方法,36,Chebyshev最佳一致逼近理論解決了 的存 在性、唯一性及構(gòu)造方法等問(wèn)題。,將最佳一致逼近理論應(yīng)用于FIR DF的設(shè)計(jì), 是數(shù)學(xué)和信號(hào)處理理論相結(jié)合的又一典型范 例。該方法可以設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的FIR DF, 是FIR設(shè)計(jì)的主要方法。該方法又稱,McClellan----Parks 方法,37,一、切比雪夫最佳一致逼近定理,在 階多項(xiàng)式的集合中,尋找多項(xiàng)式 使其相對(duì)其它所有的多項(xiàng)式 對(duì) 的偏差為最?。?最小最大原理,,38,交錯(cuò)點(diǎn)組原理:,令:,誤差最大值,誤差曲線,,是 最佳一致逼近的充要條件是, 在 上至少存在 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn),39,所以:,是 的極值點(diǎn),它們構(gòu)成了一個(gè)“交錯(cuò)點(diǎn) 組”,Chebyshev 多項(xiàng)式:,在區(qū)間 [-1,1]上存在 個(gè)點(diǎn):,40,輪流使 取極值+1,-1。,是 的 階多項(xiàng)式,最高項(xiàng)系數(shù)是 , 在所有階多項(xiàng)式的集合中, 和 0 的偏 差為最小。因此,可用 為誤差多項(xiàng)式。,,?,41,二、利用最佳一致逼近理論設(shè)計(jì) FIR DF,,理想濾波器,要設(shè)計(jì)的濾波器,42,四種情況下的“濾波器增益” 都是實(shí)函數(shù),也有四種表示形式。其一是:,線性相位FIR濾波器有四種形式:,,我們用 逼近理想濾波器。顯然,若能求 出 ,則濾波器也就設(shè)計(jì)出來(lái)了。,43,44,定義加權(quán)函數(shù):,在設(shè)計(jì)濾波器時(shí),對(duì)通帶和阻帶往往有不同的要求,如通帶要求特別平,這是需要犧牲阻帶;反之,要想阻帶衰減特別大,則需要犧牲通帶。實(shí)現(xiàn)方法:給以不同的加權(quán)。,45,由交錯(cuò)點(diǎn)組定理:,注意,將頻率分成了 個(gè)離散的點(diǎn)。分 點(diǎn)在通帶和阻帶上,過(guò)渡帶不考慮。目的是 取得 個(gè)極值點(diǎn)。,46,方陣,可唯一地求出,然而,該方程的求解異常困難!,47,McClellan. J.H & Parks. T. W 等于70年代初提出用數(shù)值分析中的Remez算法,靠一次次的迭代來(lái)求解最優(yōu)的系數(shù) 及 。從而達(dá)到濾波器設(shè)計(jì)的目的。,該方法不但可以用來(lái)設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等經(jīng)典濾波器,而且可以用來(lái)設(shè)計(jì)差分濾波器,Hilbert變換器。不但可以給出好的幅頻特性、線性相位,而且可以給出較為準(zhǔn)確定邊緣頻率。,數(shù)字信號(hào)處理中最有名的算法之一!,48,Step1. 先在通帶、阻帶頻率軸上等間隔取 M+2 個(gè)頻率點(diǎn) ,計(jì)算出 。它是相對(duì)第 一次指定的交錯(cuò)點(diǎn)組產(chǎn)生的誤差,,A.,49,求出 后,利用插值公式,在不知 的情況下求出 。,B.,50,當(dāng)然,初次求出的 肯定不是最優(yōu)的!,將求出的 代入,C.,可求出誤差函數(shù) 。,如果第一次迭代即是最優(yōu),那么 應(yīng)是 的極值點(diǎn)。當(dāng)然,一次迭代是不夠的。,完成第一次迭代!,51,Step2. 檢查是否有 的頻率點(diǎn)(肯定 有)。將出現(xiàn)這種情況的頻率點(diǎn)和原來(lái)指定的 頻率點(diǎn) 中相距最近的點(diǎn)相交換(注 意:這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)),這樣,就得到 一組新的頻率點(diǎn)組 ,當(dāng)然,它們不 再是原頻率區(qū)間的等分。,52,Step3. 將新的頻率點(diǎn)組,再重復(fù)步驟2,又可得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組:,53,如此重復(fù)迭代,每一次都是把新的局部極值點(diǎn) 當(dāng)作新的交錯(cuò)點(diǎn)組,所以,每一次的 都是遞 增的,最后收斂到自己的上限。