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第7章 彎曲應(yīng)力 7.1 引言 前一章討論了梁在彎曲時的內(nèi)力——剪力和彎矩。但是，要解決梁的彎曲強度問題，只了解梁的內(nèi)力是不夠的，還必須研究梁的彎曲應(yīng)力，應(yīng)該知道梁在彎曲時，橫截面上有什么應(yīng)力，如何計算各點的應(yīng)力。 在一般情況下，橫截面上有兩種內(nèi)力——剪力和彎矩。由于剪力是橫截面上切向內(nèi)力系的合力，所以它必然與切應(yīng)力有關(guān)；而彎矩是橫截面上法向內(nèi)力系的合力偶矩，所以它必然與正應(yīng)力有關(guān)。由此可見，梁橫截面上有剪力時，就必然有切應(yīng)力；有彎矩M時，就必然有正應(yīng)力。為了解決梁的強度問題，本章將分別研究正應(yīng)力與切應(yīng)力的計算。 7.2 彎曲正應(yīng)力 7.2.1 純彎曲梁的正應(yīng)力 由前節(jié)知道，正應(yīng)力只與橫截面上的彎矩有關(guān)，而與剪力無關(guān)。因此，以橫截面上只有彎矩，而無剪力作用的彎曲情況來討論彎曲正應(yīng)力問題。 在梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲，稱為純彎曲。如果在梁的各橫截面上，同時存在著剪力和彎矩兩種內(nèi)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。例如在圖7-1所示的簡支梁中，BC段為純彎曲，AB段和CD段為橫力彎曲。 分析純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的方法、步驟與分析圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力一樣，需要綜合考慮問題的變形方面、物理方面和靜力學(xué)方面。 圖7-1 變形方面 為了研究與橫截面上正應(yīng)力相應(yīng)的縱向線應(yīng)變，首先觀察梁在純彎曲時的變形現(xiàn)象。為此，取一根具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，例如圖7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的側(cè)面上畫出垂直于軸線的橫向線m-m、n-n和平行于軸線的縱向線d-d、b-b。然后在梁的兩端加一對大小相等、方向相反的力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲。此時可以觀察到如下的變形現(xiàn)象。 縱向線彎曲后變成了弧線、, 靠頂面的aa線縮短了，靠底面的bb線伸長了。橫向線m-m、n-n在梁變形后仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過了一定的角度，且仍與彎曲了的縱向線保持正交，如圖7-2(b)所示。 梁內(nèi)部的變形情況無法直接觀察，但根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)象對梁內(nèi)部的變形進行如下假設(shè)： (1) 平面假設(shè) 梁所有的橫截面變形后仍為平面．且仍垂直于變形后的梁的軸線。 (2) 單向受力假設(shè) 認為梁由許許多多根縱向纖維組成，各纖維之間沒有相互擠壓，每根纖維均處于拉伸或壓縮的單向受力狀態(tài)。 根據(jù)平面假設(shè)，前面由實驗觀察到的變形現(xiàn)象已經(jīng)可以推廣到梁的內(nèi)部。即梁在純彎曲變形時，橫截面保持平面并作相對轉(zhuǎn)動，靠近上面部分的縱向纖維縮短，靠近下面部分的縱向纖維伸長。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層(圖7-3)。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)因此梁的變形也應(yīng)該對稱于此平面，在橫截面上就是對稱于對稱軸。所以中性軸必然垂直于對稱軸，但具體在哪個位置上，目前還不能確定。 考察純彎曲梁某一微段dx的變形(圖7-4)。設(shè)彎曲變形以后，微段左右兩橫截面的相對轉(zhuǎn)角為dq，則距中性層為y處的任一層縱向纖維bb變形后的弧長為 式中，為中性層的曲率半徑。該層纖維變形前的長度與中性層處縱向纖維OO長度相等，又因為變形前、后中性層內(nèi)纖維OO的長度不變，故有 由此得距中性層為y處的任一層縱向纖維的線應(yīng)變 (a) 上式表明，線應(yīng)變 隨y按線性規(guī)律變化。 物理方面 根據(jù)單向受力假設(shè)，且材料在拉伸及壓縮時的彈性模量E相等，則由虎 克定律，得 (b) 式(b)表明，純彎曲時的正應(yīng)力按線性規(guī)律變化，橫截面上中性軸處，y=0，因而s=0，中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉應(yīng)力，另一側(cè)受壓應(yīng)力，與中性軸距離相等各點的正應(yīng)力數(shù)值相等（圖7-5）。 靜力學(xué)方面 雖然已經(jīng)求得了由式(b)表示的正應(yīng)力分布規(guī)律，但因曲率半徑r和中性軸的位置尚未確定，所以不能用式(b)計算正應(yīng)力，還必須由靜力學(xué)關(guān)系來解決。 在圖7-5中，取中性軸為z軸，過z、y軸的交點并沿橫截面外法線方向的軸為x軸，作用于微面積上的法向微內(nèi)力為。在整個橫截面上，各微面積上的微內(nèi)力構(gòu)成一個空間平行力系。由靜力學(xué)關(guān)系可知，應(yīng)滿足，，三個平衡方程。 由于所討論的梁橫截面上設(shè)有軸力，，故由，得 (c) 將式(b)代人式(c)，得 式中，E/r 恒不為零，故必有靜矩，由第5章知道，只有當z軸通過截面形心時，靜矩Sz才等于零。