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1.1探索勾股定理 第2課時(shí) 驗(yàn)證勾股定理 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1.掌握勾股定理,理解和利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法. 2.能運(yùn)用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【過(guò)程與方法】 通過(guò)拼圖法驗(yàn)證勾股定理,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 培養(yǎng)學(xué)生大膽探索,不怕失敗的精神. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程,能利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 用拼圖法驗(yàn)證勾股定理. 課前準(zhǔn)備 【教師準(zhǔn)備】教材圖1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的圖片. 【學(xué)生準(zhǔn)備】4個(gè)全等的直角三角形紙片. 教學(xué)過(guò)程 第一環(huán)節(jié)：引入新課 導(dǎo)入一: 【提問(wèn)】　直角三角形的三邊有怎樣的關(guān)系?在研究直角三角形三邊關(guān)系時(shí),我們是通過(guò)測(cè)量、數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理,那么,我們?cè)鯓佑每茖W(xué)的方法去證明勾股定理的正確性呢?請(qǐng)跟我一起去探索吧! 導(dǎo)入二: 上節(jié)課我們用什么方法探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理? 學(xué)生思考(測(cè)量、數(shù)格子). 第二環(huán)節(jié)：新知構(gòu)建 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　一樣的科學(xué)結(jié)論,可能會(huì)有很多的證明方式,人們對(duì)勾股定理的驗(yàn)證,就給出了多種的證明方式,我們也一起來(lái)嘗試下吧. 1.勾股定理的驗(yàn)證 思路一 【師生活動(dòng)】 師:投影教材P4圖1 - 4,分別以直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)向外作正方形,你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎?你是如何做的?與同伴進(jìn)行交流. 生:割補(bǔ)法進(jìn)行驗(yàn)證. 師:出示教材P5圖1 - 5和圖1 - 6,想一想:小明是怎樣對(duì)大正方形進(jìn)行割補(bǔ)的? 生:討論交流. 師總結(jié):圖1 - 5是在大正方形的四周補(bǔ)上四個(gè)邊長(zhǎng)為a,b,c的直角三角形;圖1 - 6是把大正方形分割成四個(gè)邊長(zhǎng)為a,b,c的直角三角形和一個(gè)小正方形.圖1 - 5采用的是“補(bǔ)”的方法,而圖1 - 6采用的是“割”的方法,請(qǐng)同學(xué)們將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來(lái). (1)動(dòng)筆操作,獨(dú)立完成. 師:圖1 - 5中正方形ABCD的面積是多少?你們有哪些方法求?與同伴進(jìn)行交流. (2)分組討論面積的不同表示方法. 生:得出(a+b)2,4×12ab+c2兩種方法. (3)板書學(xué)生討論的結(jié)果. 【提問(wèn)】　你能利用圖1 - 5驗(yàn)證勾股定理嗎? 生:根據(jù)剛才討論的情況列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn). 師:化簡(jiǎn)之后能得到勾股定理嗎? 生:得到a2+b2=c2,即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,驗(yàn)證了勾股定理. 師:你能用圖1 - 6也證明一下勾股定理嗎? 獨(dú)立完成. 師:(強(qiáng)調(diào))割補(bǔ)法是幾何證明中常用的方法,要注意這種方法的運(yùn)用. 思路二 教師出示教材圖1 - 4及“做一做”,讓學(xué)生觀察圖1 - 5和圖1 - 6. 【提問(wèn)】　小明是怎樣拼的?你來(lái)試一試. (學(xué)生以小組為單位展開拼圖嘗試,同伴之間討論、爭(zhēng)辯、互相啟發(fā),將拼好的圖形畫下來(lái)) 【思考】　“做一做”的三個(gè)問(wèn)題. 教師講評(píng)驗(yàn)證勾股定理的方法. 2.勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 思路一：出示教材P5例題,教師分析并抽象出幾何圖形. 【問(wèn)題】　(1)圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足AB2=AC2+BC2? (2)要想求敵方汽車的速度,應(yīng)先求什么?你能利用勾股定理完成這道題嗎? (學(xué)生獨(dú)立完成,教師指名板演) 出示教材P8圖1 - 8. 