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題目： 函數(shù)傅里葉變換在物理中的應(yīng)用 姓名 董昊煜 鄭意南 劉書(shū)琬 成夢(mèng) 左晏寧 國(guó)志浩 指導(dǎo)教師 蘇德礦教授 年級(jí) 大一年級(jí) 第一部分 函數(shù)傅里葉變換在電路通信中的應(yīng)用 一、 概述： 傅里葉變換是指對(duì)某一區(qū)域內(nèi)（或周期函數(shù)）分段光滑的函數(shù)用正、余弦函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)近似原函數(shù)。當(dāng)組合的函數(shù)項(xiàng)n→∞時(shí)，便得到一組形如 n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL 的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)之為傅里葉級(jí)數(shù)。其和函數(shù)Sx滿(mǎn)足Sx=fx-0+fx+02 ，fx-0和fx+0分別表示fx在x 處的左、右極限，故可見(jiàn)當(dāng)fx在x處連續(xù)時(shí)，Sx=fx。 由于傅里葉變換可將一些復(fù)雜的函數(shù)表示成為某區(qū)域上的若干簡(jiǎn)單三角函數(shù)（正、余弦函數(shù)）的線(xiàn)性組合，使原函數(shù)簡(jiǎn)單化，故可利用傅里葉變換來(lái)處理一些復(fù)雜的函數(shù)。另外，又由于正余弦函數(shù)的奇偶性、周期性及其特殊的和差化積與函數(shù)變換特性，使得原函數(shù)經(jīng)傅里葉變換后出現(xiàn)許多“好”的性質(zhì)，便于我們更方便地研究與原函數(shù)相關(guān)的一些問(wèn)題。 在物理學(xué)上，傅里葉變換由于其獨(dú)特的性質(zhì)而成為了許多物理技術(shù)的理論根據(jù)，在如電路及通信方面有著非常廣泛的應(yīng)用。 二、 傅里葉級(jí)數(shù)在電信號(hào)中的應(yīng)用： 1. 事實(shí)上，在物理學(xué)中，我們常用T表示一個(gè)電流或電壓信號(hào)的周期，用n表示其角頻率，則fx（周期為T(mén)）又可表示為： fx=a02+n=1∞ancosnωt+bnsinnωt 其中a0=2Tt0t0+Tftdt，an=2Tt0t0+Tftcos(nωt)dt，bn=2Tt0t0+Tftsin(nωt)dt； （T = 2l, ω=2πT=2π2l=πl(wèi)） 為了便于研究，常將fx的上述傅里葉展開(kāi)式寫(xiě)成僅含一種三角函數(shù)的形式，則由三角函數(shù)加減運(yùn)算法則有： fx=a02+n=1∞an2+bn2cos(nωt+φn)，其中φn=-arctanbnan； 圖1 或者fx=a02+n=1∞an2+bn2sin(nωt+θn)，其中θn=-arctananbn。 2. 一些典型電信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)： （1） 周期函數(shù)矩形脈沖信號(hào)（圖1）： 可利用傅里葉變換將周期矩形脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)換為如下形式的傅里葉變換： fx~2Ετ2Τ+2ΕτΤn=1∞SanπτΤcosnωt 其中Τ為周期，τ為脈寬，Ε為脈幅。 該電路信號(hào)具有如下特點(diǎn)：頻譜離散，相鄰兩譜線(xiàn)間隔為1個(gè)ω=2πΤ；其直流分量、基波及各諧波分量、大小正比于Ε而反比于Τ；各譜線(xiàn)的幅度按照SanπτΤ規(guī)律而變化；且有無(wú)窮多條譜線(xiàn)，從而周期矩形脈沖信號(hào)可分解為無(wú)限個(gè)三角脈沖信號(hào)的線(xiàn)性組合。 在上述例子中，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用三角形式的傅里葉變換，我們將難以求得的周期矩形脈沖信號(hào)分解成了若干個(gè)余弦電信號(hào)的線(xiàn)性疊加。眾所周知，我們?nèi)粘Ｓ玫降碾娀径际钦嘞医涣麟姡虼?，利用傅里葉展開(kāi)，我們便能通過(guò)對(duì)交流電的線(xiàn)性組合來(lái)合成周期矩形電波，當(dāng)然隨n值的增加，合成波的近似度也會(huì)隨之提高。理論上，當(dāng)n→∞時(shí)，誤差充分小，周期矩形波便可由這無(wú)限個(gè)容易獲得的正弦波合成。 （2） 周期鋸齒波信號(hào) 示波器是實(shí)驗(yàn)室中的常用儀器，其工作原理想必大家都不陌生：X軸方向具有掃描電壓，作用是將待測(cè)電信號(hào)“拉開(kāi)”以便清晰分析其特征。如圖，掃描電壓即為一種鋸齒波電壓（當(dāng)從左到右掃描時(shí)，掃至最右須立即返回左側(cè)，減少遞程成像使整個(gè)圖像連續(xù)不斷）。掃描電壓雖然也是周期電壓卻不能直接由直流電得到，我們?nèi)孕杞柚道锶~展開(kāi)來(lái)合成，類(lèi)似可推導(dǎo)出：ft=E/π×n=1∞（-1）n+1sin（nwt）。由傅里葉展開(kāi)可知，周期鋸齒波狀脈沖電壓的信號(hào)頻譜只有正弦分量，諧波幅度以1/n規(guī)律收斂。這些特征為電信號(hào)設(shè)計(jì)及分析提供了的幫助與指導(dǎo)。 （3） 周期半波余弦信號(hào)（半波整流信號(hào)） 同理，可得出半波整流信號(hào)的傅里葉展開(kāi)：ft=Eπ+E2sinωt-n=1∞Eπ(1+-1n)（n2-1）cos（nwt），其圖像如圖。 （4） 周期全波信號(hào) 同理，周期全波信號(hào)的傅里葉展開(kāi)為：ft=2Eπ-n=1∞4Eπ14n2-1cos（2nwt），其圖像如圖。 以上4種電信號(hào)為物理研究中常用的周期脈沖電信號(hào)，此外還有很多脈沖信號(hào)也是利用傅里葉展開(kāi)進(jìn)而進(jìn)行合成。可見(jiàn)，傅里葉級(jí)數(shù)在物理中有著廣泛應(yīng)用，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展尤其是通訊電信號(hào)的傳遞發(fā)面發(fā)揮了卓越的作用。 第二部分 波形的傅里葉分析與應(yīng)用 一、 在物理中，因?yàn)椴ǖ寞B加我們可以把復(fù)雜的波拆分成簡(jiǎn)單的波。傅里葉的研究告訴我們，簡(jiǎn)諧波使我們能用來(lái)構(gòu)成一般波形的最簡(jiǎn)單波。任何周期波都可以表示為簡(jiǎn)諧波的疊加。像脈沖波這樣的非周期波可以用傅里葉積分表示。所以任何周期運(yùn)動(dòng)都可以表示為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加。 應(yīng)用舉例：1.傅里葉變換紅外光譜儀,簡(jiǎn)稱(chēng)為傅里葉紅外光譜儀。它不同于色散型紅外分光的原理，是基于對(duì)干涉后的紅外光進(jìn)行傅里葉變換的原理而開(kāi)發(fā)的紅外光譜儀。光源發(fā)出的光被分束器（類(lèi)似半透半反鏡）分為兩束，一束經(jīng)透射到達(dá)動(dòng)鏡，另一束經(jīng)反射到達(dá)定鏡。兩束光分別經(jīng)定鏡和動(dòng)鏡反射再回到分束器，動(dòng)鏡以一恒定速度作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因而經(jīng)分束器分束后的兩束光形成光程差，產(chǎn)生干涉。干涉光在分束器會(huì)合后通過(guò)樣品池，通過(guò)樣品后含有樣品信息的干涉光到達(dá)檢測(cè)器，然后通過(guò)傅里葉變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，最終得到透過(guò)率或吸光度隨波數(shù)或波長(zhǎng)的紅外吸收光譜圖。 傅里葉變換紅外光譜儀采用的傅里葉變換對(duì)光的信號(hào)進(jìn)行處理，避免了電機(jī)驅(qū)動(dòng)光柵分光時(shí)帶來(lái)的誤差，所以重現(xiàn)性比較好。 2.音樂(lè)分析 1　樂(lè)理知識(shí)介紹 樂(lè)音的基本特征可以用基波頻率、諧波頻譜和包絡(luò)波形3個(gè)方面來(lái)描述。 1. 1　基波頻率 每個(gè)指定音調(diào)的唱名都對(duì)應(yīng)固定的基波信號(hào)頻率。所謂唱名是指平日讀樂(lè)譜唱出的1(do)、2(re)、3(mi) ……, 每個(gè)唱名并未固定基波頻率。當(dāng)指定樂(lè)曲的音調(diào)時(shí)才知道此時(shí)唱名對(duì)應(yīng)的頻率值。如C調(diào)“1”的基波頻率為261. 63Hz, F調(diào)“1”的基波頻率為349. 23Hz, F調(diào)“5”的基波頻率為523. 25Hz。 1. 2　諧波頻譜 在音樂(lè)領(lǐng)域中稱(chēng)諧波為“泛音”,由諧波產(chǎn)生的作用稱(chēng)為音色變化。