由此可得結(jié)論：中性軸z通過橫截面的形心。這樣就完全確定了中性軸在橫截面上的位置。 由于所討論的梁橫截面上沒有內(nèi)力偶My，因此由,得 (d) 將式(b)代人式(d)，得 上式中，由于y軸為對稱軸，故，平衡方程自然滿足。 純彎曲時各橫截面上的彎矩M均相等。因此，由，得 (e) 將式(b)代人式(e)，得 (f) 由式(f)得 （7-1） 式中，為中性層的曲率，EIz為抗彎剛度，彎矩相同時，梁的抗彎剛度愈大，梁的曲率越小。最后，將式(7-1)代入式(b)，導(dǎo)出橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式為 （7-2） 式中，M為橫截面上的彎矩，Iz為橫截面對中性軸的慣性矩，y為橫截面上待求應(yīng)力的y坐標。應(yīng)用此公式時，也可將M、y均代入絕對值，是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可根據(jù)梁的變形情況直接判斷。以中性軸為界，梁的凸出一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入一側(cè)為壓應(yīng)力。 以上分析中，雖然把梁的橫截面畫成矩形，但在導(dǎo)出公式的過程中，并沒有使用矩形的幾何性質(zhì)。所以，只要梁橫截面有一個對稱軸，而且載荷作用于對稱軸所在的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，式(7-1)和式(7-2)就適用。 由式(7-2)可見，橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠的點上。用ymax表示最遠點至中性軸的距離，則最大彎曲正應(yīng)力為 上式可改寫為 （7-3） 其中 （7-4） 為抗彎截面系數(shù)，是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，量綱為[長度]3。高度為h、寬度為b的矩形截面梁，其抗彎截面系數(shù)為 直徑為D的圓形截面梁的抗彎截面系數(shù)為 工程中常用的各種型鋼，其抗彎截面系數(shù)可從附錄的型鋼表中查得。當橫截面對中性軸不對稱時．其最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力將不相等。用式(7-3)計算最大拉應(yīng)力時，可在式(7-4)中取ymax 等于最大拉應(yīng)力點至中性軸的距離；計算最大壓應(yīng)力時，在式(7-4)中應(yīng)取ymax等于最大壓應(yīng)力點至中性軸的距離。 例7-1 受純彎曲的空心圓截面梁如圖7-6(a)所示。已知：彎矩M= l kN.m，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=25mm。試求橫截面上a、b、c及d四點的應(yīng)力,并繪過a、b兩點的直徑線及過c、d兩點弦線上各點的應(yīng)力分布圖。 解： （1） 求 Iz （2） 求s a 點 b 點 c 點 d 點 給定的彎矩為正值，梁凹向上，故a及c點是壓應(yīng)力，而b點是拉應(yīng)力。過a、b的直 徑線及過c、d的弦線上的應(yīng)力分布圖如圖7-6(b)、(c)所示。 7.2.2 橫力彎曲梁的正應(yīng)力 公式（7-2）是純彎曲情況下以7-2-1提出的兩個假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。工程上最常見的彎曲問題是橫力彎曲。在此情況下，梁的橫截面上不僅有彎矩，而且有剪力。由于剪力的影響，彎曲變形后，梁的橫截面將不再保持為平面，即發(fā)生所謂的“翹曲”現(xiàn)象，如圖7-7（a）。但當剪力為常量時，各橫截面的翹曲情況完全相同，因而縱向纖維的伸長和縮短與純彎曲時沒有差異。圖7-7（b）表示從變形后的橫力彎曲梁上截取的微段，由圖可見，截面翹曲后，任一層縱向纖維的弧長A’B’，與橫截面保持平面時該層纖維的弧長完全相等，即A’B’=AB。所以，對于剪力為常量的橫力彎曲，純彎曲正應(yīng)力公式(7-2)仍然適用。當梁上作用有分布載荷，橫截面上的剪力連續(xù)變化時，各橫截面的翹曲情況有所不同。此外，由于分布載荷的作用，使得平行于中性層的各層纖維之間存在擠壓應(yīng)力。但理論分析結(jié)果表明，對于橫力彎曲梁，當跨度與高度之比l／h大于5時，純彎曲正應(yīng)力計算公式(7-2)仍然是適用的，其結(jié)果能夠滿足工程精度要求。 例7-2 槽形截面梁如圖7-8(a)所示，試求梁橫截面上的最大拉應(yīng)力。 解 繪M圖，得B、C兩截面的彎矩，,如圖7-8(b)所示。 求截面的形心及對形心軸的慣性矩，取參考坐標z1Oy，如圖7-8(c)所示，得截面形心C的縱坐標 因y為對稱軸，故 過形心C取z軸，截面對z軸的慣性矩為 B截面的最大拉應(yīng)力為 C截面的最大拉應(yīng)力為 可見，梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下部邊緣線上。 7.3彎曲切應(yīng)力 橫力彎曲時，梁橫截面上的內(nèi)力除彎矩外還有剪力，因而在橫截面上除正應(yīng)力外還有切 應(yīng)力。本節(jié)按梁截面的形狀，分幾種情況討論彎曲切應(yīng)力。 7.3.1 矩形截面梁的切應(yīng)力 在圖7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力FQ皆與截面的對稱軸y重合， 見圖7-9(b)?，F(xiàn)分析橫截面內(nèi)距中性軸為y處的某一橫線，ss’上的切應(yīng)力分布情況。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在截面兩側(cè)邊緣的s和s’處，切應(yīng)力的方向一定與截面的側(cè)邊相切，即與剪力FQ的方向一致。而由對稱關(guān)系知，橫線中點處切應(yīng)力的方向，也必然與剪力FQ的方向相同。