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期末試卷（1） 一、選擇題：（每小題3分，共30分） 1．（3分）在以下永潔環(huán)保、綠色食品、節(jié)能、綠色環(huán)保四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 2．（3分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖．要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條？（　?。? A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 3．（3分）如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　?。? A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 4．（3分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（　?。? A．180° B．220° C．240° D．300° 5．（3分）下列計算正確的是（　?。? A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 6．（3分）如圖，給出了正方形ABCD的面積的四個表達(dá)式，其中錯誤的是（　?。? A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x 7．（3分）下列式子變形是因式分解的是（　　） A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3） 8．（3分）若分式有意義，則a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)≠﹣1 D．a(chǎn)≠0 9．（3分）化簡的結(jié)果是（　?。? A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x 10．（3分）下列各式：①a0=1；②a2?a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正確的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 11．（3分）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為（　?。? A． B． C． D． 12．（3分）如圖，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，還需從下列條件中補選一個，則錯誤的選法是（　　） A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 　 二、填空題：（每空3分，共18分） 13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　?。? 14．（3分）若分式方程：有增根，則k=　?。? 15．（3分）如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是　?。ㄖ恍杼钜粋€即可） 16．（3分）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=　　度． 17．（3分）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為　?。? 18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b為正整數(shù)），則a+b=　　． 　 三.解答下列各題：（本題共7題，共66分） 19．（9分）先化簡，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣． 20．（9分）給出三個多項式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．請選擇你最喜歡的兩個多項式進(jìn)行加法運算，并把結(jié)果因式分解． 21．（9分）解方程：=． 22．（9分）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形． （1）求證：AD=CE； （2）求證：AD和CE垂直． 23．（9分）如圖，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求證：DE=AB． 24．（9分）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天． （1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？ （2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？ 25．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F，EF交CD于點G．求證：BE=CG．  參考答案與試題解析 一、選擇題：（每小題3分，共30分） 1．（3分）在以下永潔環(huán)保、綠色食品、節(jié)能、綠色環(huán)保四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意； B、是軸對稱圖形，符合題意； C、不是軸對稱圖形，不符合題意； D、不是軸對稱圖形，不符合題意． 故選B． 【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．（3分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖．要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條？（　?。? A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 【考點】三角形的穩(wěn)定性． 【專題】存在型． 【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可． 【解答】解：加上AC后，原不穩(wěn)定的四邊形ABCD中具有了穩(wěn)定的△ACD及△ABC， 故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性． 故選：B． 【點評】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用，比較簡單． 　 3．（3分）如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　?。? A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等，即可進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE， 故A、B、C正確； AD的對應(yīng)邊是AE而非DE，所以D錯誤． 故選D． 【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知的對應(yīng)角正確確定對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵． 　 4．（3分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（　?。? A．180° B．220° C．240° D．300° 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】探究型． 【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，求出∠α+∠β的度數(shù)． 【解答】解：∵等邊三角形的頂角為60°， ∴兩底角和=180°﹣60°=120°； ∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°； 故選C． 【點評】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和是360°等知識，難度不大，屬于基礎(chǔ)題 　 5．（3分）下列計算正確的是（　　） A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；零指數(shù)冪． 【分析】A、不是同類項，不能合并； B、按完全平方公式展開錯誤，掉了兩數(shù)積的兩倍； C、按積的乘方運算展開錯誤； D、任何不為0的數(shù)的0次冪都等于1． 【解答】解：A、不是同類項，不能合并．故錯誤； B、（x+2）2=x2+4x+4．故錯誤； C、（ab3）2=a2b6．故錯誤； D、（﹣1）0=1．故正確． 故選D． 【點評】此題考查了整式的有關(guān)運算公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題． 　 6．（3分）如圖，給出了正方形ABCD的面積的四個表達(dá)式，其中錯誤的是（　?。? A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，以及分割法，可求正方形的面積，進(jìn)而可排除錯誤的表達(dá)式． 【解答】解：根據(jù)圖可知， S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x 故選C． 【點評】本題考查了整式的混合運算、正方形面積，解題的關(guān)鍵是注意完全平方公式的掌握． 　 7．（3分）下列式子變形是因式分解的是（　?。? A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3） 【考點】因式分解的意義． 