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哈爾濱市第六中學(xué)2010—2011學(xué)年度下學(xué)期期末考試高二理科數(shù)學(xué)試題 考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的． 1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 2．已知變量呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則變量是 ( ) (A)線性正相關(guān)關(guān)系 (B)由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān) (C)線性負(fù)相關(guān)關(guān)系 (D)不存在線性相關(guān)關(guān)系 3.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（ ） （A） （B） （C） （D） 4．從4位男數(shù)學(xué)教師和3位女?dāng)?shù)學(xué)教師中選出3位教師派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班1位班主任) 要求這3位班主任中男女教師都有,則不同的選派方案共有 ( ) （A）30 （B）180 （C）31 （D）34 5．若集合，，則（ ） A． B． C． D． 6．同時(shí)拋擲兩個(gè)表面上標(biāo)有數(shù)字的正方體，其中有兩個(gè)面的數(shù)字是1，兩個(gè)面的數(shù)字是2，兩個(gè)面上的數(shù)字是4，則朝上的點(diǎn)數(shù)之積為4的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 7．若，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 8．如果執(zhí)行右面的框圖，運(yùn)行結(jié)果為（ ） （A） （B） （C） （D）4 9．新學(xué)期開始，某校接受6名師大畢業(yè)生到校學(xué)習(xí) ，學(xué)校要把他們分配到三個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)2人，其中甲必須在高一年級(jí)，乙和丙均不能在高二年級(jí)，則不同的安排種數(shù)為 （A）18 （B）15 （C）12 （D）9 10.已知數(shù)列，設(shè)，由此可得及的表達(dá)式，若，對(duì)恒成立，則的最小值為（ ） （A）0 （B）-3 （C） （D） 11．將四個(gè)不同的小球隨機(jī)的放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)不同盒子里，在3號(hào)盒子沒有球的條件下，其余三個(gè)盒子中每個(gè)盒子至少有一球的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 12. 在△中，“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在機(jī)讀卡上相應(yīng)的位置 13．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為. 14．已知復(fù)數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為 15. 在十進(jìn)制中，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為 16. 甲，乙兩輛車在某公路行駛方向如圖，為了安全，兩輛車在拐入同一公路時(shí)，需要有一車等待.已知甲車拐入需要的時(shí)間為2分鐘，乙車拐入需要的時(shí)間為1分鐘，倘若甲、乙兩車都在某5分鐘內(nèi)到達(dá)轉(zhuǎn)彎路口，則至少有一輛車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要等待的概率 三、解答題：本大題共6小題，共70分， 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字 17. （本小題滿分12分））由下列不等式：，，，，，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 18．（本小題滿分12分）某菜園要將一批蔬菜用汽車從所在城市甲運(yùn)至亞運(yùn)村乙,已知從城市甲到亞運(yùn)村乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由菜園承擔(dān)． 若菜園恰能在約定日期（月日）將蔬菜送到,則亞運(yùn)村銷售商一次性支付給菜園20萬元; 若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給菜園1萬元; 若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給菜園1萬元． 為保證蔬菜新鮮度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送蔬菜,已知下表內(nèi)的信息： 統(tǒng)計(jì)信息 汽車行 駛路線 不堵車的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需 時(shí)間 （天） 堵車的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需時(shí)間 （天） 堵車的 概率 運(yùn)費(fèi) （萬元） 公路1 2 3 公路2 1 4 （注:毛利潤銷售商支付給菜園的費(fèi)用運(yùn)費(fèi)） （1） 記汽車走公路1時(shí)菜園獲得的毛利潤為（單位:萬元）,求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）假設(shè)你是菜園的決策者,你選擇哪條公路運(yùn)送蔬菜有可能讓菜園獲得的毛利潤更多? 19．（本小題滿分12分）二十世紀(jì)50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運(yùn)動(dòng)失調(diào)、四肢麻木等癥狀，人們把它稱為水俁病。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚類受到污染，人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類導(dǎo)致汞中毒，引起世人對(duì)食品的關(guān)注?！吨腥A人民共和國環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.00ppm。 羅非魚是體型較大，生命周期長的食肉魚，其體內(nèi)汞含量比其他魚偏高?，F(xiàn)從一批羅非魚中隨機(jī)地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測(cè)得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉）如下： （1）若某檢查人員從這15條魚中，隨機(jī)地抽出3條，求恰有1條魚汞含量超標(biāo)的概率； （2）以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批魚的總體數(shù)據(jù)。若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條，記表示抽到的魚汞含量超標(biāo)的條數(shù)，求的分布列及. 20．（本小題滿分12分）某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示． （1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①，②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再完成下列頻率分布直方圖；并確定中位數(shù)(直接寫出結(jié)果，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù)) （2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3，4，5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？ （3）在（2）的條件下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率？ 21. （本小題滿分12分）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表： 藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表 患病 未患病 總計(jì) 沒服用藥 20 30 50 服用藥 50 總計(jì) 100 設(shè)從沒服藥的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為；從服用藥物的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為.工作人員曾計(jì)算過. （1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的值，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過條形圖判斷藥物是否有效. （2）求與的均值并比較大小，請(qǐng)解釋所得出結(jié)論的實(shí)際含義； （3）能夠以的把握認(rèn)為藥物有效嗎？ 22.(本小題滿分10分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為 （1）若把曲線上的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線， 求曲線在直角坐標(biāo)系下的方程 （2）在第（1）問的條件下，判斷曲線與直線的位置關(guān)系，并說明理由； 高二期末考試答案 理科數(shù)學(xué) 1-12BCABC BABDC DA 13-16,,254,, 17.解析：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第個(gè)不等式，即一般不等式為： ．--------------------------3分 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （1）當(dāng)時(shí)，，猜想成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即， 則當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的，不等式成立．---------------------12分 18. (1) ---------------------6分 (2)選擇公路2毛利潤的期望為 ，所以選擇公路2 ---------------------12分 19.（1）---------------------6分 （2）服從二項(xiàng)式分布， ---------------------12分 20.（1）①35②0.3中位數(shù)為171.67；---------------------4分 （2）3,2,1--------------------4分 （3）--------------------4分 21（1），--------------------4分 又，所以， （2）；--------------------4分 （3），有把握，不能夠以的把握認(rèn)為藥物有效--------------------4分 22. （1）曲線的軌跡是 --------------5分 （2）直線為 圓心到直線的距離是 所以直線和圓相離----10分 4