當(dāng)指定音調(diào)之后,僅指定了樂(lè)音信號(hào)的基波頻率,諧波情況并未說(shuō)明。各種樂(lè)器,如鋼琴或單簧管,都可以發(fā)出某一音調(diào)下的唱名,而人的聽(tīng)覺(jué)會(huì)明顯感覺(jué)兩者不同,這是由于諧波成分有所區(qū)別,頻譜結(jié)構(gòu)各異。 1. 3　包絡(luò)波形 不同類(lèi)型的樂(lè)器,包絡(luò)形狀也不相同。在音樂(lè)合成實(shí)驗(yàn)中,為簡(jiǎn)化編程描述,通常把復(fù)雜的包絡(luò)函數(shù)用少量直線(xiàn)近似。于是,樂(lè)音波形的包絡(luò)呈拆線(xiàn)。有時(shí)為了保證在樂(lè)音的鄰接處信號(hào)幅度為零,也可以用指數(shù)衰減的包絡(luò)來(lái)表示,這也是最簡(jiǎn)單的辦法。 2　基于MATLAB的音樂(lè)分析與合成實(shí)驗(yàn) 2. 1　實(shí)驗(yàn)要求 該實(shí)驗(yàn)采用MATLAB軟件仿真來(lái)實(shí)現(xiàn)。首先,通過(guò)編程對(duì)一段真實(shí)的音樂(lè)進(jìn)行分析、處理,求得這段音樂(lè)的基頻、諧波分量、頻帶寬度等數(shù)據(jù);然后,通過(guò)對(duì)樂(lè)理的研究,根據(jù)分析中求得的數(shù)據(jù)編寫(xiě)程序,進(jìn)行基于傅里葉分析的音樂(lè)合成設(shè)計(jì)。 2. 2　實(shí)驗(yàn)原理 傅里葉變換建立了信號(hào)頻譜的概念。所謂傅里葉分析即分析信號(hào)的頻譜(頻率構(gòu)成)、頻帶寬度等。要想合成出一段音樂(lè),就要了解該段音樂(lè)的基波頻率、諧波構(gòu)成等。因此,必須采用傅里葉變換這一工具。對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)f (t),其傅里葉變換為F(ω):F(ω) =∫∞ - ∞f(t) e- j ωtdt。 由于其變換兩邊的函數(shù)f (t)和F(ω)都是連續(xù)函數(shù),不適合于計(jì)算機(jī)處理。MATLAB語(yǔ)言提供了符號(hào)函數(shù)fourier來(lái)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換,但該函數(shù)需要信號(hào)的解析表達(dá)式。而工程應(yīng)用中經(jīng)常需要對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉分析,這種情況下往往無(wú)法得到信號(hào)的解析表達(dá)式,必須采用傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算方法。如果f(t)的主要取值區(qū)間為[t1, t2],定義T=t2- t1 為區(qū)間長(zhǎng)度。在該區(qū)間內(nèi)抽樣N個(gè)點(diǎn),抽樣間隔為△t =TN,則有F(ω) =∑N- 1n=0 f (t1+n△t) e- j ω( t1+n△t) △t =△t· ∑N- 1 n=0 f(t1+n△t) e- j ω( t1+n△t)。 可以計(jì)算出任意頻點(diǎn)的傅里葉變換值,假設(shè) F(ω)的主要取值區(qū)間位于[ω1,ω2],要計(jì)算其間均勻抽樣的k個(gè)值,則有 F(ω1+k△ω) =△t ·∑N- 1n=0 f ( t1+n△t)e- j(ω1+k△ω) ·( t1+n△t),式中, △ω=ω2-ω1k為頻域抽樣間隔。 2. 3　音樂(lè)分析與合成的MATLAB實(shí)現(xiàn) 2. 3. 1　相關(guān)的MATLAB函數(shù)及其功能 相關(guān)的幾個(gè)聲音信號(hào)分析與處理的MATLAB函數(shù)及其功能,見(jiàn)表1 相關(guān)的MATLAB函數(shù)及其功能函數(shù)功能wavread 讀. wav文件sound 將向量轉(zhuǎn)換成聲音kron 矩陣的張量積(叉乘)resample 改變信號(hào)的采樣率interp 上采樣(提高采樣率)decimate 下打樣(降低采樣率) 2. 3. 2　實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的難點(diǎn)處理 (1)音樂(lè)的時(shí)間分割。在對(duì)音樂(lè)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí),要充分考慮采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是否為MATLAB軟件所能承受。