【專題】因式分解． 【分析】根據(jù)因式分解的定義：就是把整式變形成整式的積的形式，即可作出判斷． 【解答】解：A、x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6右邊不是整式積的形式，故不是分解因式，故本選項錯誤； B、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式積的形式，故是分解因式，故本選項正確； C、（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本選項錯誤； D、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本選項錯誤． 故選B． 【點評】本題考查的是因式分解的意義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式． 　 8．（3分）若分式有意義，則a的取值范圍是（　　） A．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)≠﹣1 D．a(chǎn)≠0 【考點】分式有意義的條件． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行解答． 【解答】解：∵分式有意義， ∴a+1≠0， ∴a≠﹣1． 故選C． 【點評】本題考查了分式有意義的條件，要從以下兩個方面透徹理解分式的概念： （1）分式無意義?分母為零； （2）分式有意義?分母不為零； 　 9．（3分）化簡的結(jié)果是（　?。? A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x 【考點】分式的加減法． 【專題】計算題． 【分析】將分母化為同分母，通分，再將分子因式分解，約分． 【解答】解：=﹣===x， 故選：D． 【點評】本題考查了分式的加減運算．分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減． 　 10．（3分）下列各式：①a0=1；②a2?a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正確的是（　?。? A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【考點】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；有理數(shù)的混合運算；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；零指數(shù)冪． 【專題】計算題． 【分析】分別根據(jù)0指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)混合運算的法則及合并同類項的法則對各小題進(jìn)行逐一計算即可． 【解答】解：①當(dāng)a=0時不成立，故本小題錯誤； ②符合同底數(shù)冪的乘法法則，故本小題正確； ③2﹣2=，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義a﹣p=（a≠0，p為正整數(shù)），故本小題錯誤； ④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0符合有理數(shù)混合運算的法則，故本小題正確； ⑤x2+x2=2x2，符合合并同類項的法則，本小題正確． 故選D． 【點評】本題考查的是零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)混合運算的法則及合并同類項的法則，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵． 　 11．（3分）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為（　?。? A． B． C． D． 【考點】由實際問題抽象出分式方程． 【分析】根據(jù)乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時間少用了15分鐘，利用時間得出等式方程即可． 【解答】解：設(shè)乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為： =+， 故選：D． 【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵是正確找出題目中的相等關(guān)系，用代數(shù)式表示出相等關(guān)系中的各個部分，把列方程的問題轉(zhuǎn)化為列代數(shù)式的問題． 　 12．（3分）如圖，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，還需從下列條件中補選一個，則錯誤的選法是（　?。? A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 【考點】全等三角形的判定． 【分析】先要確定現(xiàn)有已知在圖形上的位置，結(jié)合全等三角形的判定方法對選項逐一驗證，排除錯誤的選項．本題中C、AB=AC與∠1=∠2、AD=AD組成了SSA是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：A、∵AB=AC， ∴， ∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此選項正確； B、當(dāng)DB=DC時，AD=AD，∠1=∠2， 此時兩邊對應(yīng)相等，但不是夾角對應(yīng)相等，故此選項錯誤； C、∵∠ADB=∠ADC， ∴， ∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此選項正確； D、∵∠B=∠C， ∴， ∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此選項正確． 故選：B． 【點評】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA無法證明三角形全等． 　 二、填空題：（每空3分，共18分） 13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　x（x+2）（x﹣6）　． 【考點】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法． 【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要徹底． 【解答】解：x3﹣4x2﹣12x =x（x2﹣4x﹣12） =x（x+2）（x﹣6）． 故答案為：x（x+2）（x﹣6）． 【點評】此題考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知識．此題比較簡單，注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要徹底． 　 14．（3分）若分式方程：有增根，則k=　1?。? 【考點】分式方程的增根． 【專題】計算題． 【分析】把k當(dāng)作已知數(shù)求出x=，根據(jù)分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可． 【解答】解：∵， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 整理得：（2﹣k）x=2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2=0， 解得：x=2， 把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1． 故答案為：1． 【點評】本題考查了對分式方程的增根的理解和運用，把分式方程變成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，則此數(shù)是分式方程的增根，即不是分式方程的根，題目比較典型，是一道比較好的題目． 　 15．（3分）如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是　∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）　．（只需填一個即可） 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，則AB=CF，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可證全等．（也可添加其它條件）． 【解答】解：增加一個條件：∠A=∠F， 顯然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可證三角形全等（答案不唯一）． 故答案為：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在選擇時要結(jié)合其它已知在圖形上的位置進(jìn)行選?。? 　 16．（3分）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=　50　度． 【考點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得∠A=∠B，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解． 【解答】解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠A+∠B=∠ACE， ∴∠A=∠ACE=×100°=50°． 故答案為：50． 【點評】本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵． 　 