再迭代一次, 也不會(huì)再增加,頻率點(diǎn)組也不會(huì)再移動(dòng), 這時(shí)的 即是對(duì) 的最佳一致逼近。,Step4. 將最優(yōu)的 配上線性相位,作傅 立葉反變換,即可得所設(shè)計(jì)濾波器的 。,54,,通帶內(nèi)的峰 值偏差,最佳一致逼近是在通帶與阻帶內(nèi)進(jìn)行的,過(guò)渡帶沒(méi)有考慮。,迭代步驟,是阻帶峰值偏差 ;,55,,三、關(guān)于誤差函數(shù)的極值特性(見(jiàn)書) 四、FIR DF 的四種表示形式,56,,把上述四種形式稍作改造,得到如下的統(tǒng)一形式,目的是便于編程:,57,例1: 設(shè)計(jì)低通 FIR DF:,調(diào)整通帶、阻帶的加權(quán)及濾波器的長(zhǎng)度。,,設(shè)計(jì)結(jié)果,五、設(shè)計(jì)舉例,58,,,參數(shù)調(diào)整對(duì)濾波器性能的影響:,59,例2: 設(shè)計(jì)多帶濾波器,抽樣頻率500Hz, 在 50Hz、 100Hz 及150Hz處陷波。,,通帶加權(quán)為8,阻帶為1,-17dB,通帶、阻帶加權(quán)都是1,-25dB,60,六、階次估計(jì),設(shè)計(jì)濾波器之前,濾波器的長(zhǎng)度(即階次)是未知道。顯然,要求:通帶越平,阻帶衰減越大,過(guò)渡帶越窄,濾波器的階次越高。,61,例如,對(duì)例1的第一種情況:,,求出:,,和原來(lái)給定的相同,62,7.5 幾種簡(jiǎn)單形式的濾波器,一、平均濾波器 二、平滑濾波器 三、梳狀濾波器,這一類濾波器性能不是很好,但濾波器簡(jiǎn)單,有時(shí)很實(shí)用,有的具有一些特殊的用途。,63,信噪比(SNR)與噪聲減少比(NRR),信噪比:,,,,觀察信號(hào),信號(hào),噪聲,為了減少噪聲,將 通過(guò)一個(gè)濾波器,64,噪聲減少比(Noise Reduction Ration, NRR):,越小越好!,,可以證明:,,65,一、平均濾波器,,,點(diǎn)平均器,66,,,,,67,68,可以求出:,可見(jiàn) N 足夠大,即可就可以獲得足夠小的NRR。 但是, N 過(guò)大會(huì)使濾波器具有過(guò)大的延遲: 群延遲=(N-1)/2 而且會(huì)使其主瓣的單邊的帶寬大大降低,這就 有可能在濾波時(shí)使有用的信號(hào) s(n) 也受到損失。 因此,在平均器中,N 不宜取得過(guò)大。,69,二、平滑濾波器,Savitzky-Golay平滑器:基于多項(xiàng)式擬合的方法,具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材。,5點(diǎn)2次(拋物線)擬合:,7點(diǎn)3次擬合:,在NRR和階次N之間取得折中。MATLAB文件: sgolay.m,70,三、梳狀濾波器,作用:去除周期性的噪聲,或是增強(qiáng)周期 性的信號(hào)分量。,,,71,72,73,7.6 建立在極零抵消基礎(chǔ)上的 簡(jiǎn)單整系數(shù)的濾波器,對(duì)信號(hào)作實(shí)時(shí)濾波處理時(shí),有時(shí)對(duì)濾波器的性能要求并不很高,但要求計(jì)算速度快,濾波器的設(shè)計(jì)也應(yīng)簡(jiǎn)單易行,因而希望濾波器的系數(shù)為整數(shù)。特別是當(dāng)用匯編語(yǔ)言編寫程序時(shí),更希望如此。采用極零抵消的方法,可以設(shè)計(jì)出簡(jiǎn)單整系數(shù)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器。,74,1. 低通,75,2. 高通,單位圓上均勻分布M個(gè)零點(diǎn),設(shè)置一極點(diǎn),抵消掉z=-1處零點(diǎn),,,76,上述低通和高通濾波器的系數(shù)都是整系數(shù)(系數(shù)1/N可最后單獨(dú)處理),如果認(rèn)為幅頻響應(yīng)不滿意,可以取,77,3. 帶通,實(shí)際應(yīng)用,78,為保證分母取整數(shù),要求,取整數(shù),因此:,,在要求整系數(shù)的情況下,對(duì)帶通濾波器,其通帶的中心頻率收到限制。,79,4. 