因此可認為橫線ss’上各點處切應(yīng)力都平行于剪力FQ。由以上分析，我們對切應(yīng)力的分布規(guī)律做以下兩點假設(shè)： 1．橫截面上各點切應(yīng)力的方向均與剪力FQ的方向平行。 2．切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。 現(xiàn)以橫截面m-m和n-n從圖7-9(a)所示梁中取出長為dx的微段，見圖7-10(a)。設(shè)作用于微段左、右兩側(cè)橫截面上的剪力為FQ，彎矩分別為M和M+dM，再用距中性層為y的rs截面取出一部分mnsr，見圖7-10 (b)。該部分的左右兩個側(cè)面mr和ns上分別作用有由彎矩M和M+dM引起的正應(yīng)力及。除此之外，兩個側(cè)面上還作用有切應(yīng)力。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，截出部分頂面rs上也作用有切應(yīng)力，其值與距中性層為y處橫截面上的切應(yīng)力數(shù)值相等，見圖7-10(b)、(c)。設(shè)截出部分mnsr的兩個側(cè)面mr和ns上的法向微內(nèi)力dA和dA合成的在x軸方向的法向內(nèi)力分別為FN1及FN2，則FN2可表示為 （a） 同理 （b） 式中，A1為截出部分mnsr側(cè)面ns或mr的面積，以下簡稱為部分面積為A1對中性軸的靜矩。 考慮截出部分mnsr的平衡，見圖7-10(c)．由，得 （c） 將式(a)及式(b)代入式(c)，化簡后得 注意到上式中，并注意到與數(shù)值相等，于是矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力計算公式為 （7-5） 式中，F(xiàn)Q為橫截面上的剪力，b為截面寬度，為橫截面對中性軸的慣性矩，為橫截面上部分面積對中性軸的靜矩。 對于給定的高為h寬為b的矩形截面(圖7-11)，計算出部分面積對中性軸的靜矩如下 將上式代入（7-5），得 （7-6） 由(7-6)可見，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當y=±h／2時，t=0，即截面的上、下邊緣線上各點的切應(yīng)力為零。當y=0時，切應(yīng)力t有極大值，這表明最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為 將代人上式，得 (7-7) 可見，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力FQ/bh的1.5倍。 根據(jù)剪切虎克定律，由式(7-6)可知切應(yīng)變 (7-8) 式(7-8)表明，橫截面上的切應(yīng)變沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。沿截面高度各點具有按非線性規(guī)律變化的切應(yīng)變，這就說明橫截面將發(fā)生扭曲。由式(7-8)可見，當剪力FQ為常量時，橫力彎曲梁各橫截面上對應(yīng)點的切應(yīng)變相等，因而各橫截面扭曲情況相同。這一情況已在5-7-2中做了說明。 例7-3 矩形截面梁的橫截面尺寸如圖7-12(b)所示。集中力F=88kN，試求1-1截面上的最大切應(yīng)力以及a、b兩點的切應(yīng)力。 解 支反力FA、FB分別為FA=40kN，F(xiàn)B=48kN 1-1截面上的剪力 FQ1=FA=40kN 截面對中性軸的慣性矩 截面上的最大切應(yīng)力 a點的切應(yīng)力 b點的切應(yīng)力 7.3.2 工字形截面梁的切應(yīng)力 工字形截面由上、下翼緣及腹板構(gòu)成，見圖7-13(a)，現(xiàn)分別研究腹板及翼緣上的切應(yīng)力。 1．工字形截面腹板部分的切應(yīng)力 腹板是狹長矩形，因此關(guān)于矩形截面梁切應(yīng)力分布的兩個假設(shè)完全適用。在工字形截面梁上，用截面m-m和n-n截取dx長的微段，并在腹板上用距中性層為y的rs平面在微段上截取出一部分mnsr，見圖7-13(b)、(c)，考慮mnsr部分的平衡，可得腹板的切應(yīng)力計算公式 (7-9) 式(7-9)與式(7-5)形式完全相同，式中d為腹板厚度。 計算出部分面積Al對中性軸的靜矩 代人式(7-9)整理，得 （7-10） 由式(7-10)可見，工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力 t 按拋物線規(guī)律分布，見圖7-13(c)。以y=0 及y=±h/2分別代人式(7-10)得中性層處的最大切應(yīng)力及腹板與翼緣交界處的最小切應(yīng)力分別為 由于工字形截面的翼緣寬度b遠大于腹板厚度d，即，所以由以上兩式可以看出，與實際上相差不大。因而，可以認為腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。若以圖7-13(c)中應(yīng)力分布圖的面積乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FQ1。計算結(jié)果表明，F(xiàn)Q1約等于(0.95-0.97) FQ?？梢?，橫截面上的剪力FQ絕大部分由腹板承受。因此，工程上通常將橫截面上的剪力FQ除以腹板面積近似得出工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力為 （7-11） 2．工字形截面翼緣部分的切應(yīng)力 現(xiàn)進一步討論翼絳上的切應(yīng)力分布問題。在翼緣上有兩個方向的切應(yīng)力：平行于剪力FQ方向的切應(yīng)力和平行于翼絳邊緣線的切應(yīng)力。平行于剪力FQ的切應(yīng)力數(shù)值極小，無實際意義，通常忽略不計。在計算與翼緣邊緣平行的切應(yīng)力時，可假設(shè)切應(yīng)力沿翼緣厚度大小相等，方向與冀緣邊緣線相平行，根據(jù)在冀緣上截出部分的平衡，由圖7-13(d)可以得出與式(7-9)形式相同的冀緣切應(yīng)力計算公式 （7-12） 式中t為翼緣厚度，圖7-13(c)中繪有冀緣上的切應(yīng)力分布圖。