如對(duì)音樂(lè)信號(hào)以8000Hz進(jìn)行采樣,那么在1s的時(shí)間范圍內(nèi),采樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)就有8000個(gè),再對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算,其運(yùn)行時(shí)間很長(zhǎng),出現(xiàn)類(lèi)似死機(jī)的現(xiàn)象。因此,如果音樂(lè)文件時(shí)間達(dá)數(shù)秒鐘,則應(yīng)將該文件進(jìn)行時(shí)間分割,分成幾個(gè)小段進(jìn)行分析,每小段的時(shí)間越少,分析速度越快。建議每小段的時(shí)間盡量不超過(guò)0. 5s。在對(duì)每小段音樂(lè)進(jìn)行分析時(shí),只需分析每段音樂(lè)的最高幅度處,其他處可看成是其幅度的衰減,頻率成分不變,這樣可以減少對(duì)音樂(lè)的分析時(shí)間,以免做無(wú)謂的分析。為防止漏掉基波頻率,最好參考該音樂(lè)的時(shí)域波形,捕捉到每個(gè)音的起始時(shí)間和持續(xù)時(shí)間。 (2)音樂(lè)的節(jié)拍。每個(gè)音的起始時(shí)間和持續(xù)時(shí)間在合成音樂(lè)的時(shí)候也是到至關(guān)重要的。因?yàn)槊總€(gè)音調(diào)都有持續(xù)時(shí)間,該持續(xù)時(shí)間就是通常意義上的“拍子”,一拍大約是0. 5s。只有了解了每個(gè)音的起始時(shí)間和持續(xù)時(shí)間,在音樂(lè)合成時(shí)才能正確地掌握各基波頻率出現(xiàn)的前后順序及其節(jié)拍,以減少失真。 (3)音樂(lè)的波形包絡(luò)。樂(lè)音波形包絡(luò)是描述樂(lè)音特性的一個(gè)重要因素。通過(guò)音樂(lè)的時(shí)域波形可以判斷該樂(lè)音是否在下一個(gè)樂(lè)音開(kāi)始時(shí)衰減為零,以減小音樂(lè)合成的誤差。包絡(luò)既可用折線(xiàn)形也可采用指數(shù)衰減的方法,關(guān)鍵的問(wèn)題是如何選擇衰減系數(shù)。采用折線(xiàn)方法麻煩一些,但折線(xiàn)的斜率可以根據(jù)時(shí)域波形來(lái)判斷;若采用指數(shù)衰減方法,如能確定衰減系數(shù),就非常簡(jiǎn)單。本設(shè)計(jì)采用指數(shù)衰減方法,衰減系數(shù)可根據(jù)電容充放電理論,即工程上認(rèn)為,當(dāng)t≥3τ以后,可認(rèn)為電路已趨穩(wěn)定,其中,τ為RC電路的時(shí)間常數(shù),τ=RC。設(shè)某段音樂(lè)的持續(xù)時(shí)間為T(mén),且幅度在T時(shí)間內(nèi)衰減為零,當(dāng)包絡(luò)采用指數(shù)e^at時(shí),則衰減因子a=3/T。 (4)參與音樂(lè)合成的頻率分量?？紤]到計(jì)算 容量和計(jì)算速度,并不使用所有的頻率分量進(jìn)行音樂(lè)的合成,而只是選用那些真實(shí)音樂(lè)頻譜中超過(guò)0. 35倍最大幅度的頻率分量,否則數(shù)據(jù)量太大,會(huì)超出計(jì)算機(jī)所能承受的范圍,從而導(dǎo)致程序運(yùn)行錯(cuò)誤。 2. 3. 3　程序?qū)崿F(xiàn)框圖及誤差分析 用MATALB語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)音樂(lè)的分析與合成實(shí)驗(yàn)程序框圖如圖1以一段3s的吉它曲為例,運(yùn)行該程序,得到該吉它曲的真實(shí)音樂(lè)與合成音樂(lè)的時(shí)域波形如圖2。從圖2中可以看出,合成音樂(lè)與真實(shí)音樂(lè)存在著一定的誤差。一是合成時(shí)只選用了真實(shí)音樂(lè)頻譜中那些超過(guò)0. 35倍最大幅度的頻率分量,舍棄了某些頻率成分;二是為了簡(jiǎn)化程序的編制,對(duì)音樂(lè)的波形形狀選用指數(shù)衰減包絡(luò)進(jìn)行合成,并不完全符合真實(shí)音樂(lè)的波形形狀。 （圖一：試驗(yàn)程序） （圖三：音樂(lè)頻譜分析——真實(shí)音樂(lè)頻譜） （圖四：通過(guò)傅里葉變換合成的頻譜，模擬原音樂(lè)頻譜）