帶阻,設(shè)計(jì)方法,幅頻: 全通幅頻-帶通幅頻,相頻: 配置相頻,,令 ,設(shè)計(jì)50Hz陷波器, 中心頻率范圍在,解:取,80,由于,因此增加一對(duì)共軛極點(diǎn):,150Hz,,現(xiàn)在需要確定M:,,,?,,81,具有相同相位,,,82,83,7.7 低階低通差分濾波器,,,?,理想微分器:,理想差分器:,84,為了防止在高頻端將噪聲放大,?。?低通差分器:,差分器的一般形式:,85,差分器的抽樣響應(yīng):,所以,差分器是奇對(duì)稱的。 現(xiàn)在的任務(wù)是確定系數(shù),兩點(diǎn)中心差分:,86,“最佳”差分器,,逼近,誤差:,得到最佳系數(shù),得到最佳通帶,,,87,最佳通帶:,可求出:M=2,可求出:M=3,88,M=2 和 3 時(shí)“最佳”差分器的幅頻特性:,但是,上述“最佳”差分器的系數(shù)全是小數(shù),我們希望得到整系數(shù)。實(shí)際上,人們從不同的角度,已給出了不同形式的整系數(shù)差分器。后來(lái),人們還導(dǎo)出了“次最佳”的整系數(shù)差分器。,89,單純 M 次差分; 牛頓-柯斯特差分; Lanczos差分(多項(xiàng)式擬合); 平滑化差分; 最佳差分;,整系數(shù),,比較參數(shù):,90,7.8 濾波器設(shè)計(jì)小結(jié),IIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn): 1. 好的通帶與阻帶衰減;準(zhǔn)確的通帶與阻帶邊緣頻率; 2. 濾波時(shí)需要的計(jì)算量較少 缺點(diǎn): 不具有線性相位,有可能存在穩(wěn)定性問(wèn)題。,FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn): 1. 可取得線性相位; 2. 無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題; 缺點(diǎn): 濾波時(shí)需要的計(jì)算量較少,91,FIR,窗函數(shù)法 頻率抽樣法 一致逼近法 簡(jiǎn)單平均 簡(jiǎn)單平滑,,設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單,性能不夠好,性能非常好,,,,簡(jiǎn)單,實(shí)用,性能不夠好,,,IIR,梳狀濾波器 極零抵消濾波器,,特殊用途,周期性,,簡(jiǎn)單實(shí)用,速度快,,92,與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件:,產(chǎn)生窗函數(shù)的文件有八個(gè): bartlett(三角窗); 2. blackman(布萊克曼窗) ; 3. boxcar(矩形窗); 4. hamming(哈明窗); 5. hanning(漢寧窗); 6. triang(三角窗); 7. chebwin(切比雪夫窗); 8 .kaiser(凱賽窗);,兩端為零,,,兩端不為零,調(diào)用方式都非常簡(jiǎn)單請(qǐng)見(jiàn)help文件,,稍為復(fù)雜,,93,9.fir1.m 用“窗函數(shù)法”設(shè)計(jì)FIR DF。 調(diào)用格式: (1)b = fir1(N,Wn); (2) b = fir1(N,Wn,‘high’); (3) b = fir1(N,Wn, ‘stop’); N:階次,濾波器長(zhǎng)度為N+1; Wn:通帶截止頻率,其值在0~1之間,1對(duì)應(yīng) Fs/2 b: 濾波器系數(shù)。,94,對(duì)格式(1),若Wn為標(biāo)量,則設(shè)計(jì)低通濾波器,若 Wn是1×2的向量,則用來(lái)設(shè)計(jì)帶通濾波器,若Wn是 1×L的向量,則可用來(lái)設(shè)計(jì)L帶濾波器。這時(shí),格式 (1)要改為: b = fir1(N,Wn, 'DC-1'), 或 b = fir1(N,Wn, 'DC-0') 前者保證第一個(gè)帶為通帶,后者保證第一個(gè)帶為阻帶。 格式(2)用來(lái)設(shè)計(jì)高通濾波器, 格式(3)用來(lái)設(shè)計(jì)帶阻濾波器。 在上述所有格式中,若不指定窗函數(shù)的類型,fir1自動(dòng)選擇Hamming窗。,95,10.fir2.m 本文件采用“窗函數(shù)法”設(shè)計(jì)具有任意幅 頻相應(yīng)的FIR 數(shù)字濾波器。