工字形截面梁翼緣上的最大切應(yīng)力一般均小于腹板上的最大切應(yīng)力。 從圖7-13(c)可以看出，當剪力FQ的方向向下時，橫截面上切應(yīng)力的方向，由上邊緣的外側(cè)向里，通過腹板，最后指向下邊緣的外側(cè)，好象水流一樣，故稱為“切應(yīng)力流”。所以在根據(jù)剪力FQ的方向確定了腹扳的切應(yīng)力方向后，就可由“切應(yīng)力流”確定翼緣上切應(yīng)力的方向。對于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面，也可利用“切應(yīng)力流”來確定截面上切應(yīng)力方向。 7.3.3 圓形截面梁的切應(yīng)力 在圓形截面梁的橫截面上，除中性軸處切應(yīng)力與剪力平行外，其他點的切應(yīng)力并不平行于剪力。考慮距中性軸為y處長為b的弦線AB上各點的切應(yīng)力如圖7-14(a)。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，弦線兩個端點處的切應(yīng)力必與圓周相切，且切應(yīng)力作用線交于y軸的某點p。弦線中點處切應(yīng)力作用線由對稱性可知也通過p點。因而可以假設(shè)AB線上各點切應(yīng)力作用線都通過同一點p，并假設(shè)各點沿y方向的切應(yīng)力分量相等，則可沿用前述方法計算圓截面梁的切應(yīng)力分量，求得后，根據(jù)已設(shè)定的總切應(yīng)力方向即可求得總切應(yīng)力。 圓形截面梁切應(yīng)力分量的計算公式與矩形截面梁切應(yīng)力計算公式形式相同。 （7-13） 式中b為弦線長度，；仍表示部分面積A1對中性軸的靜矩，見圖7-14(b)。 圓形截面梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點的切應(yīng)力分量與總切應(yīng)力大小相等、方向相同，其值為 （7-14） 由式(7-14)可見，圓截面的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 4／3倍。 7.3.4 環(huán)形截面梁的切應(yīng)力 圖7-15所示為一環(huán)形截面梁，已知壁厚t遠小于平均半徑R，現(xiàn)討論其橫截面上的切應(yīng)力。環(huán)形截面內(nèi)、外圓周線上各點的切應(yīng)力與圓周線相切。由于壁厚很小，可以認為沿圓環(huán)厚度方向切應(yīng)力均勻分布并與圓周切線相平行。據(jù)此即可用研究矩形截面梁切應(yīng)力的方法分析環(huán)形截面梁的切應(yīng)力。在環(huán)形截面上截取dx長的微段，并用與縱向?qū)ΨQ平面夾角 q 相同的兩個徑向平面在微段中截取出一部分如圖7-15(b)，由于對稱性，兩個rs面上的切應(yīng)力相等?？紤]截出部分的平衡圖7-15(b)，可得環(huán)形截面梁切應(yīng)力的計算公式 (7-15) 式中，t為環(huán)形截面的厚度。 環(huán)形截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處。計算出半圓環(huán)對中性軸的靜矩 及環(huán)形截面對中性軸的慣性矩 將上式代入式(7-15)得環(huán)形截面最大切應(yīng)力 (7-16) 注意上式等號右端分母pRt為環(huán)形橫截面面積的一半，可見環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的兩倍。 7.4 彎曲強度計算 梁在受橫力彎曲時，橫截面上既存在正應(yīng)力又存在切應(yīng)力，下面分別討論這兩種應(yīng)力的強度條件。 7.4.1彎曲正應(yīng)力強度條件 橫截面上最大的正應(yīng)力位于橫截面邊緣線上，一般說來，該處切應(yīng)力為零。有些情況下，該處即使有切應(yīng)力其數(shù)值也較小，可以忽略不計。所以，梁彎曲時，最大正應(yīng)力作用點可視為處于單向應(yīng)力狀態(tài)。因此，梁的彎曲正應(yīng)力強度條件為 （7-17） 對等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上，這時彎曲正應(yīng)力強度條件為 （7-18） 式(7-17)、式(7-18)中，為許用彎曲正應(yīng)力，可近似地用簡單拉伸(壓縮)時的許用應(yīng)力來代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具體數(shù)值可從有關(guān)設(shè)計規(guī)范或手冊中查得。對于抗拉、壓性能不同的材料，例如鑄鐵等脆性材料，則要求最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都不超過各自的許用值。其強度條件為 ， （7-19） 7.4.2 彎曲切應(yīng)力強度條件 一般來說，梁橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，而該處的正應(yīng)力為零。因此最大切應(yīng)力作用點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。這時彎曲切應(yīng)力強度條件為 （7-20） 對等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上。彎曲切應(yīng)力強度條件為 （7-21） 許用切應(yīng)力[t]通常取純剪切時的許用切應(yīng)力。 對于梁來說，要滿足抗彎強度要求，必須同時滿足彎曲正應(yīng)力強度條件和彎曲切應(yīng)力強度條件。也就是說，影響梁的強度的因素有兩個：一為彎曲正應(yīng)力．一為彎曲切應(yīng)力。