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2.2 一元二次方程的解法 第1課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1、知道根據(jù)平方根的定義解形如(x+h) 2=m的方程，它的依據(jù)是數(shù)的開(kāi)方； 2、會(huì)用平方根的定義解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程； 3、在把(x－a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“換元”的數(shù)學(xué)方法。 【過(guò)程與方法】 經(jīng)歷探索形如(x+h) 2=m的方程的解法，體會(huì)一元二次方程降次的思想和換元的思想。 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 讓學(xué)生通過(guò)探索一元二次方程的解法的過(guò)程，體驗(yàn)將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 根據(jù)平方根的定義解形如(x+h) 2=m的方程。 【教學(xué)難點(diǎn)】 用平方根的定義解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程。 課前準(zhǔn)備 無(wú) 教學(xué)過(guò)程 一、一預(yù)學(xué)： 要求學(xué)生復(fù)述平方根的意義。 (1)文字語(yǔ)言表示：如果一個(gè)數(shù)的平方的等于a，這個(gè)數(shù)叫a的平方根。 (2)用式子表示：若x 2=a，則x叫做a的平方根。 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)； 零的平方根是零； 負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 求適合等于x 2=4的x 的值。 說(shuō)明：學(xué)生不難看出本題的解(x=2或x=－2)，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)方程的特點(diǎn)，探索解這個(gè)方程與已學(xué)知識(shí)(數(shù)的開(kāi)方)的聯(lián)系。在求出方程 x2－4 = 0 的解以后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：解這樣的方程，就是要“求一個(gè)數(shù)，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用開(kāi)平方的方法。這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)常用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——化歸。事實(shí)上，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，就是一系列的轉(zhuǎn)化過(guò)程，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，最終使問(wèn)題解決。 二、探究： 問(wèn)題1 如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次項(xiàng)系數(shù)b、常數(shù)項(xiàng)c中至少有一個(gè)為0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？ (1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0 問(wèn)題2 怎樣解方程ax2 = 0？ (可以3x2 = 0為具體例子，學(xué)生根據(jù)平方根的定義，得到x=0。應(yīng)指出3x2 = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x=0，x=0?；這與一元一次方程3x=0有一個(gè)根x=0是有區(qū)別的，進(jìn)而指出：方程ax2 = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x=x=0) 問(wèn)題3 怎樣解方程ax2 + c = 0 (a≠0)？ 可以(1) x2－4 = 0，(2) 2x2－50 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程為例，由學(xué)生把它們變形為x2=－的形式，用平方根的定義來(lái)求解。接著指出：這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法，其中適合方程(3)的實(shí)數(shù)x不存在，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)解。 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納方程ax2+c = 0的解的情況：當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，方程ax2+c = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a、c同號(hào)時(shí)，方程ax2+c = 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 說(shuō)明：以上教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究過(guò)程，對(duì)于一元二次方程的解有全面了解；通過(guò)對(duì)方程ax2 + c = 0 (a≠0)解的情況的討論，體會(huì)分類的思想；最后設(shè)計(jì)的幾個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生判斷、求解，體現(xiàn)了“換元”的思想方法。 3、 精講 例1 課本例2 在講解例1時(shí)注意： 1、對(duì)于形如“(x－a) 2=b (b≥0)”型的方程，教科書(shū)給出的例子是解方程(x+3) 2=2 。這時(shí)，只要把x+3看作一個(gè)整體，就可以轉(zhuǎn)化為x 2=b (b≥0)型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。 2、在對(duì)方程(x+3) 2=2 兩邊同時(shí)開(kāi)平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程。要向?qū)W生指出，這種變形實(shí)質(zhì)上是將原方程“降次”。“降次”也是一種數(shù)學(xué)方法 例2 不解方程，說(shuō)出下列方程根的情況： (1) 1－3x2 = 2x2； （2） －4x2+1 = 0； （3） －0. 5x2－2 = 0. (通過(guò)訓(xùn)練，使學(xué)生明確一元二次方程的解有三種情況) 例2 解下列方程： (1) (1－x)2 = 1；（2） (1+x)2－2 = 0；（3）(2x+1) 2+3 = 0；（4）x2－2x+1= 4. (滲透換元思想訓(xùn)練) 四、課堂練習(xí)： 五、課堂小結(jié)： 1、直接開(kāi)平方法可解下列類型的一元二次方程：x 2=b (b≥0)；(x－a) 2=b (b≥0)。解法的根據(jù)是平方根的定義。要特別注意，由于負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以上述兩式中規(guī)定了b≥0。當(dāng)b﹤0時(shí)，方程無(wú)解。 2、求解形如x 2=b (b≥0)的方程，實(shí)質(zhì)上是“求一個(gè)數(shù)x，使它的平方是b”，所以用“直接開(kāi)平方法”；對(duì)于形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程，只要把x+a看作一個(gè)整體X，就可轉(zhuǎn)化為x 2=b (b≥0)的形式，這就是“換元”的方法 六、作業(yè)： 3