17．（3分）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為　2m+4?。? 【考點】平方差公式的幾何背景． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解． 【解答】解：設(shè)拼成的矩形的另一邊長為x， 則4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x=2m+4． 故答案為：2m+4． 【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵． 　 18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b為正整數(shù)），則a+b=　109?。? 【考點】分式的定義． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律解答． 【解答】解：由已知得a=10，b=a2﹣1=102﹣1=99， ∴a+b=10+99=109． 【點評】本題屬于找規(guī)律題目，關(guān)鍵是找出分母的規(guī)律，b=a2﹣1．根據(jù)題意解出未知數(shù)，代入所求代數(shù)式即可． 　 三.解答下列各題：（本題共7題，共66分） 19．（9分）先化簡，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣． 【考點】整式的加減—化簡求值． 【分析】首先根據(jù)整式的加減運算法則將原式化簡，然后把給定的值代入求值．注意去括號時，如果括號前是負(fù)號，那么括號中的每一項都要變號；合并同類項時，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變． 【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2， 當(dāng)a=，b=﹣時，原式=﹣8××=﹣． 【點評】熟練地進(jìn)行整式的加減運算，并能運用加減運算進(jìn)行整式的化簡求值． 　 20．（9分）給出三個多項式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．請選擇你最喜歡的兩個多項式進(jìn)行加法運算，并把結(jié)果因式分解． 【考點】因式分解的應(yīng)用；整式的加減． 【專題】開放型． 【分析】本題考查整式的加法運算，找出同類項，然后只要合并同類項就可以了． 【解答】解：情況一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）． 情況二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 情況三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2． 【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的?？键c． 熟記公式結(jié)構(gòu)是分解因式的關(guān)鍵．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2． 　 21．（9分）解方程：=． 【考點】解分式方程． 【專題】計算題． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8， 移項合并得：2x=4， 解得：x=2， 經(jīng)檢驗x=2是增根，分式方程無解． 【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 　 22．（9分）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形． （1）求證：AD=CE； （2）求證：AD和CE垂直． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】證明題． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，證出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE； （2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，證出結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC， 即∠ABD=CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE； （2）延長AD分別交BC和CE于G和F，如圖所示： ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， 又∵∠BGA=∠CGF， ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， ∴∠AFC=∠ABC=90°， ∴AD⊥CE． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 　 23．（9分）如圖，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求證：DE=AB． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】求出∠DCE=∠ACB，根據(jù)SAS證△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出答案． 【解答】證明：∵∠DCA=∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB， ∵在△DCE和△ACB中 ， ∴△DCE≌△ACB， ∴DE=AB． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否運用全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理，題目比較典型，難度適中． 　 24．（9分）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天． （1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？ （2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？ 【考點】分式方程的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】（1）設(shè)這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)甲、乙隊先合做15天，余下的工程由甲隊單獨需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先計算甲、乙合作需要的時間，然后計算費用即可． 【解答】解：（1）設(shè)這項工程的規(guī)定時間是x天， 根據(jù)題意得：（+）×15+=1． 解得：x=30． 經(jīng)檢驗x=30是原分式方程的解． 答：這項工程的規(guī)定時間是30天． （2）該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1÷（+）=18（天）， 則該工程施工費用是：18×（6500+3500）=180000（元）． 答：該工程的費用為180000元． 【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答此類工程問題，經(jīng)常設(shè)工作量為“單位1”，注意仔細(xì)審題，運用方程思想解答． 　 25．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F，EF交CD于點G．求證：BE=CG． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過點A作AP⊥BC于點P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根據(jù)ASA證出△BFE≌△GFC即可． 【解答】證明：過點A作AP⊥BC于點P，∠APB=90°， ∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC， ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=180°﹣∠CDB=90°， ∵∠B+∠BAP=180°﹣∠APB=90°，∴∠BAP=∠PAC=∠BCD， ∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD， ∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90° ∴2（∠BCD+∠ECD）=90°， ∴∠BCE=45°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90° ∴∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=45°， ∴∠FEC=∠ECF， ∴EF=FC， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=∠APC=90°， ∴EF∥AP， ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE=∠EFC=90°， ∵在△BFE和△GFC中， ， ∴△BFE≌△GFC（ASA）， ∴BE=CG． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用，題目的難度中等． 第23頁（共23頁）