對于細長的實心截面梁或非薄壁截面的梁來說，橫截面上的正應(yīng)力往往是主要的．切應(yīng)力通常只占次要地位。例如圖7-16所示的受均布載荷作用的矩形截面梁，其最大彎曲正應(yīng)力為 圖7-16 而最大彎曲切應(yīng)力為 二者比值為 即，該梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比等于梁的跨度l與截面高度h的比。當l>>h時，最大彎曲正應(yīng)力將遠大于最大彎曲切應(yīng)力。因此，一般對于細長的實心截面梁或非薄壁截面梁，只要滿足了正應(yīng)力強度條件，無需再進行切應(yīng)力強度計算。但是，對于薄壁截面梁或梁的彎矩較小而剪力卻很大時，在進行正應(yīng)力強度計算的同時，還需檢查切應(yīng)力強度條件是否滿足。 另外，對某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁，在其腹板與翼緣聯(lián)接處，同時存在相當大的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這樣的點也需進行強度校核，將在第10章進行討淪。 圖7-17 例7-4 T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖7-17(a)所示，鑄鐵抗拉許用應(yīng)力為=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為=140MPa。已知截面對形心軸z的慣性矩為763cm4，且52mm，試校核梁的強度。 解 由靜力平衡方程求出梁的支反力為 做彎矩圖如圖7-17(b)所示。最大正彎矩在截面C上，MC=2.5Kn.m，最大負彎矩在截面B上，。T形截面對中性軸不對稱，同一截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并不相等。在截面B上，彎矩是負的，最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點，且 最大壓應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點，且 在截面C上，雖然彎矩MC的絕對值小于MB，但Mc是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面的下邊緣各點，而這些點到中性軸的距離卻比較遠，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力，其值為 所以，最大拉應(yīng)力是在截面C的下邊緣各點處，但從所得結(jié)果看出，無論是最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都未超過許用應(yīng)力，強度條件是滿足的。 由例7-4可見，當截面上的中性軸為非對稱軸，且材料的抗拉、抗壓許用應(yīng)力數(shù)值不等時，最大正彎矩、最大負彎矩所在的兩個截面均可能為危險截面，因而均應(yīng)進行強度校核。 例7-5 簡支梁AB如圖7-18(a)所示。l=2m，a=0.2m。梁上的載荷為q=10kN／m，F(xiàn)=200kN。材料的許用應(yīng)力為160MPa， 100MPa。試選擇適用的工字鋼型號。 解 計算梁的支反力，然后做剪力圖和彎矩圖，如圖7-18(b)、(c)所示。 根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號，45kN·m，由彎曲正莊力強度條件，有 查型鋼表，選用22a工字鋼，其309cm3。校核梁的切應(yīng)力。由表中查出，18.9m，腹板厚度d=0.75cm。由剪力圖210kN。代入切應(yīng)力強度條件 超過很多，應(yīng)重新選擇更大的截面。現(xiàn)以25b工字鋼進行試算。由表查出， 21.27cm，d=lcm。再次進行切應(yīng)力強度校核。 因此，要同時滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件，應(yīng)選用型號為25b的工字鋼。 7.5 提高彎曲強度的一些措施 前面曾經(jīng)指出，彎曲正應(yīng)力是控制抗彎強度的主要因素。因此，討論提高梁抗彎強度的措施，應(yīng)以彎曲正應(yīng)力強度條件為主要依據(jù)。由可以看出，為了提高梁的強度，可以從以下三方面考慮。 7.5.1 合理安排梁的支座和載荷 從正應(yīng)力強度條件可以看出，在抗彎截面模量不變的情況下，Mmax越小，梁的承載能力越高。因此，應(yīng)合理地安排梁的支承及加載方式，以降低最大彎矩值。例如圖7-19(a)所示簡支梁，受均布載荷q作用，梁的最大彎矩為。 圖7-19 如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動0.2l，如圖7-19(b)所示，則最大彎矩變?yōu)?，僅為前者的1／5。 由此可見，在可能的條件下，適當?shù)卣{(diào)整梁的支座位置，可以降低最大彎矩值，提高梁的承載能力。例如，門式起重機的大梁圖7-20(a)，鍋爐筒體圖7-20(b)等，就是采用上述措施，以達到提高強度，節(jié)省材料的目的。 圖7-20 再如，圖7-21(a)所示的簡支梁AB，在集中力F作用下梁的最大彎矩為 如果在梁的中部安置一長為l/2的輔助梁 CD(圖7-21b)，使集中載荷F分散成兩個F/2的集中載荷作用在AB梁上，此時梁AB內(nèi)的最大彎矩為 如果將集中載荷F靠近支座，如圖(7-21c)所示，則梁AB上的最大彎矩為 圖 由上例可見，使集中載荷適當分散和使集載荷盡可能靠近支座均能達到降低最大彎矩的目的。 7.5.2 采用合理的截面形狀 由正應(yīng)力強度條件可知，梁的抗彎能力還取決于抗彎截面系數(shù)WZ。為提高梁的抗彎強度，應(yīng)找到一個合理的截面以達到既提高強度，又節(jié)省材料的目的。比值 圖7-21 可作為衡量截面是否合理的尺度，值越大，截面越趨于合理。