【提問(wèn)】　判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+b2=c2. (學(xué)生以組為單位合作完成,分別計(jì)算出每個(gè)正方形的面積.獨(dú)立完成,有困難的可以合作完成) 思路二 　我方偵察員小王在距離東西向公路400 m處偵察,發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀,測(cè)得汽車與他相距400 m,10 s后,汽車與他相距500 m,你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎? 〔解析〕　根據(jù)題意,可以畫出右圖,其中點(diǎn)A表示小王所在位置,點(diǎn)C,點(diǎn)B表示兩個(gè)時(shí)刻敵方汽車的位置.由于小王距離公路400 m,因此∠C是直角,這樣就可以由勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題了. 解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300. 敵方汽車10 s行駛了300 m,那么它1 h行駛的距離為300×6×60=108000(m),即它行駛的速度為108 km/h. [知識(shí)拓展]　利用面積相等來(lái)驗(yàn)證勾股定理,關(guān)鍵是利用不同的方法表示圖形的面積,一要注意部分面積和等于整體面積的思想,二要注意拼接時(shí)要做到不重不漏. 曾任美國(guó)總統(tǒng)的伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個(gè)勾股定理證明,如圖所示,這就是他拼出的圖形.它的面積有兩種表示方法,既可以表示為12(a+b)(a+b),又可以表示為12(2ab+c2),所以可得12(a+b)(a+b)=12(2ab+c2),化簡(jiǎn)可得a2+b2=c2. 第三環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 1.勾股定理的驗(yàn)證方法測(cè)量法數(shù)格子法面積法 2.在實(shí)際問(wèn)題中,首先要找到直角三角形,然后再應(yīng)用勾股定理解題. 第四環(huán)節(jié)：檢測(cè)反饋 1.下列選項(xiàng)中,不能用來(lái)證明勾股定理的是 (　　) 解析:A,B,C都可以利用圖形面積得出a,b,c的關(guān)系,即可證明勾股定理,故A,B,C選項(xiàng)不符合題意;D,不能利用圖形面積證明勾股定理,故此選項(xiàng)正確.故選D. 2.用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a,b,c的直角三角板,拼成如圖所示的圖形,則下列結(jié)論中正確的是 (　　) A.c2=a2+b2　　　　B.c2=a2+2ab+b2 C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2 解析:由題意得到四個(gè)完全一樣的直角三角板圍成的四邊形為正方形,其邊長(zhǎng)為c,里面的小四邊形也為正方形,邊長(zhǎng)為b-a,則有c2=12ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故選A. 3.如圖所示,大正方形的面積是　　　　,另一種方法計(jì)算大正方形的面積是　　　　,兩種結(jié)果相等,推得勾股定理是　　　　.? 解析:如圖所示,大正方形的面積是(a+b)2,另一種計(jì)算方法是4×12ab+c2,即(a+b)2=4×12ab+c2,化簡(jiǎn)得a2+b2=c2. 答案:(a+b)2　4×12ab+c2　a2+b2=c2 4.操作:剪若干個(gè)大小形狀完全相同的直角三角形,三邊長(zhǎng)分別記為a,b,c(如圖(1)所示),分別用4張這樣的直角三角形紙片拼成如圖(2)(3)所示的形狀,圖(2)中的兩個(gè)小正方形的面積S2,S3與圖(3)中小正方形的面積S1有什么關(guān)系?你能得到a,b,c之間有什么關(guān)系? 解析:根據(jù)已知圖形的形狀得出面積關(guān)系,進(jìn)一步證明勾股定理即可求解. 解:分別用4張直角三角形紙片,拼成如圖(2)(3)所示的形狀,觀察圖(2)(3)可發(fā)現(xiàn),圖(2)中的兩個(gè)小正方形的面積之和等于圖(3)中的小正方形的面積,即S2+S3=S1,這個(gè)結(jié)論用關(guān)系式可表示為a2+b2=c2. 第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 1.教材作業(yè) 【必做題】 教材第6頁(yè)隨堂練習(xí). 【選做題】 教材第7頁(yè)習(xí)題1.2第3題. 2.課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,那么(a-b)2的值是 (　　) A.1　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.13 2.歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用了如圖所示的圖形,其中兩個(gè)全等的直角三角形邊AE,EB在一條直線上.證明中用到的面積相等的關(guān)系是 (　　) A.SΔEDA=SΔCEB B.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDE C.S四邊形CDAE=S四邊形CDEB D.