高考數(shù)學人教A版(理)一輪復習:第八篇 第7講 立體幾何中的向量方法(一)
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第7講 立體幾何中的向量方法(一) A級 基礎演練 (時間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),則 ( ). A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1與l2相交但不垂直 D.以上均不正確 答案 B 2.若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,能使l∥α的是 ( ). A.a(chǎn)=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a(chǎn)=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a(chǎn)=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a(chǎn)=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若l∥α,則a·n=0.而A中a·n=-2,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,只有D選項中a·n=-3+3=0. 答案 D 3.平面α經(jīng)過三點A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是 ( ). A. B.(6,-2,-2) C.(4,2,2) D.(-1,1,4) 解析 設平面α的法向量為n,則n⊥,n⊥,n⊥,所有與(或、)平行的向量或可用與線性表示的向量都與n垂直,故選D. 答案 D 4.(2012·全國)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E為CC1的中點,則直線AC1與平面BED的距離為 ( ). A.2 B. C. D.1 解析 連接AC,交BD于點O,連接EO,過點O作OH⊥AC1于點H,因為AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以OH=sin 45°=1. 答案 D 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a與b的夾角的余弦值為,則λ=________. 解析 由已知得==, ∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=. 答案?。?或 6.在四面體PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設PA=PB=PC=a,則點P到平面ABC的距離為________. 解析 根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過點P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點H,則PH的長即為點P到平面ABC的距離. ∵PA=PB=PC, ∴H為△ABC的外心. 又∵△ABC為正三角形, ∴H為△ABC的重心,可得H點的坐標為. ∴PH= =a. ∴點P到平面ABC的距離為a. 答案 a 三、解答題(共25分) 7.(12分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為BB1、C1D1的中點,建立適當?shù)淖鴺讼?,求平面AMN的一個法向量. 解 以D為原點,DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系(如圖所示). 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則A(1,0,0), M,N. ∴=,=. 設平面AMN的一個法向量為n=(x,y,z), ∴ 令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4). 8.(13分)如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點. 求證:(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標系, 設AC∩BD=N,連接NE. 則N,E(0,0,1), A(,,0),M ∴=. =. ∴=且NE與AM不共線.∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE,AM?平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知=, ∵D(,0,0),F(xiàn)(,,1), ∴=(0,,1) ∴·=0,∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF. B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數(shù)x,y,z分別為 ( ). A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 解析 ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,=(3,1,4), 則解得 答案 B 2.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且=,N為B1B的中點,則||為 ( ). A.a B.a C.a D.a 解析 以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 設M(x,y,z), ∵點M在AC1上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z) ∴x=a,y=,z=. 得M, ∴||= =a. 答案 A 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別是棱BC、DD1上的點,如果B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為________. 解析 以D1A1、D1C1、D1D分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設CE=x,DF=y(tǒng),則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,只需·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案 1 4.(2013·淮南模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點,O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中點,點Q為平面ABCD內(nèi)一點,線段D1Q與OP互相平分,則滿足=λ的實數(shù)λ的有____________個. 解析 建立如圖的坐標系,設正方體的邊長為2,則P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中點坐標為,又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即點P坐標滿足x+y=1.∴有2個符合題意的點P,即對應有2個λ. 答案 2 三、解答題(共25分) 5.(12分)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點. (1)求證:EF⊥CD; (2)在平面PAD內(nèi)求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論. (1)證明 如圖,以DA、DC、DP所在直線分別為x軸,y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F. =,=(0,a,0). ∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD. (2)解 設G(x,0,z),則=, 若使GF⊥平面PCB,則由 ·=·(a,0,0)=a=0,得x=; 由·=·(0,-a,a) =2+a=0, 得z=0. ∴G點坐標為,即G點為AD的中點. 6.(13分)(2012·湖南)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點. (1)證明:CD⊥平面PAE; (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積. 解 如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設PA=h,則相關(guān)各點的坐標為:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0), P(0,0,h). (1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h). 因為·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD⊥平面PAE. (2)由題設和(1)知,·分別是平面PAE,平面ABCD的法向量.而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|, 即=. 由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h(huán)), 又=(4,0,-h(huán)), 故=. 解得h=. 又梯形ABCD的面積為S=×(5+3)×4=16, 所以四棱錐P-ABCD的體積為V=×S×PA=×16×=. 特別提醒:教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.- 配套講稿:
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