例如圖7-22中所示的尺寸及材料完全相同的兩個矩形截面懸臂梁，由于安放位置不同，抗彎能力也不同。豎放時 平放時 當h>b時，豎放時的大于平放時的，因此，矩形截面梁豎放比平放更為合理。在房屋建筑中，矩形截面梁幾乎都是豎放的，道理就在于此。 表7-1列出了幾種常用截面的值，由此看出，工字形截面和槽形截面最為合理，而圓形截面是其中最差的一種，從彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律來看，也容易理解這一事實。以圖7-23所示截面面積及高度均相等的矩形截面及工字形截面為例說明如下：梁橫截面上的正應(yīng)力是按線性規(guī)律分布的，離中性軸越遠，正應(yīng)力越大。工字形截面有較多面積分布在距中性軸較遠處，作用著較大的應(yīng)力，而矩形截面有較多面積分布在中性軸附近，作用著較小的應(yīng)力。因此，當兩種截面上的最大應(yīng)力相同時，工字形截面上的應(yīng)力所形成的彎矩將大于矩形截面上的彎矩。即在許用應(yīng)力相同的條件下，工字形截面抗彎能力較大。同理，圓形截面由于大部分面積分布在中性軸附近，其抗彎能力就更差了。 圖7-22 圖7-23 表7-1 幾種常用截面的值 截面形狀 矩形 圓形 槽鋼 工字鋼 0．167h 0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h 以上是從抗彎強度的角度討論問題。工程實際中選用梁的合理截面，還必須綜合考慮剛度、穩(wěn)定性以及結(jié)構(gòu)、工藝等方面的要求，才能最后確定。 在討論截面的合理形狀時，還應(yīng)考慮材料的特性。對于抗拉和抗壓強度相等的材料，如各種鋼材，宜采用對稱于中性軸的截面，如圓形、矩形和工字形等。這種橫截面上、下邊緣最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相同，可同時達到許用應(yīng)力值。對抗拉和抗壓強度不相等的材料，如鑄鐵，則宜采用非對稱于中性軸的截面，如圖7-24所示。我們知道鑄鐵之類的脆性材料，抗拉能力低于抗壓能力，所以在設(shè)計梁的截面時，應(yīng)使中性軸偏于受拉應(yīng)力一側(cè)，通過調(diào)整截面尺寸，如能使y1和y2之比接近下列關(guān)系： 圖7-24 則最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力可同時接近許用應(yīng)力，式中和分別表示拉伸和壓縮許用應(yīng)力。 7.5.3 采用等強度梁 橫力彎曲時，梁的彎矩是隨截面位置而變化的，若按式（7-18）設(shè)計成等截面的梁，則除最大彎矩所在截面外，其它各截面上的正應(yīng)力均未達到許用應(yīng)力值，材料強度得不到充分發(fā)揮。為了減少材料消耗、減輕重量，可把梁制成截面隨截面位置變化的變截面梁。若截面變化比較平緩，前述彎曲應(yīng)力計算公式仍可近似使用。當變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力相同，井與許用應(yīng)力相等時，即 時，稱為等強度梁。等強度梁的抗彎截面模量隨截面位置的變化規(guī)律為 （7-22） 由式(7-22)可見，確定了彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即可求得等強度梁橫截面的變化規(guī)律，下面舉例說明。 設(shè)圖7-25(a)所示受集中力F作用的簡支梁為矩形截面的等強度梁，若截面高度h=常量，則寬度b為截面位置x的函數(shù)，b=b(x)，矩形截面的抗彎截面模量為 彎矩方程式為 將以上兩式代人式(7-22)，化簡后得 圖7-25 （a） 可見，截面寬度b(x)為x的線性函數(shù)。由于約束與載荷均對稱于跨度中點，因而截面形狀也對跨度中點對稱(圖7-25b)。在左、右兩個端點處截面寬度b(x)=0，這顯然不能滿足抗剪強度要求。為了能夠承受切應(yīng)力，梁兩端的截面應(yīng)不小于某一最小寬度，見圖7-25(c)。由彎曲切應(yīng)力強度條件 得 （b） 若設(shè)想把這一等強度梁分成若干狹條，然后疊置起來，并使其略微拱起，這就是汽車以及其他車輛上經(jīng)常使用的疊板彈簧，如圖7-26所示。 若上述矩形截面等強度梁的截面寬度b為常數(shù)，而高度h為x的函數(shù)，即h=h(x)，用完全相同的方法可以求得 （c） 圖7-26 (d) 按式(c)和式(d)確定的梁形狀如圖7-27(a)所示。如把梁做成圖7-27(b)所示的形式，就是廠房建筑中廣泛使用的“魚腹梁”。 圖7-27 圖7-28 使用公式(7-17)，也可求得圓截面等強度梁的截面直徑沿軸線的變化規(guī)律。但考慮到加工的方便及結(jié)構(gòu)上的要求，常用階梯形狀的變截面梁(階梯軸)來代替理論上的等強度梁，如圖7-28所示。 7.6 開口薄壁桿件的彎曲中心 在前面討論中指出，當桿件有縱向?qū)ΨQ面，且載荷也作用于對稱面內(nèi)時，桿件的變形是平面彎曲。對非對稱桿件來說，即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖7-29(a)所示。只有當橫向力的作用平面平行于形心主慣性平面，且通過某一特定點A時，桿件才只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)圖7-29(b)。這一特定點A稱為彎曲中心。 圖7-29 開口薄壁桿件的彎曲中心有較大的實際意義，而且它的位置用材料力學(xué)的方法就可確定。為此，首先討論開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力計算。 圖7-30 圖7-30(a)為一開口薄壁桿件，y和z為橫截面的形心主慣性軸，設(shè)載荷F平行于y軸，且通過彎曲中心。這時桿件只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)，z軸為彎曲變形的中性軸。橫截面上的彎曲正應(yīng)力仍由式(7-2)計算。