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江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2013屆高三5月教學(xué)情況調(diào)查（二） 數(shù)學(xué)試題 2013.5 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上； 1、 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第 象限。 2、 設(shè)全集，集合，集合，則 。 3、 已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為 。 4、 “”是“”的條件。（請在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中選擇一個合適的填空）。 5、 若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于，則此雙曲線方程為 。 6、 根據(jù)右圖所示的流程圖，輸出的結(jié)果為 。 7、 在1和9之間插入三個正數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的和為 。 8、 在不等式組，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為格點）中任取3個點，則該3點恰能作為一個三角形的三個頂點的概率為 。 9、 在矩形中，對角線與相鄰兩邊所成的角為，，則有。類比到空間中的一個正確命題是：在長方體中，對角線與相鄰三個面所成的角為，，，則有 。 10、 已知圓：與直線相交于、兩點，若，則實數(shù) 。 11、 分別在曲線與直線上各取一點與，則的最小值為 。 12、 已知向量，滿足，，且對一切實數(shù)，恒成立，則與的夾角大小為 。 13、 已知，均為正數(shù)，，且滿足，，則的值為 。 14、 已知為正的常數(shù)，若不等式對一切非負(fù)實數(shù)恒成立，則的最大值為 。 二、解答題：本大題共6個小題，共90分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。 15、 （本小題滿分14分） 如圖，中，，角的平分線交于點，設(shè)，； (1) 求和； (2) 若，求的長； 16、 （本小題滿分14分） 已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是等邊三角形，側(cè)面是以為斜邊的直角三角形，為的中點，為的中點。 (1) 求證：//平面； (2) 求證：平面； (3) 求三棱錐的體積； 17、 （本小題滿分14分） 已知等差數(shù)列的公差不為0，且，。 (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 設(shè)數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)的集合； 18、 （本小題滿分16分） 如圖，設(shè)，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，過原點作直線交線段于點（異于點，），交橢圓于，兩點（點在第一象限內(nèi)），與的面積分別為與。 (1) 若是線段的中點，直線的方程為，求橢圓的離心率； (2) 當(dāng)點在線段上運動時，求的最大值； 19、 （本小題滿分16分） 如圖所示，有兩條道路與，，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道，，（其中，分別在，上），若下水管道的總長度為。設(shè)，。 (1) 求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍； (2) 已知點處有一個污水總管的接口，點到的距離為，到點的距離為，問下水管道能否經(jīng)過污水總管的接口點？若能，求出的值，若不能，請說明理由； 20、 （本小題滿分16分） 已知為正的常數(shù)，函數(shù)； (1) 若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； (2) 設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； 附加題 21、 （選做題）在，，，四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分，解答時應(yīng)先寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 A. 選修4-1：幾何證明選講 如圖，為圓內(nèi)接四邊形，延長兩組對邊分別交于點，，的平分線分別交，于點，，求證：。 B. 選修4-2：矩陣與變換 已知，，在矩陣對應(yīng)變換的作用下，得到對應(yīng)點分別為，，，求矩陣； C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于，兩點，求的長； D. 選修4-5：不等式選講 已知常數(shù)滿足，解關(guān)于的不等式：； （必做題）第22題、第23題，每題10分，共20分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 22、 （本小題滿分10分）。 已知拋物線：和拋物線：在交點處的兩條切線互相垂直，求實數(shù)的值； 23、 （本小題滿分10分） 已知數(shù)列滿足，。 (1) 求，，猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； (2) 設(shè)，，比較與的大??；  ·15·