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等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 知識(shí)點(diǎn)撥 一、等差數(shù)列的定義 ⑴ 先介紹一下一些定義和表示方法 定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大(或小)一個(gè)常數(shù)(固定不變的數(shù))，這樣的數(shù)列我們稱它為等差數(shù)列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3 ，遞增數(shù)列 100、95、90、85、80、 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小5 ，遞減數(shù)列 ⑵ 首項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用表示 末項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用表示，它也可表示數(shù)列的第項(xiàng)。 項(xiàng)數(shù)：一個(gè)數(shù)列全部項(xiàng)的個(gè)數(shù)，通常用來表示； 公差：等差數(shù)列每兩項(xiàng)之間固定不變的差，通常用來表示； 和 ：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，常用來表示 ． 二、等差數(shù)列的相關(guān)公式 (1)三個(gè)重要的公式 ① 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差， 遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差， 回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白 末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上(末項(xiàng)與首項(xiàng)的)間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手．同時(shí)還可延伸出來這樣一個(gè)有用的公式：， ② 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差+1 由通項(xiàng)公式可以得到： (若)； (若)． 找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的． 譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、、40、43、46 ， 分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共組，原數(shù)列有15組． 當(dāng)然還可以有其他的配組方法． ③ 求和公式：和=(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)÷2 對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手： (思路1) 　 (思路2)這道題目，還可以這樣理解： 即，和 (2) 中項(xiàng)定理：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)． 譬如：① ， 題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于； ② ， 題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33，而和恰等于． 例題精講 模塊一、等差數(shù)列基本概念及公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí) 【例 1】 下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由。 ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 【例 2】 小朋友們，你知道每一行數(shù)列各有多少個(gè)數(shù)字嗎？ （1）3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3）1、3、5、7、……、87、89、91 （4）4、7、10、13、……、40、43、46 【例 3】 把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個(gè)是多少？ 【鞏固】 2，5，8，11，14……是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第21項(xiàng)是多少？ 【例 4】 已知一個(gè)等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？ 【鞏固】 一個(gè)數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)多7，并且末項(xiàng)為125，求首項(xiàng)是多少？ 【鞏固】 在下面?zhèn)€方框中各填入一個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中、已經(jīng)填好，這個(gè)數(shù)的和為 。 　　　 【例 5】 從1開始的奇數(shù)：1，3，5，7，……其中第100個(gè)奇數(shù)是_____。 【例 6】 觀察右面的五個(gè)數(shù)：19、37、55、a 、91排列的規(guī)律，推知a =________ 。 等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用 【例 7】 2、4、6、8、10、12、是個(gè)連續(xù)偶數(shù)列，如果其中五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè)． 【鞏固】 1、3、5、7、9、11、是個(gè)奇數(shù)列，如果其中8個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是256，那么這8個(gè)奇數(shù)中最大的數(shù)是多少？ 【鞏固】 1、4、7、10、13、…這個(gè)數(shù)列中，有6個(gè)連續(xù)數(shù)字的和是159，那么這6個(gè)數(shù)中最小的是幾？ 【例 8】 在等差數(shù)列6，13，20，27，…中，從左向右數(shù)，第 _______個(gè)數(shù)是1994． 【鞏固】 5、8、11、14、17、20、，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第201項(xiàng)是多少？65是其中的第幾項(xiàng)？ 【鞏固】 對(duì)于數(shù)列4、7、10、13、16、19……，第10項(xiàng)是多少？49是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？第100項(xiàng)與第50項(xiàng)的差是多少？ 【鞏固】 已知數(shù)列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43項(xiàng)是多少？ 【鞏固】 聰明的小朋友們，一下吧． ⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第102項(xiàng)是多少？ ⑵0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43項(xiàng)是多少？ ⑶已知等差數(shù)列2、5、8、11、14 …… ，問47是其中第幾項(xiàng)？ ⑷已知等差數(shù)列9、13、17、21、25、 …… ，問93是其中第幾項(xiàng)？ 【例 9】 ⑴如果一個(gè)等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第6項(xiàng)為33，求它的第8項(xiàng). ⑵如果一個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)為16，第11項(xiàng)為72，求它的第6項(xiàng). 【鞏固】 已知一個(gè)等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71.請(qǐng)問這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？ 【鞏固】 如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第10項(xiàng)為57，求它的第16項(xiàng)． 等差數(shù)列的求和 【例 10】 一個(gè)等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14，這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的和是多少？ 【鞏固】 有20個(gè)數(shù)，第1個(gè)數(shù)是9，以后每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3．這20個(gè)數(shù)相加，和是多少？ 【鞏固】 求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和． 【例 11】 15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？ 【鞏固】 把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？ 【例 12】 小馬虎計(jì)算1到2006這2006個(gè)連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這2006個(gè)數(shù)的和時(shí)，他少算了其中的一個(gè)數(shù)，但他仍按2006個(gè)數(shù)計(jì)算平均數(shù)，結(jié)果求出的數(shù)比應(yīng)求得的數(shù)小1。小馬虎求和時(shí)漏掉的數(shù)是 。 等差數(shù)列找規(guī)律 找規(guī)律計(jì)算 【例 13】 1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿； 2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿； …… 只青蛙 張嘴，32只眼睛 條腿。 【例 14】 如圖2，用火柴棍擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)N=5時(shí)，按這種方式擺下去，當(dāng)N=5時(shí)，共需要火柴棍?????????? 根。 【例 15】 觀察下面的序號(hào)和等式，填括號(hào)． 序號(hào) 等式 1 3 5 7 　 　 【鞏固】 有許多等式: ； ； ； 那么第10個(gè)等式的和是_______ 【鞏固】 觀察下列算式： 2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 …… 然后計(jì)算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。 【例 16】 將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形中有6個(gè)小圈，第2個(gè)圖形中有10個(gè)小圈，第3個(gè)圖形中有16個(gè)小圈，第4個(gè)圖形中有24個(gè)小圈，…，依此規(guī)律，第6個(gè)圖形有___________個(gè)小圈。 【例 17】 觀察下列四個(gè)算式：=20，=10，=，=。從中找出規(guī)律，寫出第五個(gè)算式： 。 規(guī)律計(jì)數(shù) 【例 18】 從1到50這50個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，去兩數(shù)相加，使其和大于50．有多少種不同的取法？ 【鞏固】 從1到100的100個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的自然數(shù)相加，使它們的和超過100．有幾種不同的取法？ 【例 19】 有多少組正整數(shù)、、滿足． 數(shù)陣中的等差數(shù)列 【例 20】 如下圖所示的表中有55個(gè)數(shù)，那么它們的和等于多少？ 【鞏固】 下列數(shù)陣中有100個(gè)數(shù)，它們的和是多少？ 【鞏固】 下面方陣中所有數(shù)的和是多少？ 【例 21】 把自然數(shù)從1開始，排列成如下的三角陣：第1列為1；第2列為2，3，4；第3列為5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排兩個(gè)數(shù)，依次排下去，“以1開頭的行”是這個(gè)三角陣的對(duì)稱軸，如圖．則在以開頭的行中，第2008個(gè)數(shù)是多少． 【鞏固】 將自然數(shù)按下圖的方式排列，求第10行的第一個(gè)數(shù)字是幾？ 【鞏固】 自然數(shù)按一定規(guī)律排成下表，問第60行第5個(gè)數(shù)是幾？ 【例 22】 把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出： 197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … … 【鞏固】 將自然數(shù)按下面的形式排列 問：第10行最左邊的數(shù)是幾？第10行所有數(shù)的和是多少？ 【例 1】 將正整數(shù)從開始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)“數(shù)陣”，其中在第個(gè)拐角處，在第個(gè)拐角處，在第個(gè)拐角處，在第個(gè)拐角處，……．那么在第個(gè)拐角處的數(shù)是 ． 【鞏固】 一列自然數(shù)：，，，，……，，第一個(gè)數(shù)是，從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)都比它前一個(gè)大，最后一個(gè)是．現(xiàn)在將這列自然數(shù)排成以下數(shù)表規(guī)定橫排為行，豎排為列，則在數(shù)表中位于第________行第________列。 【例 2】 下表一共有六行七列，第一行與第一列上的數(shù)都已填好，其他位置上的每個(gè)數(shù)都是它所在行的第一列上的數(shù)與所在列的第一行上的數(shù)的積，如格應(yīng)填的數(shù)是，求表中除第一行和第一列外其它各個(gè)格上的數(shù)之和？ 【例 3】 如圖的數(shù)陣是由個(gè)偶數(shù)排成的，其中，，，，，這六個(gè)數(shù)由一個(gè)平行四邊形圍住，它們的和是．把這個(gè)平行四邊形沿上下、左右平移后，又圍住了右邊數(shù)陣中的另外六個(gè)數(shù)，如果這六個(gè)數(shù)的和是．那么它們中間位于平行四邊形左上角的那個(gè)數(shù)是 ？ 【例 4】 若干個(gè)硬幣排成左下圖，每個(gè)硬幣所在行的硬幣數(shù)與所在列的硬幣數(shù)相減得出一個(gè)差（大數(shù)減小數(shù)），如對(duì)于a，差為7-5=2，所有差的總和為 。 page 9 of 10