至于彎曲切應(yīng)力．由于桿件的壁厚t遠小于橫截面的其它尺寸，所以可以假設(shè)沿壁厚t切應(yīng)力的大小無變化。又因桿件的內(nèi)側(cè)表面和外側(cè)表面都為自由面，未作用任何與表面相切的載荷，所以橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)與截面的周邊相切。以相距為dx的兩個橫截面和沿薄壁厚度t的縱向面，從桿中截出一部分abcd圖7-30(b)、(c)。在這一部分的ad和bc面上作用著彎曲正應(yīng)力，在底面dc上作用著切應(yīng)力。這些應(yīng)力的方向都平行于x軸。由7-3所述的方法，求得bc和ad面上的合力FN1和FN2分別是 式中M和(M+dM)分別是bc和ad兩個橫截面上的彎矩；是截面上截出部分面積(圖中畫陰影線的面積)對中性軸的靜矩：是整個截面對中性軸的慣性矩。根據(jù)橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力互等定理，底面dc上的內(nèi)力為 把作用于abcd部分上的力投影于，x軸．由平衡條件，可知 即 由此求得 由切應(yīng)力互等定理可知，等于橫截面上距自由邊緣為處的切應(yīng)力，即 （7-23） 這就是開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的計算公式。 圖7-31 求得開口薄壁桿件橫截面上彎曲切應(yīng)力后，就可以確定彎曲中心的位置。現(xiàn)以槽鋼為例，說明確定彎曲中心的方法。設(shè)槽形截面尺寸如圖7-31(a)所示，且外力平行于y軸。當計算上翼緣距右邊為處的切應(yīng)力時， 代人公式(7-23)，得 可見，上翼緣上的切應(yīng)力，沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，見圖7-31(b)。 如以代表上冀緣上切向內(nèi)力系的合力，則 （a） 用同樣的方法可以求得下翼緣上的內(nèi)力。與大小相等，但方向相反。計算腹板上距中性軸為y處的切應(yīng)力時 代人公式(7-23)，得 可見腹板上切應(yīng)力沿高度按拋物線規(guī)律變化。以代表腹板上切向內(nèi)力系的合力，則 槽形截面對中性軸z的慣性矩約為 以代人上式，得 (b) 至此，我們已經(jīng)求得了截面上的三個切向內(nèi)力、和，見圖7-31(c)。和組成力偶矩h，將它與合并，得到內(nèi)力系的最終合力。這一合力仍等于 ()，只是作用線向左平移了一個距離e。如對腹板中線與z軸的交點取矩，由合力矩定理知 以式(a)代人上式，得 (7-24) 由于截面上切向內(nèi)力系的合力 (即截面上的剪力)在距腹板中線為e的縱向平面內(nèi)，如外力F也在同一平面內(nèi)，則桿件就只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)，這就是圖7-29(b)所表示的情況。 若外力沿z軸作用，因z軸是橫截面的對稱軸，因此桿將產(chǎn)生平面彎曲而無扭轉(zhuǎn)變形。這表明彎曲中心一定在截面的對稱軸上。所以，和對稱軸的交點A即為彎曲中心也稱為剪切中心。在槽形截面的情況下，彎曲中心A在對稱軸z上，其位置由公式7-24確定。該式表明，彎曲中心的位置與外力的大小和材料的性質(zhì)無關(guān)，它是截面圖形的幾何性質(zhì)之一。 由以上分析可知，對于具有一個對稱軸的截面，例如槽形、T形、開口環(huán)形和等邊角鋼等，截面的彎曲中心一定位于對稱軸上。因此，只要確定出e值后，即可定出彎曲中心的位置。對于具有兩個對稱軸的截面，例如矩形、圓形和工字形等，彎曲中心必在兩對稱軸的交點上，即截面形心和彎曲中心重合。如截面為反對稱，例如Z字形截面，則彎曲中心必在反對稱的中點，也與形心重合。表7-2給出了幾種常見開口薄壁截面梁彎曲中心的位置。 表7-2 開口薄壁靛面的彎曲中心的位置 截面形狀 彎曲中心 與截面形心重合 截面形狀 彎曲中心 與截面形心重合 綜上所述，當外力通過彎曲中心時，無論是平行于y軸或沿著z軸，外力和橫截面上的剪力在同一縱向平面內(nèi)，桿件只有彎曲變形。反之，若外力F不通過彎曲中心，這時把外力向彎曲中心簡化，將得到一個通過彎曲中心的力F和一個扭轉(zhuǎn)力偶矩。通過彎曲中心的橫向力F仍引起上述彎曲變形，而扭轉(zhuǎn)力偶矩卻將引起桿件的扭轉(zhuǎn)變形，這就是圖7-29(a)所表示的情況。 對實體截面或閉口薄壁截面桿件，因其彎曲中心和形心重合或靠近形心，且切應(yīng)力數(shù)值通常又較小，所以不必考慮彎曲中心的位置。但對于開口薄壁截面桿件，因其承受扭轉(zhuǎn)變形的能力很差，所以外力的作用線應(yīng)盡可能通過彎曲中心，以避免產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此，確定開口薄壁桿件彎曲中心的位置，是具有實際意義的。 例7-6 試確定圖7-32(a)所示開口薄壁截面的彎曲中心，設(shè)截面中線為圓周的一部分。 解 以截面的對稱軸為z軸，y、z軸為形心主慣性軸，因而彎曲中心A必在z軸上。設(shè)剪力過彎曲中心A，且平行于y軸。用與z軸夾角為q的半徑截取部分面積A1，其對z軸的靜矩為 圖7-32 整個截面對z軸的慣性矩為 代入公式(7-23)，得 以圓心為力矩中心，由合力矩定理 積分后求得 (a) 當時，得到半圓形開口薄壁截面如圖7-33(b)，此時由式(a)得 當時，得到圓形開口薄壁截面如圖7-33(c)，此時由式(a)得 習(xí) 題 7-l 把直徑d=lmm的鋼絲繞在直徑D=2m的輪緣上，已知材料的彈性模量E=200GPa，試求鋼絲內(nèi)的量大彎曲正應(yīng)力。 7-2 簡支梁受均布載荷如圖所示。若分別采用截面面積相等的實心和空心圓截面，且Dl=40mm，。試分別計算它們的最大彎曲正應(yīng)力。并問空心截面比實心截面的最大彎曲正應(yīng)力減小了百分之幾? 7-3 圖示圓軸的外伸部分是空心圓截面，試求軸內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。 