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第七篇
不等式
第1講 不等關系與不等式
A級 基礎演練
(時間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2011·浙江)若a，b為實數(shù)，則“0
”的 ( )．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 當00，則有a<；若b<0，則a<0，從而有b>.故“0”的充分條件．反之，取b＝1，a＝－2，則有a<或b>，但ab<0.故選A.
答案 A
2．(2013·保定模擬)已知a>b，則下列不等式成立的是 ( )．
A．a(chǎn)2－b2≥0 B．a(chǎn)c>bc
C．|a|>|b| D．2a>2b
解析 A中，若a＝－1，b＝－2，則a2－b2≥0不成立；當c＝0時，B不成立；當0>a>b時，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故選D.
答案 D
3．(2012·晉城模擬)已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 ( )．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析 運用倒數(shù)性質，由a>b，ab>0可得<，②、④正確．又正數(shù)大于負數(shù)，①正確，③錯誤，故選C.
答案 C
4．如果a，b，c滿足cac B．c(b－a)>0
C．cb20，則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當b＝0時C不正確．
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．若－<α<β<，則α－β的取值范圍是________．
解析 由－<α<，－<－β<，α<β得－π<α－β<0.
答案 (－π，0)
6．(2013·南昌一模)現(xiàn)給出三個不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________個．
解析 因為a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；對于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；對于③，因為(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案 2
三、解答題(共25分)
7．(12分)設00且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。?
解 法一 當a>1時，由00，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，∴l(xiāng)oga(1－x2)<0，從而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
當0|loga(1＋x)|.
法二 平方作差
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0.
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法三 作商比較
∵＝＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵01及>1，
∴l(xiāng)og(1＋x)>0，故>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
8．(13分)已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．
解 由題意，得解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因為－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因為－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
兩式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范圍是[－1,20]．
B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·上海)若a、b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是 ( )．
A．a(chǎn)2＋b2＞2ab B．a(chǎn)＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
解析 對A：當a＝b＝1時滿足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A錯；對B、C：當a＝b＝－1時滿足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，顯然B、C不對；對D：當ab＞0時，由均值定理＋＝2 ＝2.
答案 D
2．(2013·漢中一模)若a、b均為不等于零的實數(shù)，給出下列兩個條件．條件甲：對于區(qū)間[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；條件乙：2b－a>0，則甲是乙的 ( )．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 當x∈[－1,0]時，恒有ax＋b>0成立，
∴當a>0時，ax＋b≥b－a>0，
當a<0時，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
∴甲?乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0時，
則2b－a＝b>0，
但是，當x＝－1時，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要條件．
答案 A
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(2012·泉州一模)已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是單調減函數(shù)，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，則f(α)＋f(β)＋f(γ)與0的關系是________．
解析 ∵f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，
∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在R上是單調減函數(shù)，
∴f(α)b>0，則>；
②若a>b>0，則a－>b－；
③若a>b>0，則>；
④設a，b是互不相等的正數(shù)，則|a－b|＋≥2.
其中正確命題的序號是________(把你認為正確命題的序號都填上)．
解析?、僮鞑羁傻茫剑鴄>b>0，則<0，此式錯誤．②a>b>0，則<，進而可得－>－，所以可得a－>b－正確．③－＝＝＝<0，錯誤．④當a－b<0時此式不成立，錯誤．
答案?、?
三、解答題(共25分)
5．(12分)(2011·安徽)(1)設x≥1，y≥1，證明
x＋y＋≤＋＋xy；
(2)設1＜a≤b≤c，證明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
證明 (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
從而所要證明的不等式成立．
(2)設logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對數(shù)的換底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要證明的不等式即為
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要證明的不等式成立．
6．(13分)已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得f(m－sin x)≤
f對定義域內的一切實數(shù)x均成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
思維啟迪：不等式和函數(shù)的結合，往往要利用函數(shù)的單調性和函數(shù)的值域．
解 假設實數(shù)m存在，依題意，
可得
即
因為sin x的最小值為－1，且－(sin x－)2的最大值為0，要滿足題意，必須有
解得m＝－或≤m≤3.
所以實數(shù)m的取值范圍是∪.
探究提高 不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.
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高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第七篇 第1講 不等關系與不等式
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