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD 3.北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的圖案如圖所示. (1)它可以看做是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c的直角三角形拼成的,請(qǐng)從面積關(guān)系出發(fā),寫出一個(gè) 關(guān)于a,b,c的等式.(要有過(guò)程) (2)請(qǐng)用四個(gè)這樣的直角三角形再拼出另一個(gè)幾何圖形,也能驗(yàn)證(1)中所寫的等式.(不用寫出驗(yàn)證過(guò)程) (3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面積. 【能力提升】 4.勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理.在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載.如圖(1)所示的是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖(2)是由圖(1)放入矩形內(nèi)得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上,則矩形KLMJ的面積為　　　　.? 5.在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a,較短直角邊為b,則a4+b4的值為 (　　) A.35 B.43 C.89 D.97 6.據(jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖所示的兩個(gè)圖驗(yàn)證了勾股定理,你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎? 7.如圖所示,在平面內(nèi),把矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到矩形A'BC'D'.設(shè)AB=a,BC=b,BD=c.請(qǐng)利用該圖驗(yàn)證勾股定理. 【拓展探究】 8.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)所示).圖(2)是由弦圖變化得到的,它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,則S2的值是. 9.勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖(1)或圖(2)擺放時(shí),都可以用“面積法”來(lái)證明,下面是小聰利用圖(1)證明勾股定理的過(guò)程. 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖(1)所示擺放,連接DC,其中∠DAB=90°,求證a2+b2=c2. 證明:連接DB,過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a. ∵S四邊形ADCB=SΔACD+SΔABC=12b2+12ab, 又∵S四邊形ADCB=SΔADB+SΔDCB=12c2+12a(b-a), ∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a), ∴a2+b2=c2. 請(qǐng)參照上述證法,利用圖(2)完成下面的驗(yàn)證過(guò)程. 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖(2)所示擺放,其中∠DAB=90°,連接BE. 驗(yàn)證a2+b2=c2. 證明:連接　　　　　　　　　　,? ∵S五邊形ACBED=　　　　　　　　　　,? 又∵S五邊形ACBED=　　　　,? ∴　　　　,? ∴a2+b2=c2. 【答案與解析】 1.A(解析:根據(jù)勾股定理可得a2+b2=13,四個(gè)直角三角形的面積和是12ab×4=13-1=12,即2ab=12,則(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.故選A.) 2.D(解析:由SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD,可知12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,∴c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,∴證明中用到的面積相等的關(guān)系是SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四邊形ABCD.故選D.) 3.解:(1)大正方形的面積=4個(gè)三角形的面積+小正方形的面積,即c2=4×12ab+(a-b)2=a2+b2.　(2)如圖所示.　(3)∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,∴ab=48,∴S=12ab=12×48=24. 4.440(解析:如圖所示,延長(zhǎng)AB交KL于P,延長(zhǎng)AC交LM于Q,則ΔABC≌ΔPFB≌ΔQCG,∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵圖(2)是由圖(1)放入矩形內(nèi)得到的,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴矩形KLMJ的面積=22×20=440.