7-4 某操縱系統(tǒng)中的搖臂如圖所示，右端所受的力F1=8.5kN，截面1-1和2-2均為高度比h／b=3的矩形，材料的許用應(yīng)力=50MPa。試確定1-1和2-2兩個橫截面的尺寸。 7-5 橋式起重機大梁AB的跨長l=16m，原設(shè)計最大起重量為100kN。若在大梁上距B端為x的C點懸掛一根鋼索，繞過裝在重物上的滑輪，將另一端再掛在吊車的吊鉤上。使吊車駛到C的對稱位置D。這樣就可吊運150kN的重物。試問x的最大值等于多少，設(shè)只考慮大梁的正應(yīng)力強度。 7-6 圖示軋輥軸直徑D=280mm，L=1000mm，l=450mm，b=100mm，軋輥材料的彎曲許用應(yīng)力=100MP。試求軋輥能承受的最大軋制力F(F=qb)。 7-7 割刀在切割工件時，受到F=1kN的切削力作用。割刀尺寸如圖所示。試求割刀內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。 7-8 圖示為一承受純彎曲的鑄鐵梁，其截面為形，材料的拉伸和壓縮許用應(yīng)力之比1／4。求水平翼扳的合理寬度。 7-9 形截面鑄鐵懸臂梁，尺寸及載荷如圖所示。若材料的拉伸許用應(yīng)力=40MPa，壓縮許用應(yīng)力=160MPa，截面對形心軸的慣性矩，，試計算該梁的許可載荷F。 7-10 當20號槽鋼受純彎曲變形時，測出A、D兩點間長度的改變材料的E=200GPa，試求梁截面上的彎矩M。 7-11 梁AB的截面為10號工字鋼，B點由圓鋼桿BC支承，已知圓桿的直徑d=20mm，梁及桿的=160MPa，試求許用均布載荷。 7-12 某吊車用28b工字鋼制成，其上、下各焊有75mm x 6mm x 5200mm的鋼板，如圖所示。已知=100MPa，試求吊車的許用載荷F。 7-13 設(shè)梁的橫截面為矩形，高300mm，寬50mm，截面上正彎矩的數(shù)值為240kN·m。材料的抗拉彈性模量為抗壓彈性摸量的1.5倍。若應(yīng)力未超過材料的比例極限，試求最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。 7-14 鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如圖所示。許用拉應(yīng)力=40MPa，許用壓應(yīng)力=160MPa。試按正應(yīng)力強度條件校核梁的強度。若載荷不變，但將T形橫截面倒置，即成為形，是否合理?何故？ 7-15 圖示為一用鋼板加固的木梁。已知木材的彈性模量E1=10GPa，鋼的彈性橫量E2=210GPa，若木梁與鋼板之間不能相互滑動，試求木材及鋼板中的最大正應(yīng)力。 7-16 圖示為用兩根尺寸、材料均相同的矩形截面直桿組成的懸臂梁，試求下列兩種情況下梁所能承受的均布載荷集度的比值： (1)兩桿固結(jié)成整體。 (2)兩桿疊置在一起，交界面上摩擦可忽略不計。 7-17 試計算圖示矩形截面簡支梁的1-1截面上a點和b點的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 7-18 圖示圓形截面簡支梁，受均布載荷作用。試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力和最大彎曲切應(yīng)力，并指出它們發(fā)生于何處。 7-19 試計算圖示工字形截面梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。 7-20 起重機下的梁由兩根工字鋼組成，起重機自重W=50kN，起重量W2=10kN。許用應(yīng)力=160MPa，=100MPa。若暫不考慮梁的自重，試按正應(yīng)力強度條件選定工字鋼型號，然后再按切應(yīng)力強度條件進行校核。 7-21 由三根本條膠合而成的懸臂梁截面尺寸如圖所示?？缍?l = l m。若膠合面上的許用切應(yīng)力為=0.34MPa，木材的許用彎曲正應(yīng)力=10MPa，許用切應(yīng)力為=1MPa，試求許可載荷F。 7-22 在圖（a）中，若以虛線所示的縱向面和橫向面從梁中截出一邪分，如圖（b）所示。試求在縱向面abcd上由tdA組成的內(nèi)力系的合力，并說明它與什么力平衡。 7-23 用螺釘將四塊木板聯(lián)接而成的箱形梁如圖所示。每塊木板的橫截面都為150mm x 25mm。若每一螺釘?shù)脑S可剪力為1 lkN，試確定螺釘?shù)拈g距s。設(shè)F=5.5kN。 7-24 圖示梁由兩根36a工字鋼鉚接而成。鉚釘?shù)拈g距為s=150mm，直徑d=20mm，許用切應(yīng)力=90MPa。梁橫截面上的剪力FQ=40kN，試校核該鉚釘?shù)募羟袕姸取? 7-25 截面為正方形的梁按圖示兩種方式放置。試問按哪種方式比較合理? 7-26 為改善載荷分布，在主梁AB上安置輔助梁CD。設(shè)主梁和輔助梁的抗彎截面系數(shù)分別為Wl和W2，材料相同，試求輔助梁的合理長度a。 7-27 在18號工字梁上作用著可移動載荷F。為提高梁的承載能力，試確定a和b的合理數(shù)值及相應(yīng)的許可載荷。=160MPa。 7-28 我國制造規(guī)范中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 7-29 均布載荷作用下的簡支梁由圓管及實心圓桿套合而成，如圖所示。變形后兩桿仍密切接觸。兩桿材料的彈性模量分別為E1和E2，且E1=2E2。試求兩桿各自承擔(dān)的彎矩。 7-30 以F力將置放于地面的鋼筋提起。若鋼筋單位長度的重量為Q，當b=2a時．試求所需的力F。 7-31 試判斷圖示各截面的切應(yīng)力流的方向和彎曲中心的大致位置。設(shè)剪力FQ鉛垂向下。 7-32 試確定圖示箱形開口薄壁截面梁彎曲中心A的位置。設(shè)截面的壁厚t為常量，且壁厚及開口切縫都很小。 7-33 試確定圖示薄壁截面梁彎曲中心A的位置，設(shè)壁厚t為常量。 - 187 -