其調(diào)用格式是: b = fir1(N, F, M); F是頻率向量,其值在0~1之間,M是和F相對(duì)應(yīng) 的所希望的幅頻相應(yīng)。如同fir1, 缺省時(shí)自動(dòng)選用 Hamming窗。,例 :設(shè)計(jì)一多帶濾波器,要求頻率在0.2~0.3, 0.6~0.8 之間為1,其余處為零。,設(shè)計(jì)結(jié)果如下:,96,N=30,90時(shí)幅頻響應(yīng)響應(yīng)及理想幅頻響應(yīng);,N=30,N=90,97,11. remez.m 設(shè)計(jì)Chebyshev最佳一致逼近FIR濾波器、Hilbert變換器和差分器。調(diào)用格式是: (1) b=remez(N, F, A); (2) b=remez(N, F, A, W); (3)b=remez(N,F,A,W,‘Hilbert’); (4) b=remez(N, F, A,W, ‘'differentiator') N是給定的濾波器的階次,b是設(shè)計(jì)的濾波器的系數(shù),其長(zhǎng)度為N+1;F是頻率向量,A是對(duì)應(yīng)F的各頻段上的理想幅頻響應(yīng),W是各頻段上的加權(quán)向量。,98,F、A及W的指定方式和例7.4.1和7.4.2所討論過(guò) 的一樣,唯一的差別是F的范圍為0~1,而非~ 0~0.5, 1對(duì)應(yīng)抽樣頻率的一半。需要指出的是, 若b的長(zhǎng)度為偶數(shù),設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器時(shí) 有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤,因此,最好保證b的長(zhǎng)度為 奇數(shù),也即N應(yīng)為偶數(shù)。,99,例1: 設(shè)計(jì)低通 FIR DF:,b=remez(N, F, A, W),F = (0, 0.6, 0.7, 1),A = (1, 0),W = (1, 10),100,12.remezord.m 本文件用來(lái)確定在用Chebyshev最佳一致逼近設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)所需要的濾波器階次。其調(diào)用格式是: [N, Fo, Ao, W] = remezord(F, A, DEV, Fs)。 F、A的含意同文件remez,DEV是通帶和阻帶上的偏差;輸出的是適合要求的濾波器階次N、頻率向量Fo、幅度向量Ao和加權(quán)向量W。若設(shè)計(jì)者事先不能確定要設(shè)計(jì)的濾波器的階次,那么,調(diào)用remezord后,就可利用這一族參數(shù)調(diào)用remez, 即 b=remez(N, Fo, Ao, W),從而設(shè)計(jì)出所需要濾波器。因此,remez和remezord常結(jié)合起來(lái)使用。需要說(shuō)明的是,remezord給出的階次N有可能偏低,這時(shí)適當(dāng)增加N即可;另外,最好判斷一下,若N為奇數(shù),就令其加一,使其變?yōu)榕紨?shù),這樣b的長(zhǎng)度為奇數(shù)。,101,13. firls.m 用最小平方法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器,可設(shè)計(jì)任意給定的理想幅頻響應(yīng); 14. fircls.m用帶約束的最小平方法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器,可設(shè)計(jì)任意給定的理想幅頻響應(yīng); 15. fircls1.m 用帶約束的最小平方方法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通和高通濾波器。 16. sgolay.m 用來(lái)設(shè)計(jì) Savitzky-Golay FIR 平滑濾波器,其原理見(jiàn)9.1.1節(jié) 17. firrcos.m 用來(lái)設(shè)計(jì)低通線性相位FIR濾波器,其過(guò)渡帶為余弦函數(shù)形狀。,102,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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