故答案為440.) 5.D(解析:依題意有:a2+b2=大正方形的面積=13,2ab=四個(gè)直角三角形的面積和=13-1=12,ab=6,則a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62=169-72=97.故選D.) 6.解:根據(jù)題意,第一個(gè)圖形中間空白小正方形的面積是c2;第二個(gè)圖形中空白的兩個(gè)小正方形的面積的和是a2+b2,∵它們的面積都等于邊長(zhǎng)為a+b的正方形的面積-4個(gè)直角邊分別為a,b的直角三角形的面積和,∴a2+b2=c2,即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和. 7.解:連接D'D,依題意,圖中的四邊形DAC'D'為直角梯形,ΔDBD'為等腰直角三角形,RtΔDAB和RtΔBC'D'的形狀和大小完全一樣,設(shè)梯形DAC'D'的面積為S,則S=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,又S=SRtΔDBD'+2SRtΔABD=12c2+2×12ab=12c2+ab,∴12(a2+b2)+ab=12c2+ab,因此a2+b2=c2. 8.163(解析:∵八個(gè)直角三角形全等,四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF=GK,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NG·NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF=3GF2=16,∴GF2=163,∴S2=163.故答案為163.) 9.證明:連接BD,過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF,則BF=b-a,∵S五邊形ACBED=SΔACB+SΔABE+SΔADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五邊形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2. 板書設(shè)計(jì) 1.1.2 1.勾股定理的驗(yàn)證. 2.勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 教學(xué)反思 成功之處 在課堂教學(xué)中,始終注意了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.興趣是最好的老師,所以無(wú)論是引入、拼圖,還是歷史回顧,都注意去調(diào)動(dòng)學(xué)生,讓學(xué)生滿懷激情地投入到活動(dòng)中.勾股定理作為“千古第一定理”,其魅力在于其歷史價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值,因此充分挖掘了其內(nèi)涵.特別是讓學(xué)生事先進(jìn)行調(diào)查,再在課堂上進(jìn)行展示,這極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,既加深了對(duì)勾股定理文化的理解,又培養(yǎng)了學(xué)生收集、整理資料的能力. 不足之處 在教學(xué)過(guò)程中,過(guò)于讓學(xué)生發(fā)散思維,而導(dǎo)致課堂秩序略有松散. 再教設(shè)計(jì) 勾股定理的驗(yàn)證既是本節(jié)課的重點(diǎn),也是本節(jié)課的難點(diǎn),為了突破這一難點(diǎn),可以設(shè)計(jì)拼圖活動(dòng),先讓學(xué)生從形上感知,再層層設(shè)問(wèn),從面積(數(shù))入手,師生共同探究,最后由學(xué)生獨(dú)立探究,這樣學(xué)生較容易突破本節(jié)課的難點(diǎn). 備課資源 古詩(shī)中的數(shù)學(xué)題 請(qǐng)你先欣賞下面一首詩(shī): 平平湖水清可鑒,面上半尺生紅蓮; 出泥不染亭亭立,忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊; 漁人觀看忙向前,花離原位兩尺遠(yuǎn); 能算諸君請(qǐng)解題,湖水如何知深淺? 你能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決上述詩(shī)中的問(wèn)題嗎? 〔解析〕　要解決詩(shī)中提出的問(wèn)題,關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,畫出符合題意的圖形,如圖所示.在RtΔBCD中,由勾股定理建立方程求線段的長(zhǎng). 解:如圖所示,AD表示蓮花的高度,CD是水的深度,CB是蓮花吹倒后離原位的距離. 設(shè)CD=x尺,則AD=BD=x+12尺. 在RtΔBCD中,∠BCD=90°,由勾股定理得BD2=CD2+BC2,即x+122=22+x2. 解得x=3.75. 所以所求的湖水深度為3.75尺. [方法總結(jié)]　建立數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法.本例是利用蓮花無(wú)風(fēng)時(shí)與水面垂直構(gòu)造直角三角形這一幾何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求線段的長(zhǎng). - 11 -